Polinômios #9: Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau)

 No post anterior começamos a estudar métodos para encontrar raízes de polinômios. Começamos bem do começo mesmo, dos polinômios de grau $1$. Nessa postagem vamos avançar em nossos estudos sobre raízes de polinômios, vamos ver uma forma de determinar se um polinômio de grau $2$  possui raízes reais e, se possuir, vamos estudar formas de determiná-las. Vamos lá!

Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau)

Considere $f(x)$ um polinômio de grau $2$ sobre $\mathbb{R}$. Desse modo, $f(x)$ possui a seguinte forma:

$f(x) = ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$.

Uma raiz de $f(x)$ é um valor de $x$ para o qual $f(x) = 0$, ou seja, uma raiz de $f(x)$ vai satisfazer a equação

$ax^2+bx+c = 0$

Qualquer equação no formato da equação acima é chamada de equação do segundo grau. Assim, as raízes de um polinômio de grau $2$ são as soluções de uma equação do segundo grau (também conhecida como equação quadrática) formada pelo polinômio igualado a $0$.

Para verificarmos se um equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$ possui solução real (ou equivalentemente, se um polinômio $f(x) = ax^2+bx+c$ possui raízes reais) usamos uma fórmula chamada Fórmula de Bhaskara, que é dada por

$x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Essa fórmula também pode ser escrita em duas partes, denotando por $\Delta$ (letra maiúscula do alfabeto grego chamada Delta) o que está dentro da raiz, ficando na forma

$\Delta = b^2 - 4ac \mbox{ e } x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Os números $a$, $b$ e $c$ que estão na fórmula de Bhaskara são os mesmos que estão na equação $ax^2+bx+c=0$.

Como estamos interessados em raízes reais ou soluções reais, é interessante usar a Fórmula de Bhaskara em duas partes. O Delta é usado para saber se uma equação do segundo grau não possui raízes reais, se possui somente uma raiz real ou se possui duas raízes reais. Ele é usado da seguinte forma:

• Se $\Delta < 0$, $f$ não possui raiz real;
• Se $\Delta = 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \displaystyle\frac{-b}{2a}$, ou seja, $f$ possui somente uma raiz $x = \displaystyle\frac{-b}{2a}$;
• Se $\Delta > 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, ou seja, temos duas raízes, a saber, $x_1 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Se você quiser saber mais detalhes sobre a Fórmula de Bhaskara e de onde ela veio, veja essa postagem:

Funções Quadráticas #2: Raízes ou zeros de uma função quadrática (equação do segundo grau) e a Fórmula de Bhaskara

Vamos ver agora alguns exemplos de como usar a Fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de um polinômio de grau $2$.

Exemplos:

1. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 2x^2+5x-3$.

Solução: Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara. Para isso, precisamos saber quem são os coeficientes $a,b$ e $c$ da fórmula. Temos $f(x) = 2x^2+5x-3$, o que nos dá $a=2$, $b=5$ e $c=-3$. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

$$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24 = 49 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \displaystyle\frac{-5 \pm 7}{4}$$

$$\Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-5 + 7}{4} = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2} \mbox{ e } x_2 = \displaystyle\frac{-5 - 7}{4} = \displaystyle\frac{-12}{4} = -3.$$

Portanto, $f$ possui duas raízes, $x_1 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_2 = -3$.

2. Verifique se o polinômio $g(x) = x^2+4x+5$ possui raízes reais.

Solução: Nesse exercício basta calcular $\Delta$, pois por meio dele saberemos se $g$ possui raízes reais. Nesse exemplo temo $a=1$, $b=4$ e $c=5$. Vejamos:

$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20 = -4.$$

Como $\Delta < 0$, o polinômio $g$ não possui raízes reais.

3. Calcule as raízes polinômio $f(x) = -3x^2+1$.

Solução: Basta aplicar a Fórmula de Bhaskara. Aqui nós temos $a=-3$, $b = 0$ e $c = 1$, assim:

$$\Delta = 0^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 12 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{0 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{\pm 2\sqrt{3}}{-6} = \displaystyle\frac{ \mp \sqrt{3}}{3}.$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{3}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4. Quais são as raízes de $h(x) = x^2 - x$?

