Polinômios #4: Grau de um polinômio

Chegamos à quarta postagem sobre polinômios. Já vimos a definição de polinômio e também as operações de soma, subtração e multiplicação com os polinômios. Nessa postagem vamos tratar de outra característica importante dos polinômios, o seu grau. Também nessa postagem vamos estudar as propriedades do grau de um polinômios que estão relacionadas com as operações de soma e de multiplicação. Vamos lá!

Grau de um polinômio

Vamos à definição de grau de um polinômio.

Definição: Considere um polinômio não nulo qualquer (sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$)

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0.$$

O grau do polinômio $p(x)$ é o maior expoente que aparece nas potências de $x$ que estão no polinômio, ou seja, o grau de $p(x)$ é igual a $n$. Para denotar o grau de $p(x)$ usamos a notação $gr(p(x)) = n$. O coeficiente que acompanha o $x^n$ (o $x$ que possui o maior expoente na potência), isto é, o coeficiente $a_n$ é chamado termo dominante de $p(x)$.

Observação: Um polinômio é dito nulo se ele é o polinômio constante igual à zero, ou seja, ele possui a forma $p(x) = 0$. A definição acima só é aplicada a polinômios não nulos. Não definimos grau para o polinômios nulo, isto é, o polinômio nulo não possui grau e, consequentemente, não possui termo dominante.

Vamos ver alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus e termos dominantes.

Exemplos: 

1. Qualquer polinômio na forma $p(x) = a$, com $a$ constante, possui grau igual a $0$ e seu termo dominante é igual a $a$ (nos polinômio $x^0$ = 1 e, isso ocorre mesmo no caso em que $x=0$). 

2. O polinômio $p(x) = x+1$ possui grau igual a $1$ e termo dominante igual a $1$.

3. No polinômio $f(x) = -3x^4 + 3x^2 -x- 10$ temos $gr(f(x)) = 4$ e seu termo dominante é igual a $-3$.

4. No polinômio $g(x) = 7x^5+1$ temos $gr(g(x)) = 5$ e seu termo dominante é igual a $7$.

5. O polinômio $h(x) = 8x^7-x^6+2x^5-3x^4-x^3+10x^2+x+1$ possui grau igual a $7$ e seu termo dominante é igual a $8$.

Sabendo o que é grau e termo dominante de um polinômio, vamos ver agora as propriedades do grau de um polinômio com relação às operações de soma e multiplicação. Essas propriedades são dadas pelo seguinte teorema:

Teorema: Sejam $p$ e $q$ polinômios não nulos sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$. Valem as seguintes afirmações:

(a) $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$ vale a igualdade.

O item (a) está dizendo que o grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ e que a igualdade ocorre, isto é, o grau da soma será igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$.

(b) $gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x))$.

O item (b) está dizendo que o grau do produto de dois polinômios é igual à soma dos seus graus.

Observação: O item (a) continua verdadeiro se trocarmos o sinal de $+$ pelo sinal de $-$.

Vamos entender, por meio de exemplos, como que funciona o teorema anterior.

Exemplos:

6. Considere os polinômios $p(x) = 4x^3-3x^2+x-1$  e $q(x) = -2x^3+2x+2$. Veja que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 3$. Somando estes dois polinômios vamos obter o polinômio $f(x) = 2x^3-3x^2+3x+1$. Observe que o grau de $f(x)$ é igual a $3$ e, assim, observando que $\max\{gr(p(x)), gr(q(x))\} = \max\{3,3\} = 3$, vale o que está no item (a) do teorema anterior, isto é, $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$, pois $3 \leq 3$. Observe inda que, a igualdade só ocorreu, mesmo sendo os graus de $p(x)$ e $q(x)$ iguais, pois os termos dominantes desses polinômios não são um oposto do outro. Isso nem sempre ocorre. O teorema garante a igualdade quando os graus dos polinômios são diferentes.

7. Considere os polinômios $f(x) = x^4 +x^2-3x-10$ e $g(x) = -x^4 + x^3+2x+8$. Nesse exemplo temos $gr(f(x)) = 4$ e $gr(g(x)) = 4$. Somando esses dois polinômios, vamos obter o polinômio $h(x) = x^3 +x^2-x-2$. Note que $gr(h(x)) = 3$. Temos aqui o item (a) verificado, isto é, $gr(f(x) + g(x)) = gr(h(x)) = 3$ e $\max\{f(x),g(x)\} = \max\{4,4\} = 4$, ou seja, $gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\}$ (3 \leq 4). Aqui nesse exemplo a igualdade não foi verificada pois os polinômios possuem o mesmo grau e seus termos dominantes são números opostos.

Observando os dois exemplos acima, conseguimos entender por que, em geral, vale $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e não a igualdade $gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$. A igualdade só pode ser garantida se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$. Vamos ver isso no próximo exemplo.  

8. Considere os polinômios $p(x) = x^5 - x+10$ e $q(x) = -x^4 + x^2 -1$. Temos que $gr(p(x)) = 5$ e $gr(q(x)) = 4$. Somando $p(x)$ com $q(x)$ vamos obter $f(x) = x^5 - x^4 + x^2 -x + 9$. Como os graus são diferentes, é impossível que, ao somarmos $p(x)$ com $q(x)$, o termo $x^5$ de $p(x)$ se anule com algum termo de $q(x)$, visto que o maior expoente de $x$ que aparece em $q(x)$ é o $4$. Logo vale $5 = gr(f(x)) = gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x)),gr(q(x))\} = \max\{5,4\}$.

9. Considere os polinômios $p(x) = x^3-2x+1$ e $q(x) = x^4+2$. Temos que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 4$. Calculando a diferença entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ vamos obter o polinômio $f(x) = -x^4 x^3 -2x -1$. O teorema anterior também é verificado para a diferença, veja que $gr(p(x)+q(x)) = 4$ e $\max\{p(x),q(x)\} = \max\{3,4\} = 4$, ou seja, temos exatamente, $gr(p(x)+q(x)) \leq \max\{p(x),q(x)\}$. Nesse exemplo, temos também que $gr(p(x)+q(x)) = \max\{p(x),q(x)\}$, visto que $gr(p(x)) = gr(q(x))$. 

10. A propriedade de grau com relação à multiplicação de polinômios é bem mais fácil de ser usada. Considere os polinômios $f(x) = x^3-1$ e $g(x) = x^2+x-1$. Note que $gr(f(x)) = 3$ e $gr(g(x)) = 2$. Pelo teorema anterior temos que $gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 3 + 2 = 5$. Fazendo a multiplicação de $f(x)$ por $g(x)$ vamos ter $f(x) \cdot g(x) = x^5+x^4-x^3+x^2+x-1$. O teorema está verificado. Isso ocorre pois o termo dominante da multiplicação de dois polinômios é a multiplicação dos respectivos termos dominantes e o expoente do $x$ que vai estar com esse coeficiente é o expoente que aparece como resultado de $x^3 \cdot x^2$, ou seja, $x^5$.

Quando se conhece os polinômios, para encontrar o grau da soma, da subtração ou da multiplicação, basta fazer essas operações e ver qual é o grau do polinômios resultante, assim, as regras para se obter o grau vistas no teorema anterior não se tornam, digamos, tão importantes. Porém isso não as tornam inúteis, elas são muito úteis quando precisamos saber o grau do resultado da soma, subtração ou multiplicação de polinômios onde não conhecemos os polinômios mas somente os seus graus. A seguir veremos alguns exemplos disso.

11. Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ onde $gr(p(x)) = 4$ e $gr(q(x)) = 2$. Determine o grau de $p(x) + q(x)$ e de $p(x) \cdot q(x)$.

Solução: Para resolver essa questão, basta usar o teorema anterior. Como $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$, então,

$$gr(p(x) + q(x)) = \max\{p(x),q(x)\} = \max\{4,2\} = 4.$$

Para a multiplicação, temos

$$gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) = 4 + 2 = 6.$$

12. Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios tais que $gr(f(x)) = gr(g(x)) = 6$. O que podemos afirmar sobre os graus de $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$ e de $f(x) \cdot g(x)$?

Solução: Como $gr(f(x)) = gr(g(x))$, sobre $gr(f(x) + g(x))$, podemos afirmar que 

$$gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ 

isto é, $gr(f(x)+gr(g(x))) \leq 6$. Sobre $f(x) - g(x)$ podemos afirmar que 

$$gr(f(x) - g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ isto é, $gr(f(x)-gr(g(x))) \leq 6$. Para a multiplicação, temos

$$gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 6+6 = 12.$$

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #3: Multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades

No último post estudamos a operação de soma (adição) de polinômios e suas propriedades, agora, para dar sequência ao estudo de polinômios, nesse post, vamos estudar a operação de multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades. Para compreender bem como se faz a multiplicação de polinômios é importante lembrar das propriedades algébricas dos números reais (que são as mesmas dos números complexos) e também da propriedades de potenciação. Esses assuntos foram abordados anteriormente aqui no blog. Se for necessário, faça uma revisão desses assuntos. Acho que já podemos começar a falar da multiplicação de polinômios. Vamos lá!