Solução: Nesse exemplo temos $a = 1$, $b = -1$ e $c =0$. Novamente, pela fórmula de Bhaskara, temos:

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{-(-1) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \displaystyle\frac{1 \pm 1}{2}$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = 1$ e $x_2 = 0$.

5. Determine as raízes do polinômio $f(x) = \displaystyle\frac{1}{4}x^2 -3x+9$.

Solução: Aplicando a fórmula de Bhaskara para $a = \displaystyle\frac{1}{4}$, $b = -6$ e $c = 9$, temos:

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} \cdot 9 = 9-9=0 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{-(-3) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \displaystyle\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6.$$

Assim, $f$ possui somente uma raiz $x = 6$.

 A Fórmula de Bhaskara serve para determinar as raízes de qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$, por esse motivo ela é muito importante. Porém, em alguns casos particulares de polinômios de grau $2$, ela não é necessária para encontrar as raízes desses polinômios, há formas mais simples de determinar as raízes. A seguir vamos ver esses casos particulares e as formas alternativas que podemos usar para determinar as raízes desses casos particulares.

Exemplos: 

Função quadrática na forma $f(x) = ax^2+bx$

6. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 2x^2+3x$.

Solução: Fazendo $2x^2+3x=0$, temos, colocando $x$ em evidência,

$$x(2x+3)=0.$$

Assim, as raízes são $x=0$ e

$$2x+3=0$$

$$2x=-3$$

$$x=-\displaystyle\frac{3}{2}.$$

Função quadrática na forma $f(x) = ax^2-c$ ($a, c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$)

7. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 4x^2-8$.

Solução: Fazendo $4x^2 - 8 =0$, vamos ter

$$4x^2 - 8 = 0$$

$$4x^2 = 8$$

$$x^2 = \displaystyle\frac{8}{4}$$

$$x^2 = 2.$$

$$x = \pm \sqrt{2}$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \sqrt{2}$ e $x_2 = -\sqrt{2}$.

8. Determine as raízes do polinômio $g(x) = -x^2+9$.

Solução: Fazendo $-x^2+9 =0$, vamos ter

$$-x^2 + 9 = 0$$

$$-x^2 = -9$$

$$x^2 = 9$

$$x = \pm \sqrt{9}$$

Assim, as raízes de $g$ são $x_1 = \sqrt{9}=3$ e $x_2 = -\sqrt{9}=-3$.

Soma e Produto

Além da Fórmula de Bhaskara e esses casos particulares mencionados acima, há ainda uma outra forma de determinar as raízes de um um polinômio de grau $2$ chamada Soma e Produto. Esse método para encontrar as raízes de um polinômio de grau $2$ não dispensa a Fórmula de Bhaskara, a Soma e Produto só pode ser aplicada em alguns casos. Vejamos mais detalhes sobre a Soma e Produto a seguir.

Considere um polinômio $f(x) = x^2+bx+c$, ou seja, com  $a=1$. Suponha que $f$ possua duas raízes $m, n \in \mathbb{R}$ que podem ser iguais. Se $m$ e $n$ são raízes de $f$, pode ser provado (usando divisão de polinômios) que $f$ pode ser escrita na forma:

$$f(x) = (x-m)(x-n).$$

Fazendo a distributiva no segundo membro da igualdade acima, temos

$$f(x) = x^2-xn-mx+mn = x^2-(m+n)x+mn.$$

Desse modo, temos a igualdade:

$$x^2+bx+c =  x^2-(m+n)x+mn,$$

que só é possível se $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Portanto, se sabemos que $f$ possui duas raízes $m$ e $n$ ainda desconhecidas, que podem ser iguais, para determiná-las, basta encontrarmos dois números $m$ e $n$ tais que $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Essa método é chamado Soma e Produto 

Exemplos

9. Determine as raízes do polinômio $f(x) = x^2-5x+6$.

Solução: Nesse polinômio temos $b=-5$ e $c=6$. De acordo a soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = -5$ e $mn = 6$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=2$ e $n=3$ valem $-(2+3) = -5$ e $2 \cdot 3 = 6$. Logo as raízes do polinômio $f$ são $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$.