Multiplicação (produto) de polinômios

A seguir vamos ver a definição formal do que é a multiplicação de polinômio, depois disso, vamos ver como essa operação entre polinômios funciona na prática.

Definição: Considere os seguintes polinômios (sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$),

$$p(x) = a_nx^n + a^{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0.$$

A multiplicação (produto) de $p(x)$ por $q(x)$, denotada por $p(x) \cdot q(x)$, é definida por

$$p(x) \cdot q(x) = \sum_{k=1}^{n+m}c_kx^k \mbox{ onde } c_k = \sum_{i+j = k} a_ib_j.$$

Como eu escrevi acima, essa é a definição formal. Ela parece um pouco complicada, mas não é. Vamos esmiuçar um pouco essa definição para a compreendermos melhor.

A definição nos diz que o produto $p(x) \cdot q(x)$ é um polinômio na forma 

$$p(x) \cdot q(x) = c_{n+m}x^{m+n} + \cdots + c_1x + c_0$$

onde, 

\begin{eqnarray} c_0 &=& a_0b_0 \\ c_1 &=& a_0b_1 + a_1b_0 \\ c_2 &=& a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ c_3 &=& a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 \\ & \vdots & \\ c_{n+m} &=& a_nb_m   \end{eqnarray}

Isto é, os coeficientes $c_k$ do produto $p(x) \cdot q(x)$ são formados pela soma dos termos $a_ib_j$ onde $i+j = k$.

Olhando para essa definição temos a sensação de que parece tudo muito complicado, mas calma, não é nada complicado. Essa definição somente formaliza o que fazemos na prática para multiplicar dois polinômios, ou seja, a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule $p(x) \cdot q(x)$ onde $p(x) = x-1$ e $q(x) = x^2+2x+3$.

Solução: Vamos resolver esse exemplo de duas formas. Vamos primeiramente resolver usando a definição e depois usando a propriedade distributiva da multiplicação. Isso para podermos verificar que a definição corresponde exatamente com o uso da propriedade distributiva.

Pela definição: Temos que $a_1 = 1$ e $a_0 = -1$ em $p(x)$ e $b_2 = 1$, $b_1 = 2$ e $b_0 = 3$ em $q(x)$. Desse modo, pela definição, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& (1 \cdot 1)x^{1+2} + ((-1)\cdot 1 + 1 \cdot 2 )x^{2} + ((-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3)x + (-1) \cdot 3 \\ &=& x^3 + (-1+2)x^2 + (-2+3)x + (-3) \\ &=& x^3 + x^2 + x -3.  \end{eqnarray}

Usando a distributiva: Para usar a distributiva, basta pegar o primeiro termo de $p(x)$ e multiplicar por todos os termos de $q(x)$, lembrando de fazer o jogo de sinal, depois multiplicar o segundo termo de $p(x)$ por todos os termos de $q(x)$ e assim por diante, até acabarem o termos de $p(x)$.

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& x\cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot x^2 -1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 \\ &=& x^3 + 2x^2 + 3x -x^2 - 2x -3 \\ &=& x^3 +x^2 + x -3. \end{eqnarray}

Viu só? Os resultados foram os mesmos. Daqui em diante usaremos somente a distributiva para fazer a multiplicação de polinômios por ser mais simples e mais intuitiva. Vamos continuar com os exemplos.

2. Efetue o produto dos polinômios $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x -1$ e $g(x) = 5x^2 +1$.

Solução: Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos,

\begin{eqnarray} f(x) \cdot g(x) &=& (4x^3 - 3x^2 + x -1) \cdot (5x^2 +1) \\ &=& 4x^3 \cdot 5x^2 + 4x^3 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 5x^2 - 3x^2 \cdot 1 + x \cdot 5x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot 5x^2 - 1 \cdot 1 \\ &=& 20x^5 + 4x^3 - 15 x^4 - 3x^2 + 5x^3 + x - 5x^2 -1 \\ &=& 20x^5 - 15x^4 + 9x^3-8x^2+ x -1.\end{eqnarray}

3. Calcule o produto dos polinômios $p(x) = x^2+x+2$ e $q(x) =  -2x^2 +3x-1$.

Solução: Fazendo como no exemplo anterior, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x^2+x+2)  \cdot (-2x^2 +3x-1) \\ &=& x^2 \cdot (-2x^2) + x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot (-1) + x \cdot (-2x^2) + x \cdot 3x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-2x^2) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-1) \\ &=& -2x^4 + 3x^3-x^2-2x^3+ 3x^2-x - 4x^4+ 6x -2 \\ &=& -2x^4 +x^3 +2x^2+5x -2.\end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

A seguir estão algumas propriedades da multiplicação de polinômios. Elas podem ser usadas sempre que necessário.

Propriedades: Dados os polinômios $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ valem:

(i) $(f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x) = f(x) \cdot (g(x) \cdot h(x))$ (associatividade da multiplicação);

(ii) $f(x) \cdot g(x) = g(x) \cdot f(x)$ (comutatividade da multiplicação);

(iii) O polinômio $p(x) = 1$ é o elemento neutro da multiplicação de polinômios pois,

\begin{eqnarray} p(x) \cdot f(x) &=& 1 \cdot f(x) = f(x) \\ f(x) \cdot p(x) &=& f(x) \cdot 1 = f(x). \end{eqnarray}

(iv) Dado um polinômio $p(x)$ qualquer, em geral, ele não possui um inverso multiplicativo, isto é, não existe um polinômio $q(x)$ tal que $p(x) \cdot q(x) = 1$. Os polinômios que possuem inversos multiplicativos são somente os polinômios constantes não nulos, ou seja, diferente de zero. Dado um polinômio constante não nulo $p(x) = a$, este possui inverso multiplicativo $q(x) = \displaystyle\frac{1}{a}$. Por exemplo, se $p(x) = 5$, seu inverso multiplicativo é o polinômio $q(x) = \displaystyle\frac{1}{5}$.

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Polinômios #2: Soma (adição) de polinômios e suas propriedades

 Na postagem anterior vimos uma maneira de se definir os polinômios. A partir dessa postagem vamos começar a falar sobre as operações com polinômios, que são, soma (adição), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão. Dessas quatro operações, abordaremos na sequência as três primeiras e a operação de divisão de polinômios ficará mais para frente. Nessa segunda postagem vamos definir a soma de polinômios e estudaremos as suas propriedades. Vamos lá!

Soma (adição) de polinômios e suas propriedades

Considere $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios, onde

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0$$

com $n,m \in \mathbb{N}$ podendo ser, eventualmente, diferentes. Vamos considerar esse polinômios com coeficientes em $\mathbb{R}$ ou em $\mathbb{C}$ (independentemente de onde estiverem os coeficientes desses polinômios, a definição da soma será a mesma). 

Definição: Dados os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ como acima, definimos a soma (adição) de $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) + q(x)$, em três casos diferentes

• Se $n < m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + b_nx^n + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + (a_n + b_n)x^n + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0);  \end{eqnarray}

• Se $n=m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1} + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0);  \end{eqnarray}

• Se $n > m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + a_mx^m+ \cdots + a_1x + a_0 + b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} +  \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + (a_m + b_m)x^m + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0).  \end{eqnarray}

A definição acima está bem formal, mas para não ficarmos decorando ou complicando muito as coisas, para somar dois polinômios, basta somar os coeficientes que acompanham a mesma potência de $x$, ou seja, devemos somar o termo independente de $p(x)$ com o termo independente de $q(x)$, o coeficiente de $x$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x$ em $q(x)$ e multiplicar por $x$, o coeficiente de $x^2$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x^2$ de $q(x)$ e multiplicar por $x^2$ e assim por diante. Isto é, exatamente, somar os temos que são semelhantes. Caso se tenha um $a_r$, coeficiente de $x^r$, em $p(x)$ e não se tenha $x^r$ em $q(x)$, basta considerar o $x^r$ com coeficiente igual a $0$ em $q(x)$. O contrário também pode ser feito. 

Para essa definição ficar mais clara, vamos fazer alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule a soma de $p(x) = 3x^2+x-1$ e $q(x) = -2x^2+3x+5$.

Solução: Seguindo a definição acima, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^2+x-1) + (-2x^2+3x+5) \\ &=& 3x^2+x-1  -2x^2+3x+5 \\ &=& (3+(-2))x^2 + (1+3)x + (-1+5) \\  &=& x^2 + 4x + 4. \end{eqnarray}

Observe que este é o caso onde $m=n=2$. Note também que o termo $x^r$ num polinômio possui coeficiente igual a $1$.

2. Calcule $p(x) + q(x)$ onde $p(x) = 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2$ e $q(x) = x^2-9x-1$.

Solução: Esse é o caso onde $n=4$ e $m=2$, ou seja, $n > m$. Assim, não temos em $q(x)$ termos com $x^4$ e $x^3$ e, sendo assim, eles podem ser considerados em $q(x)$ como possuindo coeficientes iguais a $0$.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2) + (x^2-9x-1) \\ &=& 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2 + x^2-9x-1 \\ &=& 3x^4 + x^3 + (-5+1)x^2 + (4-9)x + (-2+ (-1))  \\ &=& 3x^4+x^3 + (-4)x^2 + (-5)x + (-3) \\ &=& 3x^4+x^3-4x^2-5x-3.   \end{eqnarray}

3. Calcule a soma de $f(x) = x+1$ e $g(x)=x^3+2x^2-4x+8$.

Solução: Esse é o caso em que $n=1$ e $m=3$, ou seja, $n < m$. Note que em $f(x)$ não há termos com $x^3$ ou $x^2$, desse modo, seus coeficientes são considerados como sendo iguais a $0$. Fazendo a soma, temos

\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x+1) + (x^3+2x^2-4x+8) \\ &=& x+1 + x^3+2x^2-4x+8 \\ &=& x^3 + 2x^2 + (1+(-4))x + (1+8) \\ &=& x^3 + 2x^2 + (-3)x + 9 \\ &=& x^3 + 2x^2 -3x + 9.   \end{eqnarray}

4. Sejam $f(x) = x^5 -3x^3+x^2+5x$ e $g(x) = x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4$. Calcule $f(x) + g(x)$.

Solução: Em $f(x)$ não temos termos com $x^6$, $x^4$ e nem o termo independente, ou seja, ele é igual a $0$ e em $g(x)$ não temos termos com $x^5$, $x^2$ e $x$. Logo, nos respectivos polinômios, os coeficientes desses termos são iguais a $0$. Assim, 

\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x^5 -3x^3+x^2+5x) + (x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4) \\ &=& x^5 -3x^3+x^2+5x + x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-3+(-1))x^3 + (1+10)x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-4)x^3 + 11x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4-4x^3 + 11x^2 +5x+4.    \end{eqnarray}

5. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^4 -3x^3-4x+2$ e $q(x) = -2x^3+x^2+10x$. 

Solução: Vamos fazer esse exemplo mais rápido, vamos simplesmente somar os termos semelhantes diretamente.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^4 -3x^3-4x+2 + (-2x^3+x^2+10x) \\ &=& x^4 -3x^3-4x+2 -2x^3+x^2+10x \\ &=& x^4 -5x^3 + x^2+6x+2.  \end{eqnarray}

6. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^6 - 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5$ e $q(x) = 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1$. 

Solução: Vamos proceder como no exemplo anterior.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + (3x^4+x^3 -4x^2+10x+1) \\ &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1 \\ &=& x^6 -7x^3 - x^2+11x-4.  \end{eqnarray}

Vamos ver agora algumas propriedades da soma de polinômios.

Propriedades:

Dados $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ polinômios quaisquer, valem as seguintes propriedades:

(i) $f(x) + g(x) = g(x) + f(x)$ (a soma é comutativa);

(ii) $(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))$ (a soma é associativa);

(iii) Existe um elemento neutro para a soma de polinômios. Esse elemento é o polinômio $p(x) = 0$, ou seja, é o polinômio constante igual a $0$. Tal polinômio é chamado de polinômio nulo. Ele possui a seguinte propriedade:

$$p(x) + f(x) = f(x) \mbox{ e } f(x) + p(x) = f(x)$$

para qualquer que seja $f(x)$.

(iv) Para cada polinômio $f(x)$ existe um polinômio $q(x)$ tal que $f(x) + q(x) = 0$ e $q(x) + f(x) = 0$, isto é, $q(x)$ somado com $f(x)$, em ambos os lados, é igual ao polinômio nulo. O polinômio $q(x)$ é chamado oposto de $f(x)$. Para obter o polinômio $q(x)$ (oposto de $f(x)$), basta fazer o seguinte: se $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0$, o seu oposto será $p(x) = -a_nx^n - a_{n-1}x^{n-1}- \cdots - a_1x-a_0$, isto é, o oposto do polinômio $f(x)$ é o polinômio formado com a somas das mesmas potências de $x$ de $f(x)$ onde seus coeficientes são os opostos dos coeficientes de $f(x)$. Como por exemplo

 o oposto de $f(x) = x^3+x+3$ é $p(x) = -x^3-x-3$;  

 o oposto de $f(x) = x^4+x^2 - 4x-10$ é $p(x) = -x^4-x^2 + 4x+10$ e

 o oposto de $f(x) = -x^2+5x -8$ é $p(x) = x^2-5x +8$.

O oposto de $f(x)$ é denotado por $-f(x)$. 

Agora que definimos o oposto de um polinômio, podemos definir a subtração (diferença) de polinômios.

Definição: Dados os polinômios

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0,$$

definimos a subtração (diferença) dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) - q(x)$, como sendo

$$p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)),$$

isto é, a subtração (diferença) de $p(x)$ e $q(x)$ é a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$.

Vamos ver alguns exemplos de subtração de polinômios.

Exemplos:

7. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^2+2x-1$ e $q(x) = 2x^2-4x-10$.

Solução: Para fazer esse cálculo, basta usar a definição de subtração de polinômios e ficar atento com os sinais, pois é necessário fazer jogo de sinais para efetuar a subtração.

\begin{eqnarray} p(x) - q(x) &=& x^2+2x-1 - (2x^2-4x-10)  \\ &=& x^2+2x-1 -2x^2+4x+10 \\ &=& (1-2)x^2 + (2+4)x + (-1+10) \\ &=& -x^2 + 6x + 9.    \end{eqnarray}

Veja que, para passar da primeira linha para a segunda linha, no cálculo acima foi feito jogo de sinal com cada termo do polinômio $q(x)$ e, na segunda linha, temos exatamente a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$, que é a definição de subtração de polinômios. Na prática, é assim que as coisas funcionam. Da terceira linha em diante segue a soma de polinômios como definimos anteriormente.

8. Calcule a diferença entre os polinômios $f(x) = 5x^4 + x^3-3x-4$ e $g(x) = 3x^3+2x^2-x-1$.

Solução: Basta proceder como no exemplo anterior.

\begin{eqnarray} f(x) - g(x) &=& 5x^4 + x^3-3x-4 - (3x^3+2x^2-x-1)  \\ &=& 5x^4 + x^3-3x-4  -3x^3-2x^2+x+1 \\ &=& 5x^4 + (1-3)x^3 -2x^2 + (-3+1)x + (-4 +1) \\ &=& 5x^4 + (-2)x^3 -2x^2 + (-2)x + (-3)  \\ &=& 5x^4 -2x^3 -2x^2 -2x -3.    \end{eqnarray}

9. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^3-5x+10$ e $q(x) = 3x^6 - x^2+x+10$.

Solução: Podemos fazer as contas aqui um pouco mais rápido também, assim como nos exemplos 5 e 6, somando os termos semelhantes. 

\begin{eqnarray} p(x)  -  q(x) &=& x^3-5x+10 - (3x^6 - x^2+x+10)  \\ &=& x^3-5x+10 -3x^6 + x^2-x-10  \\ &=& -3x^6 + x^3+x^2 -6x + 0.   \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #1: O que são polinômios?

Chegamos ao assunto de polinômios. Que beleza! Os polinômios são muito importantes. Eles aparecem em muitas áreas da Matemática, aparecem no Cálculo, na Álgebra Linear, nas Equações Diferenciais, em Geometria, etc.. Por esse motivo é muito importante saber o que é um polinômio, suas características, fazer contas com polinômios, saber como fatorar um polinômio e calcular suas raízes. Nessa primeira postagem sobre polinômios vamos ver uma forma de defini-los (há mais de uma forma) usando a definição de função. 

O que são polinômios?

Podemos definir um polinômio usando a definição de função, e é o que vamos fazer aqui nessa postagem. Por isso, vamos lembrar a definição de função.

Definição (de função): Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$ um único elemento de $B$.

Exemplos

1. Considere $A$ o conjunto de todas pessoas do mundo e $B$ o conjunto de todos os nomes possíveis. Podemos associar cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$ da seguinte forma: cada pessoa está associada a um único primeiro nome. Isso é uma função de $A$ en $B$, ou seja, do conjunto das pessoas no conjunto dos nomes.

2. Considere $A$ conjunto de todos os carros do Brasil e $B$ o conjunto de todas as sequencias finitas de números e letras. Cada carro possui um único número de chassi, assim, associar os carros a seus números de chassi é uma função de $A$ em $B$.