10. Determine as raízes o polinômio $f(x) = x^2 +3x-4$.

Solução: Nesse polinômio temos $b=3$ e $c=-4$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = 3$, ou ainda $m+n=-3$ e $mn = -4$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=-4$ e $n=1$ valem $(-4+1) = -3$ e $(-4) \cdot 1 = -4$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = -4$ e $x_2 = 1$.

11. Determine as raízes do polinômio $g(x) = 2x^2-3x-2$.

Solução: Aparentemente, não é possível usar soma e produto para calcular as raízes do polinômio $g$ pois $a = 2 \neq 1$. Porém podemos usar sim. Observe que a equação

$$2x^2-3x-2=0 \mbox{ é equivalente a } 2(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$

Isto é, para encontrar as raízes de $g$, basta encontrarmos as soluções da equação

$$x^2-\frac{3}{2}x-1=0.$$

Observe que podemos usar soma e produto para determinar as raízes de $h(x) = x^2-\frac{3}{2}x-1$. Note que $-(-\frac{1}{2}+ 2) = -\frac{3}{2}$ e $-\frac{1}{2} \cdot 2 =  -1$. Desse modo, as soluções de $f$ são $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 2$.

Exemplo em vídeo:

Observação:

(a) Apesar da soma e produto ser aparentemente mais fácil de se usar para obter as raízes de um polinômio, ela não tem o poder de nos dar a informação sobre a existência de raízes reais de um polinômio. Além disso, dependendo dos coeficientes $b$ e $c$, vai ficar difícil de encontrar as raízes por soma e produto. Então, é aconselhável saber como usar a Fórmula de Bhaskara, pois ela sempre funciona.

(b) A regra soma e produto não facilita as contas em qualquer caso, por exemplo, considere o polinômio

$$f(x) = x^2 +\sqrt{2}x-\pi.$$

Esse polinômio possui duas raízes reais distintas $m$ e $n$. Por meio de soma e produto, devemos determinar $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = \sqrt{2}$ e $mn = \pi$. Essa com certeza não é uma tarefa fácil. Logo, nesse caso deve-se se usar a velha e boa fórmula de Bhaskara.

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Polinômios #8 - Raiz de polinômios de grau 1 (equação do primeiro grau)

Nas duas postagens anteriores definimos o que é uma raiz de um polinômio e vimos algumas de suas propriedades, mas não vimos ainda nenhum método para encontrar as raízes de um polinômio. Dado um polinômio qualquer, não é fácil encontrar as suas raízes. Conforme o grau do polinômio aumenta, mais difícil é encontrar suas raízes, ou ainda, verificar se ele possui raiz ou não. Por esse motivo, vamos estudar métodos diferentes para encontrar as raízes de um polinômio de acordo com seu grau. Vamos começar pelo começo, vamos ver uma forma de encontrar a raiz de um polinômio de grau $1$. Determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ é a mesma coisa que resolver uma equação do primeiro grau. A seguir na postagem veremos mais detalhes sobre isso. Vamos lá!

Como encontrar a raiz de um polinômio de grau 1 (equação do primeiro grau)

Dado um polinômio de grau $1$, ele vai ter a forma $p(x) = ax + b$ com $a \neq 0$ ($a$ deve ser diferente de $0$ pois do contrário $p(x)$ não teria grau $1$). Para encontrar uma possível raiz desse polinômio, basta procurarmos por um valor de $x$ tal que $p(x) = 0$, ou seja,

$ax+b = 0$.

Equações no formato da equação acima são chamadas de equação do primeiro grau, justamente por serem um polinômio de grau $1$ igual a $0$. Assim, determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ é a mesma coisa que resolver uma equação do primeiro grau.