Os exemplos acima são casos bem gerais de funções. Na matemática as funções são muito usadas para associar dois conjuntos numéricos.

3. Considere $A = B = \mathbb{R}$.  Para cada número $x \in A$ vamos associar o número $y=x+1$. Dessa forma temos que $2$ está associado a $2+1 = 3$, $-8$ está associado a $-8+1 = -7$, etc. Esta é uma função entre $A$ e $B$, ou ainda, entre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}$.

Na matemática usamos as letras para dar nomes às funções, por exemplo, função $f$, função $g$, função $T$. Para dizer que uma função $f$ associa os elementos de $A$ aos elementos de $B$, escrevemos

$$f: A \rightarrow B.$$

O conjunto $A$ é chamado domínio da função $f$ e o conjunto $B$ é chamado contradomínio da função $f$. Escrevemos $f(x)$, que se lê "$f$ de $x$", para designar o número em $B$ que está associado ao número $x$ de $A$. Ou ainda, para dizer que um número $x \in A$ está associado a um número $y \in B$, escrevemos $f(x) = y$, que se lê "f de $x$ igual a $y$". Podemos ainda dizer que $f$ leva $x$ em $y$. Também chamamos $f(x)$ de imagem de $x$ pela função $f$.

Como já visto no exemplo 3, as funções entre conjuntos numéricos são, na maioria das vezes, dadas por expressões algébricas, ou seja, cada $x \in A$ é levado em um $f(x)$ que é igual à uma expressão algébrica que contém $x$. Nesse caso, chamamos $x$ de variável independente e $y = f(x)$ de variável dependente (o valor de $f(x)$ depende de $y$).

4. Considere $f: \mathbb{Z} \rightarrow B$ definida por $f(x) = 2x$. Essa função associa a cada $x \in \mathbb{Z}$ ao número $2x \in \mathbb{Z}$. Vamos calcular $f$ aplicada em alguns valores específicos de $x$, ou seja, vamos substituir o $x$ por alguns números inteiros para saber a quais números estes estão associados. Vejamos

$f(1) = 2 \cdot 1 = 2;$

$f(3) = 2 \cdot 3 = 6;$

$f(-10) = 2 \cdot (-10) = -20$.

Quando trocamos $x$ por algum número e calculamos o valor da função neste número estamos aplicando $f$ em neste número.

5. Seja $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 2^x$. Temos, para alguns valores de $x$,

$g(0) = 2^0 = 1;$

$g(2) = 2^2 = 4;$

$g(-3) = 2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{8}$.

Agora, com a definição de função, conseguimos definir o que é um polinômio.

Definição (de polinômio): Um polinômio é uma função $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que possui a forma

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$

onde $n$ é um número natural e $a_n,  a_{n-1},  \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}$ são chamados coeficientes do polinômio $p$. Em particular, o termo $a_0$ (que não multiplica nenhuma potência de x) é chamado termo independente do polinômio $p(x)$.

Observação: A definição acima é a definição do que chamamos de polinômio real ou polinômio sobre $\mathbb{R}$ pois é uma função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ e seus coeficientes estão em $\mathbb{R}$. Na definição acima podemos substituir $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$ e teremos, respectivamente, as definição de polinômios sobre $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$.

A seguir estão alguns exemplos de polinômios.

Exemplos

1. $p(x) = 2x+1$ (coeficientes: $2$ e $1$);

2. $q(x) = x^3 - x + 10$  (coeficientes: $1$, $0$, $-1$ e $10$);

3. $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$  (coeficientes: $1$, $0$, $-20$, $1$, $0$, $2$ e $0$);

4. $f(x) = x^8-1$ (coeficientes: $1$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, e $-1$);

5. $g(x) = x^6+2x^5+3x^4-\frac{1}{2}x^3 - \pi x^2 + \sqrt{3}x-1$ (coeficientes: $1$, $2$, $3$, $-\frac{1}{2}$. $-\pi$, $\sqrt{3}$ e $-1$);

6. $l(x)= (2-i)x^3 - 2x + 4$ (coeficientes: $2-i$, $0$, $-2$ e $4$).

Nos exemplos de 1 a 5 temos polinômios sobre $\mathbb{R}$ (pois seus coeficientes são números reais) e no exemplo 6 temos um polinômio sobre $\mathbb{C}$ (pois seus coeficientes são complexos).

Dado um polinômio, sobre $\mathbb{R}$ por exemplo, podemos aplicá-lo a qualquer número real (o mesmo raciocínio pode ser aplicado a polinômios definidos sobre os conjuntos numéricos $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{C}$). Por exemplo, aplicando o polinômio $q$ do exemplo $2$ nos números $0$, $1$, $-2$ e $\displaystyle\frac{3}{4}$ temos

$q(0) = 0^3 - 0 +10 = 10$;

$q(1) = 1^3 - 1 + 10 = 1-1+10 = 10$;

$q(-2) = (-2)^3 - (-2) + 10 = -8+2+10 = 4$;

$q\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right) = \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^3 - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{27}{64} - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{619}{64}$.

Podemos chamar um polinômio também de função polinomial. Em alguns livros de matemática os polinômios aparecem "sem seus nomes", aparecem somente com a expressão que o define, por em exemplo, ao invés de estar escrito na forma $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$, aparece somente $10x^5 - 20x^4+x^3-2x$ .

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Expressões Numéricas #5: Expressões com potências de expoentes racionais

Esse é o quinto e último post sobre expressões numéricas que teremos aqui no blog (veja os outros aqui). Quando pensei em fazer postagens sobre expressões numéricas não achava que renderia tantos posts assim, mas no decorrer das postagens percebi quantos casos diferentes podemos ter de expressões numéricas. Para encerrarmos esse assunto de expressões numéricas falta abordar as expressões que possuem potências com expoentes racionais. Não há muito segredo nesse tipo de expressão, pois uma potência com expoente racional na verdade é uma junção de potências com expoentes inteiros e raízes, ou seja, são casos que já vimos nos posts anteriores. A seguir veremos mais detalhes e exemplos desse tipo de expressões numéricas.

Expressões com potências de expoentes racionais

Já sabemos que, na ordem das operações em uma expressão numérica, as potências e as raízes devem ser feitas primeiro (exceto quanto há parênteses, colchetes ou chaves dando preferencia a outras operações). Como as potências com expoente racional são a junção de potências com expoentes inteiros e raízes, elas também devem ser feitas primeiro (na ordem das operações). Sabendo disso não fica tão complicado lidar com uma expressão numérica que contém uma (ou mais) potências com expoentes racionais, basta lembrar da definição desse tipo de potência (veja a definição aqui). Vejamos alguns exemplos.

1. Calcule o valor da expressão $25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}})$.

Solução: Como em qualquer outra expressão, começamos sempre resolvendo de dentro para fora, isto é, nesse exemplo vamos começar pelo que está entre parênteses. Dentro dos parênteses está uma potência com expoente racional, então, é por ela que devemos começar a resolver.

\begin{eqnarray} 25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}}) &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{8^2}) \\ &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{64})  \\ &=& 25 \div (1 + 4) \\ &=& 25 \div 5 = 5.   \end{eqnarray}

2. Calcule o valor da expressão $2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}]$.

Solução: Lembre-se, sempre comece a resolver uma expressão de dentro para fora e siga a ordem das operações. 

\begin{eqnarray} 2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}] &=& 2 \times \sqrt[2]{5^3} - 4 \times [10 \div (25 - 17)^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times \sqrt[2]{125} - 4 \times [10 \div 8^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times 5 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div \sqrt[3]{8}]  \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div 2] \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times 5 = 10\sqrt{5}-20.   \end{eqnarray}

Por simplicidade, escrevi $10 \times \sqrt{5}$ como $10  \sqrt{5}$, omitido o símbolo de multiplicação. Deixarei o resultado da expressão como $10\sqrt{5}-20$, sem substituir o valor de $\sqrt{5}$ por um valor aproximado. Em expressões com potências com expoentes racionais é comum aparecer raízes que não tem resultados exatos, então é melhor deixar os resultados com as raízes mesmo, pois trocá-las por valores aproximados pode gerar um "acúmulo de erros". Com as raízes, o resultado fica exato. 

3. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}$.