Um polinômio de grau $1$ sempre possui uma raiz, independentemente de estar sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ e essa raiz é única. Essa afirmação pode ser reescrita na seguinte forma, toda equação do primeiro grau possui uma única solução. Vamos provar isso. Para tanto, vamos isolar o $x$ em um dos lados dequação $ax+b=0$, ou seja, deixar o $x$ sozinho em um dos lados da equação. Somando $-b$ em ambos os lados da equação $ax+b=0$, vamos ter 

\begin{eqnarray} ax+b &=& 0 \\ ax+b-b &=& 0-b \\ ax &=& -b. \end{eqnarray} 

Agora, observe que, como $a \neq 0$, existe o número $\displaystyle\frac{1}{a}$ inverso de $a$. Multiplicando ambos os lados da última equação por $\displaystyle\frac{1}{a}$, vamos ter

\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \cdot ax &=& \frac{1}{a} \cdot (-b) \\ 1 \cdot x &=& -\frac{b}{a} \\ x &=& -\frac{b}{a}, \end{eqnarray}

isto é, o valor de $x$ é $x = -\displaystyle\frac{b}{a}$.

Para concluirmos que $x = -\displaystyle\frac{b}{a}$ é de fato solução da equação $ax+b=0$, vamos substituir esse valor da $x$ na equação. Vejamos

$a \cdot \left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right) + b = -b+b = 0$ 

Com isso, provamos que a solução de qualquer equação na forma $ax+b=0$ é $x=-\displaystyle\frac{b}{a}$. Consequantemente, provamos que $x = -\displaystyle\frac{b}{a}$ é raiz do polinômio $p(x) = ax+b$.

Observe novamente a seguinte conta

\begin{eqnarray} ax+b &=& 0 \\ ax+b-b &=& 0-b \\ ax &=& -b. \end{eqnarray}

Se você olhar somente a primeira e a terceira linha, você verá que o $b$ passou do lado esquerdo da equação para o lado direito e virou $-b$. Esse é o famoso "passa para o outro lado e troca o sinal". A segunda linha tem a explicação  do por que isso acontece quando resolvemos uma equação, passar para o outro lado com o sinal trocado é na verdade somar o oposto de um número dos dois lados da equação, o que não altera a igualdade. Passar para o outro lado com o sinal trocado não é uma mágica.

Observe agora essa outra conta

\begin{eqnarray} ax &=& -b \\ \frac{1}{a} \cdot ax &=& \frac{1}{a} \cdot (-b) \\ 1 \cdot x &=& -\frac{b}{a} \\ x &=& -\frac{b}{a}, \end{eqnarray}

Se você olhar a primeira e a última linha, você vai perceber que o $a$ que multiplicava o $x$ do lado esquerdo da equação passou para o outro lado dividindo o $-b$. Mais uma vez, isso não é mágica. Isso ocorre por que multiplicamos ambos os lados da equação por $\displaystyle\frac{1}{a}$, o que não altera a equação.Isto pode ser visto na segunda e terceira linhas.

Desse modo estão justificados as contas de "passar para o outro lado com o sinal trocado" e "passar o que está multiplicando para o outro lado dividindo". Fazemos isso com o objetivo de deixar o $x$ sozinho em um dos lados do sinal de igual para determinarmos o seu valor.

Falta mostrar que a solução $x=-\displaystyle\frac{b}{a}$ de $ax+b=0$ é única. Para provar isso, vamos supor que exista uma outra solução $x=c$ dessa equação. Assim,

\begin{eqnarray} a \cdot c +b &=& 0 \\ a \cdot c &=& -b \\ c &=& -\frac{b}{a},  \end{eqnarray}

isto é, $c = -\displaystyle\frac{b}{a}$ e, assim, não pode existir outra solução.

Agora podemos calcular a raiz de um polinômio de grau, pois sabemos que essa raiz existe e é única. Vamos fazer isso repetindo o processo que fizemos para provar a existência da solução da equação $ax+b=0$. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule a raiz do polinômio $p(x) = 3x-4$.

Solução: Conforme vimos acima, basta resolver a equação $3x-4=0$. Primeiramente, vamos passar o $-4$ para o outro lado da equação. Quando ele muda de lado, ele muda de sinal (ele vai para o outro lado como sendo $-(-4) = +4$). Assim, vamos ter

$$3x=4$$.

Agora, só falta passa o $3$ que está multiplicando o $x$ dividindo o $4$. Desse modo

$$x = \displaystyle\frac{4}{3}.$$

Esta é a raiz do polinômio $p(x)$.

2. Determine a raiz do polinômio $f(x) = -4x +2$.

Solução: Vamos resolver da mesma forma. Temos

\begin{eqnarray} -4x+2 &=& 0 \\ -4x &=& -2 \\ x &=& \frac{-2}{-4} \\ x &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray}

3. Determine a raiz do polinômio $g(x) = \displaystyle\frac{x}{2} + 1$.

Solução: O processo para determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ é sempre o mesmo. Temos

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{x}{2} + 1 &=& 0 \\ \displaystyle\frac{x}{2} &=& -1 \\ x &=& 2 \cdot (-1) \\ x &=& -2.  \end{eqnarray}

Observe que o $2$ estava dividindo o $x$ no lado esquerdo da equação e passou para o outro lado multiplicando o $-1$. Isso ocorre por que o que é feito nesse passo é multiplicar os dois lados da equação pelo inverso de $\displaystyle\frac{1}{2}$ que é igual a $2$ (observe que $\frac{1}{2}$ está multiplicando $x$ no lado esquerdo da equação).

4. Calcule a raiz do polinômio $h(x) = 5x + \displaystyle\frac{3}{2}$.

Solução: Temos o seguinte,

\begin{eqnarray} 5x - \frac{3}{2} &=& 0 \\ 5x &=& \frac{3}{2} \\ x &=& \frac{\frac{3}{2}}{5} \\ x &=& \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \\ x &=& \frac{3}{10}. \end{eqnarray}

Observe que na terceira linha da resolução há um divisão de frações, a saber, $\displaystyle\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}}$.

5. Calcule a raiz do polinômio $l(x) = \displaystyle\frac{3}{4}x + \displaystyle\frac{1}{2}$.

Solução: Fazendo as contas, temos

\begin{eqnarray} \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} &=& 0 \\ \frac{3}{4}x &=& -\frac{1}{2} \\ x &=& \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \\ x &=& -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \\ x &=& -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.\end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #7: Teorema do resto

Na postagem #5 vimos como fazer a divisão entre dois polinômios, uma operação que, apesar de parecer difícil, na verdade não é. Quando dividimos um polinômio $f(x)$ por um polinômio $g(x)$ obtemos um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$ tais que 

$f(x)  = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$.

onde $q(x)$ e $r(x)$ são únicos. Em geral, para determinar $r(x)$ em uma divisão de polinômios, é necessário fazer a conta de divisão mesmo, mas em um caso específico, podemos encontrar o resto da divisão entre dois polinômios sem fazer a conta de divisão. Interessante, não? Em alguns problemas de matemática isso pode ser muito útil, pois diminui consideravelmente a quantidade de cálculos. Esse caso específico de divisão é abordado por um teorema chamado Teorema do Resto. Bom, sem enrolações, vamos aprender o Teorema do Resto a ver quando podemos determinar o resto da divisão de dois polinômios sem fazer a divisão desses polinômios.

Teorema do Resto

No teorema a seguir, o conjunto $\mathbb{K}$ representa $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Teorema: (Teorema do Resto) Seja $f(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$. Dado $a \in \mathbb{K}$, o resto da divisão de $f(x)$ por $x-a$ é igua a $f(a)$.

O que o teorema do resto está dizendo é o seguinte: Quando você precisar dividir qualquer polinômio $f(x)$ por um outro polinômio que tenha exatamente a forma $x-a$, não é necessário fazer a divisão de $f(x)$ por $x-a$ para obter o resto $r(x)$, basta aplicar $f(x)$ em $a$ e você vai obter o resto da divisão, isto é, basta calcular $f(a)$ e você terá $r(x) = f(a)$ (um polinômio constante).

Vamos ver alguns exemplos de como aplicar esse teorema:

Exemplos:

1. Considere os polinômios $f(x) = 3x^4-x^3 - x^2 + 2x -4$ e $g(x) = x-2$. Determine o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. 