Solução: Usando o mesmo processo usado nos exemplos anteriores, temos

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}  &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (4-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ \sqrt{16})} \\ &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (-4)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+4)} \\ &=& \displaystyle\frac{8+\sqrt[3]{-20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8+(-\sqrt[3]{20})}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8-\sqrt[3]{20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& (8-\sqrt[3]{20}) \times\displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ (8-\sqrt[3]{20})  \times 5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ 40-5\sqrt[3]{20})  }{4} = 10 - \displaystyle\frac{5\sqrt[3]{20} }{4}.       \end{eqnarray}

4. Calcule o valor da expressão $3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}}$.

Solução: Nessa expressão há um potência racional negativa e também um raiz dentro de uma potência racional. Isso parece ser muito complicado, mas na verdade não é. Basta lembrar que, por definição, quando uma potência é negativa, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente e, para lidar com a raiz dentro da potência racional, pode-se escrever a raiz como uma potência racional e depois usar propriedades de potências.

\begin{eqnarray} 3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} &=& 3 \times (2+16)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (9 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times 18^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div 6}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \left(\displaystyle\frac{1}{18}\right)^{\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{3}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \sqrt{\displaystyle\frac{1}{18}}+ \left[3^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}} =  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}}.    \end{eqnarray}

Nesse exemplo vou deixar a resposta como está mesmo, para não usar uma aproximação com um número decimal.

5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Solução: Essa expressão é enorme, mas não é difícil. Basta ir com calma e resolver sempre de dentro para fora respeitando a ordem das operações.

\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}} &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \frac{1}{4}\right]\right\}}{4 \times (64 - 60)}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+ \frac{63}{4}\right]\right\}}{4 \times 4}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{3}{9} \times16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=&  \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{1}{3} \times 16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \frac{16}{3}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \times \frac{3}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{16} \times \displaystyle\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{256} \right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\left(\displaystyle\frac{9}{16} \right)^2\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{16}\right)^3 = \displaystyle\frac{729}{4096}.     \end{eqnarray}

Esse último exemplo parece assustador, mas só parece. Não há segredos para resolver expressões numéricas, é somente necessário começar a resolver a expressão de dentro para fora, respeitar a ordem das operações e saber as definições de cada operação, o que é o mais básico da matemática.

Exemplo em vídeo:

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Expressões Numéricas #4: Expressões com expoentes negativos

Já abordamos, nos posts anteriores, três tipos diferentes de expressões numéricas, as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves, as que possuem e as que possuem quocientes, mas em nenhum desses casos aparecem potências com expoentes negativos. Expressões numéricas com potências com expoentes negativos não são tão mais difíceis de serem calculadas quanto àquelas que não possuem, basta lembrar da definição de potência com expoente negativo, que pode ser encontrada aqui. A seguir vamos ver alguns exemplos de expressões numéricas com potências com expoente negativo.

Expressões com expoentes negativos

Como sabemos, uma expressão numérica pode conter todas as operações. No caso em que aparecem potências e raízes, estas devem ser feitas primeiro (a não ser que parênteses, colchetes ou chaves deem preferência a outras operações), antes de se fazer as multiplicações, divisões, somas e subtrações. Como potências com expoentes inteiros também são potências, esse tipo de potência entra na mesma ordem de cálculo das potências e das raízes. Vejamos alguns exemplos.

1. Calcule o valor da expressão $3 \times (10-8) + 2^{-3}$.

Solução: Nesse exemplo devemos começar pelos parênteses e, depois disso, é só seguir a ordem das operações (potências ou raízes, multiplicação ou divisão, somas ou subtrações).

\begin{eqnarray} 3 \times (10-8) + 2^{-3} &=& 3 \times 2 + 2^{-3} \\ &=& 3 \times 2 + \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 \\  &=& 3 \times 2 + \displaystyle\frac{1}{8} \\ &=& 6 + \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{49}{8}. \end{eqnarray} 

2. Calcule o valor da expressão $4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}]$.

Solução: No exemplo anterior, tínhamos somente um par de parênteses. Nesse exemplo agora temos parênteses dentro de colchetes. Nesse caso usamos a mesma "receita" de sempre, começamos resolvendo a expressão de dentro para fora, respeitando a ordem das operações e, para resolver mais rápido, podemos fazer as operações que podem ser feitas simultaneamente.

\begin{eqnarray} 4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}] &=& 4 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2} + 21 \div \left[9 \times \displaystyle\frac{1}{3}\right] \\ &=& 4 \times \displaystyle\frac{1}{25} + 21 \div 3 \\  &=& \displaystyle\frac{4}{25} + 7 =  \displaystyle\frac{179}{25}.\end{eqnarray}

3. Resolva a expressão $(-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}]$.

Solução: Lembre-se, sempre resolva de dentro para fora, respeitando a ordem das operações.

\begin{eqnarray} (-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}] &=&  9 \times \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{2} - [2 \times (9 - 4)^{-3}] \\ &=& 9 \times \displaystyle\frac{16}{9} - [2 \times 5^{-3}] \\ &=& 16 - \left[2 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^3\right] \\ &=& 16 - \left[2 \times \displaystyle\frac{1}{125}\right] \\ &=& 16 - \displaystyle\frac{2}{125} = \displaystyle\frac{1998}{125}.    \end{eqnarray}

4. Resolva a expressão $6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10}$.

Solução: Nesse exemplo, lembre-se que raízes funcionam como parênteses, chaves ou colchetes. Elas são consideradas na estratégia de resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} 6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10} &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div (9-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div 4}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{1}{16}+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{2}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{10} \\ &=& 6 \times \left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& 6 \times \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& \displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160}.      \end{eqnarray}

Vou deixar o resultado dessa expressão dessa forma mesmo. Não é necessário racionalizar ou fazer essas divisões para se obter um número com vírgula aproximado. Desse modo a resposta fica exata.

5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[3]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4}$.

Solução: 

\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4} &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [(16-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 1}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [9 \div 6]}{\sqrt[4]{80 + 1}}\right)^{-4}  \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times \frac{3}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{3}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{6}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4} = \displaystyle\frac{16}{81}.        \end{eqnarray}

Por meio desses exemplos podemos ver que, quando existem potências com expoentes negativos,  o cálculo do valor da expressão não fica muito mais complicado. Basta colocar esse tipo de potência mesma ordem de cálculo de potências com expoentes naturais e usar a definição de potência com expoente negativo de forma correta. Não há segredos.

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Expressões Numéricas #3: Quocientes de expressões

Nas duas postagens anteriores (acesse-as aqui) tratamos de vários tipos de expressões numéricas. Na primeira postagem aprendemos como se calcula expressões sem parênteses, colchetes e chaves e, na segunda postagem, vimos como se calcula expressões que possuem parênteses, colchetes e chaves. Apesar de termos abordado esses casos e feito vários exemplos, não abordamos expressões que possuem quocientes de expressões. O que é um quociente de expressões? É uma expressão divida por outra. Nessa postagem veremos como se resolve expressões que possuem quocientes de expressões. Vamos lá!

Expressões que possuem quocientes de expressões

Vamos ver alguns exemplos de expressões que possuem quocientes de expressões.

(i) $\displaystyle\frac{1+3}{(3 \times (-3+1))^2}$

(ii) $\sqrt{81} - 2 \times \left[ \displaystyle\frac{2-4^2 \times (1-4)}{100 \div (7-2)^2} \right]$

(iii) $\displaystyle\frac{1}{2} - 2 \times \left\{ \displaystyle\frac{5-7}{\sqrt{8 \div (3-1)^2}} - 4 \times \left[ \displaystyle\frac{1- (3+2)^3}{2 \times \sqrt{(5-2)^2 + 1}- 4^2}\right]  \right\}$

Depois de termos estudado como calcular expressões nas duas postagens anteriores, não há segredos para calcular expressões como as dos exemplos acima. Para calcular esse tipo de expressão, comece calculando as que estão nos quocientes, segundo o processo que vimos na postagem anterior, de dentro para fora e, depois disso, tendo eliminado os quocientes, basta seguir calculando o que sobrou da expressão, sempre de dentro para fora. Vamos calcular o valor de algumas expressões a seguir.

1. Calcule o valor da expressão $\displaystyle\frac{4^2 - 8 \div 6}{3 \times (1-2)}$.

Solução: Essa expressão é apenas um quociente de expressões. Assim, basta resolver a expressão que está em cima e a que está em baixo. No final, se necessário, faça a divisão do número que for obtido em cima pelo número que for obtido em baixo.

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{4^2 - 8 \div 6}{3 \times (1-2)} &=& \displaystyle\frac{16 - 8 \div 6}{3 \times (-1)} \\ &=& \displaystyle\frac{16 - \frac{4}{3}}{-3} \\ &=& \displaystyle\frac{\frac{44}{3}}{-3} = -\frac{44}{9}  \end{eqnarray}

2. Resolva a expressão $2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{8^2 + 16 \div 4}{\sqrt{3 \times 27} - 5}\right]$.

Solução: Começamos calculando as expressões que estão no quociente. Depois de fazermos isso, calculamos o restante da expressão.

\begin{eqnarray} 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{8^2 + 16 \div 4}{\sqrt{3 \times 27} - 5}\right] &=& 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{64 + 16 \div 4}{\sqrt{3 \times 27} - 5}\right] \\ &=& 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{64 + 4}{\sqrt{81} - 5}\right] \\ &=& 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{64 + 4}{9 - 5}\right]  \\ &=& 2 \times 11 - \displaystyle\frac{68}{4} \\ &=& 22 - 17 = 5   \end{eqnarray}

3. Calcule o valor da expressão numérica $\displaystyle\frac{2^3-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+80\div10)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9}$.

Solução: Nesse exemplo temos uma expressão numérica com dois quocientes de expressões. Quando uma expressão possui dois ou mais quocientes, basta resolver primeiramente cada expressão que está nos quocientes. Depois disso é só calcular a expressão que sobrou após calcular os quocientes.

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{2^3-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+80\div10)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9}  &=& \displaystyle\frac{8-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+80\div10)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{8-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+8)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{8-3 \times 4}{\sqrt{4}\times4} - \displaystyle\frac{12^2-2}{2 \times [10 + 3 \times 7]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{8-3 \times 4}{2\times4} - \displaystyle\frac{144-2}{2 \times [10 + 3 \times 7]+9} \\ &=&  \displaystyle\frac{8-12}{8} - \displaystyle\frac{144-2}{2 \times [10 + 21]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{-4}{8} - \displaystyle\frac{142}{2 \times 31+9} \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{142}{62+9} \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{142}{71} \\ &=& -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}     \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

Acredito que esses exemplos são suficientes para que você pegue a ideia de como resolver expressões desse tipo, comece sempre pelas expressões que estão nos quocientes, independentemente de quantos quocientes existam na expressão. Aí, tendo eliminado os quocientes, é só continuar o cálculo da expressão. Lembre-se, sempre de dentro para fora.

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Expressões Numéricas #2: Expressões com parênteses, colchetes ou chaves

Chegamos à segunda postagem sobre expressões numéricas. Na postagem anterior aprendemos como se calcula uma expressão numérica sem parênteses, colchetes e chaves. Vimos a ordem na qual as operações devem ser feitas de modo a calcular a expressão corretamente. Mas, por que algumas expressões numéricas contém parênteses, colchetes ou chaves? Esses símbolos são usados quando é necessário dar prioridade à algumas operações, eles indicam o que deve ser feito por primeiro, por segundo, etc., em uma expressão numérica. Por exemplo, vimos na postagem anterior que, na expressão numérica $3 \times 2 +5$, a multiplicação deve ser feita antes da adição, porém, se quisermos fazer a adição primeiro, devemos usar os parênteses para indicar isso da seguinte forma $3 \times (2+5)$. Esse é um exemplo bem simples. Veremos mais detalhes a seguir.  

Expressões com parênteses, colchetes ou chaves

Esses são alguns exemplos de expressões que contêm parênteses, colchetes ou chaves.

1. $2+3 \times (5-1)$

2. $5+2 \times [3^2-10 \div (1+4)]$

3. $\sqrt{3}- 10 \times \{5 + \sqrt{2} \times [(3+5)^3 - 3 \times(3-9)]\}$

4. $2 - 5 \times(\sqrt[3]{31} - (3 + 2) \times (1 + 5^2\div(11-1)))$

Por onde começar a resolver expressões como as do exemplo acima?  Já vi muitas regras sobre como resolver expressões numéricas como as do exemplo acima, mas eu digo que há somente uma, que é a seguinte:

A expressão deve ser resolvida de dentro para fora, independentemente de quais símbolos são usados, parênteses, colchetes, ou chaves.

Agora vem outra pergunta: o que significa resolver uma expressão de dentro para fora? Quando uma expressão numérica contêm parênteses, colchetes ou chaves, eventualmente, podemos ter parênteses dentro de parênteses, parênteses dentro de chaves, chaves dentro de chaves, colchetes dentro de chaves, etc. (como nos exemplos acima). Resolver de dentro para fora significa começar a resolver o que está mais a dentro da expressão, independentemente de qual símbolo seja. Outro fato importante, é um mito que o que está entre parênteses deve ser feito primeiro, o que está entre colchetes por segundo e o que está entre chaves deve ser feito por último. É muito comum, em livros do ensino superior, expressões que são escritas somente com parênteses, uns dentro dos outros. Por isso reafirmo, o modo correto de se resolver uma expressão numérica é resolvendo de dentro para fora, independentemente de quais símbolos (parênteses, colchetes ou chaves) estejam na expressão. 

Para que esse modo de resolver fique claro, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos

1. Resolva a seguinte expressão $3+4 \times (3+1)$.

Solução: Na expressão do enunciado temos somente uma expressão dentro dos parênteses e, dentro deles, não há outros parênteses, não há outros colchetes e nem chaves. Então, nessa situação, basta resolver o que está entre parênteses primeiro e depois continuar o cálculo usando a ordem das operações que vimos na postagem anterior.

\begin{eqnarray*} 3+4 \times (3+1) &=& 3+4 \times 4 \\ &=& 3+16 = 19 \end{eqnarray*}

Essa expressão poderia estar escrita nessas formas $3+4 \times [3+1]$ ou $3+4 \times \{3+1\}$ que não estaria errado. 

2. Resolva a seguinte expressão $3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4)$.

Solução: Nessa expressão os parênteses aparecem duas vezes. Observe que, mesmo aparecendo duas vezes, eles não estão um dentro do outro. Quando esse tipo de coisa ocorre numa expressão, ou seja, vários parênteses (colchetes ou chaves) sem que estejam um dento do outro, resolvemos os parênteses (colchetes ou chaves) primeiro, ao mesmo tempo, se preferir.

\begin{eqnarray*}3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4) &=& 3^2 + 10 \div 5 - 3 \times (-6) \\ &=& 3^2 + 2 + 18 \\ &=& 9 + 2 + 18 \\ &=& 11 + 18 = 29 \end{eqnarray*}

Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.

3. Calcule o valor da expressão $\sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3)$.

Solução: Nessa expressão ocorre a mesma coisa que ocorre no exemplo anterior. Para resolvê-la usamos o mesmo processo usado anteriormente.

\begin{eqnarray*} \sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3) &=& \sqrt{81} \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 9 \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 18-2 = 16  \end{eqnarray*}

Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.

4. Resolva a expressão $3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14$.

Solução: Essa expressão está no mesmo caso dos exemplos anteriores.

\begin{eqnarray*} 3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14 &=& 3 \times 2,5 + 7 \div 14 \\ &=& 7,5 + 0,5 = 8  \end{eqnarray*} 

Vamos passar para exemplos um pouco mais complicados.

5. Calcule o valor da seguinte expressão $3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)]$.

Solução: Observe que nessa expressão há colchetes e parênteses onde os parênteses aparecem dentro dos colchetes. Assim, vamos resolver a expressão de dentro para fora, primeiro calculando os parênteses e depois os colchetes.

\begin{eqnarray*} 3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)] &=& 3^2 + 2 \times [1+28 \div 14]  \\ &=& 3^2 + 2 \times [1+2] \\ &=& 3^2 + 2 \times 3 \\ &=& 9 + 6 = 15 \end{eqnarray*}

Essa expressão poderia estar escrita na forma $3^2 + 2 \times (1 + 28 \div (2 + 12))$. Não estaria errado e a forma de resolver seria a mesma, de dentro para fora.

6. Calcule o valor da expressão $(1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]$.

Solução: Note que nessa expressão temos parênteses e colchetes. Temos duas expressões entre parênteses e uma delas está entre colchetes. Lembre-se, comece a resolver de dentro para fora, calcule primeiro a expressão nos parênteses que estão dentro dos colchetes, aí depois você pode resolver o que vai ficar entre colchetes e o que está entre parênteses do lado de fora dos colchetes.

.\begin{eqnarray*} (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]  &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (-1)] \\ &=&  (1-2) \times 3 + 4 \div [1+2^2 -3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1+ 4 - 3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4\div[5 - 3] \\ &=& (-1) \times 3 + 4 \div 2 \\ &=& -3 + 2 = -1   \end{eqnarray*}

7. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot[\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)]$.

Solução: Nessa expressão temos duas expressões entre colchetes e dentro dos colchetes temos parênteses. Vamos usar o mesmo raciocínio que temos usado, vamos fazer as contas de dentro para fora, isto é, vamos fazer o que está entre parênteses e depois o que estiver nos colchetes.

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)] &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot 6] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + 1]  +  3 \cdot[9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 21 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{3} - 10 + 63 \\ &=& - \displaystyle\frac{29}{3} + 63 = \displaystyle\frac{160}{3}  \end{eqnarray*}

8. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times \left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right]$.

Solução: Vamos identificar quais são os parênteses, colchetes ou chaves que estão mais "à dentro" e começamos a resolver a expressão por eles.

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times\left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right] &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27} \div 1]\right] \\ &=&  \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27}]\right] \\  &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + 3]\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times\left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times 6\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times [8 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times 20 = 15      \end{eqnarray*}

9. Calcule o valor da expressão $-2 \times (5+3 \times (1+2))-\displaystyle\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1$.

Solução: Começando sempre de dentro para fora.

\begin{eqnarray*} -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1 &=& -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ 2) - 8)+ 2^4)-1 \\ &=&  -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times 7 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+ 3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((14 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+3 \times 3)-\frac{1}{2} \times (6+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+9)-\frac{1}{2} \times (6+ 16)-1 \\ &=& -2 \times 14 -\frac{1}{2} \times 22-1\\ &=& -28 -11-1 \\&=& -39 -1 = -40 \end{eqnarray*}

10. Calcule o valor da expressão $2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\}$.

Solução:

\begin{eqnarray*}2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\} &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\ &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\}  \\ &=& 2 \cdot\{[10 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\&=&  2 \cdot\{9 -2^2 + 10 \div 15\} \\&=& 2 \cdot\left\{9 -2^2 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{9 - 4 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{5 + \frac{2}{3}\right\}  \\ &=& 2 \cdot \frac{17}{3} = \frac{34}{3}    \end{eqnarray*}

O que ainda pode aparecer em expressões numéricas são expressões dentro de potências e dentro de radicais. Vamos ver alguns exemplos onde isso ocorre.

11. Calcule o valor da expressão $2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3$.

Solução: Nessa expressão há uma expressão entre parênteses elevada a uma potência. Em expressões desse tipo, basta resolver os parênteses primeiro e depois calcular a potência.

\begin{eqnarray} 2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3 &=& 2 + 2 \times 5 - (1+7)^3 \\ &=& 2 + 2 \times 5 - 8^3 \\ &=& 2 + 10 - 512 \\ &=&12 -512 = 500 \end{eqnarray}

12. Calcule o valor da expressão $(2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2$.

Solução: Nesse exemplo temos uma expressão entre parênteses que está elevada a uma potência. O método de resolução aqui é o mesmo, resolver de dentro para fora. Resolvemos primeiro a expressão que está dentro da potência e depois resolvemos a potência.

\begin{eqnarray} (2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2 &=& (2+3\div 9 + 4 \times 4)^2 \\ &=&\left(2+\frac{1}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{7}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{55}{3} \right)^2 = \frac{3025}{3}  \end{eqnarray}

13. Resolva a expressão $1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3$

Solução: Basta resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray}1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3 &=& 1- [2 + 3 \times 6^2 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 3 \times 36 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 108 - 4]^3 \\ &=& 1- [110 - 4]^3 \\ &=& 1 - [106]^3 \\ &=& 1 - 1191016 = -1191015   \end{eqnarray}

14. Calcule o valor da expressão $(2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5$.

Solução: Basta resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5 &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1^2)^5 \\ &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1)^5 \\ &=& (2 + 12)^2 - 2^5 \\ &=& 14^2 - 2^5 \\ &=& 196 - 32 = 164    \end{eqnarray}

15. Calcule o valor da expressão $3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2})$.

Solução: Quando uma expressão possui um radical e dentro desse radical há uma outra expressão, como é o caso desse exemplo, o radical funciona como se fosse parênteses (colchete ou chaves) e podemos colocá-lo na ordem de resolução da expressão usando o mesmo princípio que temos usado em todos os exemplos, resolvendo sempre de dentro para fora.

\begin{eqnarray} 3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{6 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{4}) \\ &=& 3 \times (2 \div 2) \\ &=&  3 \times 1 =  3   \end{eqnarray}

16. Resolva a expressão $\sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right)$.

Solução: Vamos resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} \sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right) &=& \sqrt{2+2} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 1}\right]\right) \\ &=& \sqrt{4} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{125}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + 5 \right]\right) \\ &=&  2 - 4 \times (2 + 18 \div 9) \\ &=& 2 - 4 \times (2 + 2) \\ &=& 2-4 \times 4 \\ &=& 2-16 = -14 \end{eqnarray}

Podemos ter também expressões dentro de radicais que, por sua vez estão dentro de potências e vice-versa.

17. Calcule o valor da expressão $2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33}$.

Solução: Não é exagero sempre lembrar: vamos resolver de dentro para fora:

\begin{eqnarray} 2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33} &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33}\\ &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33} \\ &=& 2+3 + \sqrt{17^2 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{289 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{256} \\ &=& 5 + 16 = 21    \end{eqnarray}

18. Calcule o valor da expressão $3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4 } + 1\right]\right\}$.

Solução: 

\begin{eqnarray} 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4}+1\right]\right\} &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-4)^4}+ 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1^4} + 1\right]\right\} \\ &=&  3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1} +1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22} + 1\right]\right\}  \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{27} + 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[3 + 1 \right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times 4\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 16 \right\} \\ &=& 3 \times \{-14\} =  -42   \end{eqnarray}

Agora, depois de ver como se resolve um expressão numérica com parênteses, colchetes ou chaves, sugiro que você faça bastante exercícios de cálculo de expressões para praticar.

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Expressões Numéricas #1 - Expressões sem parênteses, colchetes e chaves

As expressões numéricas estão presentes em todas as áreas da matemática. Em qualquer problema de matemática, principalmente os aplicados, há contas para se fazer, desde as mais simples, como calcular um troco após comprar pães numa padaria, até os mais complicados, como construir um prédio como o Burj Khalifa. Diante disso fica clara a importância das expressões numéricas, elas estão presentes em quase tudo o que o ser humano faz. Por isso, a seguir, veremos detalhadamente a definição de uma expressão numérica e como calculá-las. Vamos lá!

O que é uma expressão numérica?

Definição: Uma expressão numérica é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números.

A multiplicação pode ser denotada pelos símbolos $\times$ e $\cdot$. Em algumas casos, para simplificação, o símbolo de multiplicação é omitido. Também, além o símbolo $\div$ usado para a operação de divisão, podemos usar as frações $\displaystyle\frac{a}{b}$ para dizer que $a$ está sendo divido por $b$. Para compreendermos melhor a definição de expressão numérica,  vejamos alguns exemplos de expressões numéricas:

1. $2+3$

2. $5-\displaystyle\frac{1}{2}+8$

3. $5 \times 9 + 1 -10$

4. $3 \div 2 + \displaystyle\frac{8}{9}$ 

5. $5 \times 8 + 10 \div 2 - 8 + 2^2$

6. $ 5 \cdot 2 + 8 - 2 \cdot \sqrt{4} + 1 - 3^5$

7. $\sqrt{5} \times 2 + 3 \times (4+8)+2$ 

8. $3 \cdot (8+2) + 4^5 \div 2 + \sqrt[3]{8}$

9. $\sqrt{8+17} \times (3+1) - 10 \div 5 + (4+1) \div2 $

10. $3 \cdot[4 \cdot 21 \div (3+4)] + 32 \div 2^4$

11. $10 + 8 \cdot \{3+5^2 \div 5-[3+8\cdot(\sqrt{4}+2)]\}$

12. $10 \div (3-2(1+6\div2 - (1+6) \cdot 4^2))$

13. $1+ \displaystyle\frac{2+ 4(\sqrt{49}-1)}{8} \cdot [1+3\cdot(3+5^2)]$

14. $(-1)^3 + 2 \cdot (4 \div (7+1)) - \displaystyle\frac{2+\sqrt{5}\cdot (4+1)^3}{\sqrt[3]{27}-4^2}$

Como você pode perceber pelos exemplos acima, podemos construir várias expressões numéricas, menores, maiores, mais simples ou mais complicadas. Bom, a pergunta que surge agora é: Como calcular essas expressões numéricas? Para responder a essa pergunta, vamos separar e as expressões numéricas em dois tipos: as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves e as que possuem. Nessa postagem vamos aprender a resolver as expressões numéricas que não possuem parênteses, colchetes ou chaves. As que possuem parênteses, colchetes ou chaves ficarão para a próxima postagem, onde vamos explicar a função de cada objeto desse numa expressão numérica.  

Como calcular uma expressão numérica que não possui parênteses, colchetes ou chaves?

Quando olhamos expressões numéricas, assim como as do exemplo anterior, do 1 ao 6, é natural nos perguntarmos: Quais operações devem ser feitas primeiro? Vamos responder a essa pergunta analisando diferentes tipos de expressões, partindo das mais simples até as mais complicadas.

(a) Expressões somente com somas e subtrações

As expressões desse caso devem ser resolvidas na ordem em que as operações aparecem.

Exemplos

(i) $$3-4+5 = -1 + 5 = 4$$

(ii) \begin{eqnarray*} 4- \displaystyle\frac{2}{3} + 1 + 5 - 2 &=& \displaystyle\frac{10}{3} + 1 + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{3} + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{28}{3} - 2 = \displaystyle\frac{22}{3} \end{eqnarray*}

Como está escrito acima, se você fizer as operações na expressão numérica na ordem em que elas aparecem, você não vai errar. Mas, se você quiser calcular as expressão numéricas mais rápido, você pode efetuar mais de uma operação de uma vez, mais precisamente, você pode fazer as operações aos pares. Isso pode ser feito devido à propriedade associativa dos números reais. Vejamos um exemplo:

(iii) \begin{eqnarray*} 2+1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 3 + 14 - 1 &=& 3 + \displaystyle\frac{7}{2} + 13 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{2} + 13 = \displaystyle\frac{39}{2} \end{eqnarray*}

(b) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações e divisões

Quando, além da adição e da subtração, temos também em uma expressão numérica a multiplicação e a divisão, as operações de multiplicação e de divisão devem ser feitas primeiro. Depois de efetuá-las, sobrarão somente as operações de adição e de subtração, ou seja, vamos cair no caso anterior, assim, é só proceder da forma que vimos anteriormente. Vejamos alguns exemplos.

(i) $$3+ 2 \times 5 = 3 + 10 = 13$$

(ii) \begin{eqnarray*} 10 - \displaystyle\frac{1}{2} \times 2 + 1 + 5 \times 3 &=& 10 -1 + 1 + 5 \times 3 \\ &=& 10 -1 + 1 + 15 \\ &=& 10 + 15 = 25 \end{eqnarray*}

(iii) \begin{eqnarray*} 8-21 \div 3 +2 &=& 8 - 7+2 \\ &=& 1+2 = 3 \end{eqnarray*}

(iv) \begin{eqnarray*} 3 \div 2 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 = &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 \\ &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 25 \\ &=& 2,5 - \displaystyle\frac{49}{2} \\ &=& 2,5 + 25,5 = 28 \end{eqnarray*}

(v) \begin{eqnarray*} 4+3\cdot 2 - 3 + 10 \div 2 - 1 &=& 4+6-3+10 \div 2-1 \\ &=& 4+6-3+5-1 \\ &=& 10+2 -1 \\ &=& 12 -1 =11 \end{eqnarray*}

Nos exemplos acima, a cada passo da resolução efetuamos uma divisão ou uma multiplicação. Quando multiplicações e divisões aparecem na mesma expressão, podemos calculá-las simultaneamente (desde que não sejam em sequência, exatamente).

(vi) \begin{eqnarray*} 64 \div 4 + 3 - 5 \times 2 &=& 16+3-10 \\ &=& 19-10 = 9  \end{eqnarray*}

(vii) \begin{eqnarray*} 15+2 \times 10 - 8 \div 2 - 3 \times 4 & =& 5 + 20 - 4 - 3 \\ &=& 25 - 7  = 18  \end{eqnarray*}

(viii) \begin{eqnarray*} 3+\displaystyle\frac{1}{2}+3 \times 2 - 70 \div 10 - 5 \div 2 &=& 3 + \displaystyle\frac{1}{2} + 6 - 7 - 2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 1 -2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 3,5 \\ &=& 3,5 - 3,5 = 0  \end{eqnarray*}

(c) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações, divisões, potências e raízes.

Quando incluímos potências e raízes nas expressões numéricas do caso anterior, as potências e as raízes devem ser resolvidas primeiro.

(i) \begin{eqnarray*} 3 +2^2-3 \times 2 - 8 \div 2 &=& 3+4- 3 \times 2 - 8 \div 2 \\ &=& 3+4-6-4 \\ &=& 7 - 10 = -3   \end{eqnarray*}

(ii) \begin{eqnarray*} \sqrt{25} - 2 \times 3 + 2 &=& 5-2\times3 + 2 \\ &=& 5-6+2 \\ &=& -1+2 = 1   \end{eqnarray*} 

Nos exemplos anteriores tivemos expressões numéricas ou com potências ou com raízes. Caso estejam as duas em uma expressão numérica, podemos fazê-las simultaneamente.

(iii) \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8} - 3^4 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} &=& 2 - 81 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& 2 - 81 + 4 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& -79 + \displaystyle\frac{21}{5} = -\displaystyle\frac{295}{4}   \end{eqnarray*} 

(iv) \begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{2} + \sqrt{49} - 3 + 2^3 - 4^2 + 25 \div 5 &=& \displaystyle\frac{3}{2} + 7 -3 + 8 - 16 + 25 \div 5 \\  &=& \displaystyle\frac{3}{2} +7-3+8-16 +5 \\ &=& \displaystyle\frac{17}{2} + 5 -11 \\ &=& \displaystyle\frac{27}{2} - 11 = \displaystyle\frac{5}{2}\end{eqnarray*}

Ainda é possível fazer o seguinte, se numa expressão numérica estiver presentes multiplicações, divisões, potências e raízes, essas operações podem ser feitas simultaneamente (somente se elas não forem em sequência). A vantagem disso é que a resolução será mais curta.

(v) \begin{eqnarray*} 2+ 3^3 - 4 \times 2 + 10 \div 5 + \sqrt{9} &=& 2 + 27-2+2+3 \\ &=& 29 +3 =31\end{eqnarray*}

(d) Expressões onde aparecem multiplicações e divisões em sequência

Quando multiplicações e divisões aparecem em sequência numa expressão numérica, tais operações devem ser feitas na sequência em que aparecem, da esquerda para a direita. Vejamos alguns exemplos

(i) $$2 \times 6 \div 3 = 12 \div 3 = 4$$

(ii) $$5 \div 2 \times 3 = 2,5 \times 3 = 7,5$$

(iii) $$3 \times 3 \times 2 \div 9 = 9 \times 2 \div 9 = 18 \div 9 = 2$$

(iv) $$5 \times 3 \div 2 \div \displaystyle{1}{2} = 15 \div 2 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 7,5 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 15$$

Multiplicações e divisões em sequência também podem aparecer juntamente com somas e subtrações. Se esse for o caso, essa sequência de multiplicações e divisões devem ser feitas primeiro.

(v) $$4+2 \times 3 \div 12 = 4 + 6 \div 12 = 4 + 0,5 = 4,5$$

(vi) $$2 \times 3 \times 5 \div 15 + 2 -10 = 6 \times 5 \div 15 + 2 - 1 = 30 \div 15 + 2 -1 = 2 +2 -1 = 4 -1 = 3$$

Podemos ter ainda, juntamente com as somas, subtrações, multiplicações e divisões em sequência, as potências e as raízes. Se isso acontece, faça as sequências de multiplicações e divisões primeiro, depois faça as potências e as raízes e, por fim, as somas e as subtrações.

(vii) $$2 + \sqrt{4} - 3 \times 4 \div 8 = 2 + \sqrt{4} - 12 \div 8 = 2 + \sqrt{4}-1,5 = 2 + 2 -1,5 = 4 - 1,5 = 2,5$$

(viii) \begin{eqnarray}  1 + 2^2 - 1 \div 2 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} &=& 1 + 2^2 - 0,5 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 - 0,125 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 -1,25 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 4 -1,25 + 3 \\ &=& 5 + 1,75 = 6,75 \end{eqnarray} 

(e) Expressões onde aparecem multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência

Quando temos multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência, nessas sequências devem ser feitas primeiro as potências e as raízes e depois se calcula a sequência de multiplicações e divisões que restarem.

(i) $$5 \times 2^3 \div 8 = 5 \times 8 \div 8 = 40 \div 8 = 5$$

(ii) $$\sqrt{49} \div 2 \times 4 = 7 \div 2 \times 4 = 3,5 \times 4 = 14$$

(iii) $$3 \times 4^2 \div 8 \times \sqrt{4} = 3 \times 16 \div 8 \times 2 = 48 \div 8 \times 2 = 6 \times 2 = 12$$

Juntamente com esse tipo de sequência de operações, podem aparecer somas, subtrações, potências e raízes. Se isso ocorre, faças as sequências de multiplicações e divisões, possuindo potências e\ou raízes ou não, depois resolvas as potências e as raízes, em seguida faça as multiplicações e as divisões e, por fim faça as somas e as subtrações.

(iv) \begin{eqnarray*} 2 + 2 \times 3^4 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} &=& 2 + 2 \times 81 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - 10 \\ &=& 2 + 40,5 + 0,2 -10 \\ &=& 42,5 - 9,8 = 32,7 \end{eqnarray*}

(v) \begin{eqnarray*} 4^2 - 36 \div 2 \times \sqrt{36} \div 2^3 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} &=& 4^2-36 \div 2 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-18 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-3 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 16-3\div8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 -9 \\  &=& 16 - \displaystyle\frac{8}{3} - 12 + 5 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{40}{3} - 7 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{19}{3} - 9 = -\displaystyle\frac{8}{3}   \end{eqnarray*}

Acredito que até aqui abordamos todas as possibilidades de expressões numéricas onde não parecem parênteses, colchetes e chaves. Existem outras formas de se resolver expressões numéricas além das que foram dadas aqui nessa postagem, mas, as que estão aqui com certeza farão com que você resolva os tipos de expressões numéricas abordadas corretamente.

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