Solução: Como sabemos agora, há duas formas de determinar o resto dessa divisão, podemos efetuar a divisão propriamente dita ou podemos usar o teorema do resto. Vamos fazer esse exemplo usando essas duas maneiras de resolver para compararmos os restos obtidos em cada uma delas para ver se realmente são iguais. Vejamos

Fazendo a divisão de $f(x)$ por $g(x)$: Fazendo a divisão de $f(x)$ por $g(x)$, obtemos

Pelas contas acima, obtemos $r(x) = 36$ como resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$.

Usando o Teorema do Resto: Para usar o teorema do resto devemos identificar quem é $a$. Como $g(x) = x-2$, comparando este polinômio com o enunciado do teorema do resto, obtemos $a=2$. Assim, o teorema do resto nos garante que o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ é $f(2)$. Vamos calcular $f(2)$:

\begin{eqnarray} f(2) &=&  3\cdot 2^4-2^3 - 2^2 + 2 \cdot 2 -4 \\ &=& 3 \cdot 16 - 8 - 4 + 2 \cdot 2 - 4 \\ &=& 48 -8 - 4+4-4 \\ &=& 36 \end{eqnarray}

Viu só? Usando o teorema do resto obtivemos $r(x) = 36$, o mesmo resultado que obtivemos na divisão acima, mas com bem menos contas.

Lembre-se a partir de agora, se você tiver um polinômio qualquer $f(x)$ e precisar saber o resto da divisão desse polinômio por um outro polinômio na forma $x-a$, basta calcular $f(a)$, este será o resto da divisão de $f(x)$ por $x-a$. Vamos ver mais um exemplo.

2. Considere os polinômios $f(x) = x^5-x^3+2x^2+3$ e $g(x) = x+1$. Calcule o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. 

Solução: Vamos fazer esse exemplo usando o Teorema do Resto. Observe que $g(x) = x+1$ e que, para usar o teorema do resto, o divisor deve estar na forma $x-a$. Assim, neste caso, temos $a = -1$ pois $x+1 = x-(-1)$. Logo, para calcular o resto dessa divisão devemos calcular $f(-1)$. Vejamos,

\begin{eqnarray} f(-1) &=& (-1)^5-(-1)^3+2 \cdot (-1)^2+3 \\ &=& -1 - (-1) + 2 \cdot 1 + 3 \\  &=& -1+1+2+3 = 5.\end{eqnarray}

Portanto, pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ é $r(x) = 5$.

Quero reforçar aqui mais uma vez, o Teorema do Resto só pode ser aplicado se o divisor tiver a forma $g(x) = x-a$. Vamos fazer a seguir um contraexemplo, ou seja, um exemplo onde o Teorema do Resto não pode ser usado.

3. Considere os polinômios $f(x) = -2x^2+x+1$ e $g(x) = 3x-2$. Calcule o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$.

Solução: Como o divisor $g(x)$ não é da forma $x-a$, ou seja, ele possui o $3$ multiplicando o $x$, o Teorema do Resto não pode ser aplicado. Aqui, para calcular o resto, devemos fazer a divisão mesmo. Desse modo, 

Obtemos então como resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ o polinômio $r(x) = \displaystyle\frac{7}{9}$.

Agora, vamos calcular $f(2)$.

\begin{eqnarray} f(2) &=& -2 \cdot 2^2 + 2 +1 \\ &=& -2 \cdot 4 +2 +1 \\ &=& -8+2+1 = -5. \end{eqnarray}

Temos que $f(2) = -5$ que é diferente do resto $r(x) = \displaystyle\frac{7}{9}$ que obtivemos anteriormente. Então, se  o divisor não tiver a forma $x-a$ exatamente, não use o Teorema do Resto, faça a divisão.

Deixei um bônus para o final da postagem, a demonstração do Teorema do Resto.

Demonstração do Teorema do Resto: Considere $f(x)$ um polinômio qualquer e $g(x) = x-a$, ambos com coeficientes em $\mathbb{K}$. Aplicando o Algoritmo da Divisão para os polinômios $f(x)$ e $g(x)$ vamos encontrar únicos $q(x)$ e $r(x)$ tais que 

$f(x) = (x-a) \cdot q(x) + r(x)$ com $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(x-a) = 1$.

Desse modo, o resto $r(x)$ é um polinômio constante. Agora, aplicando $f(x)$ em $a$, vamos ter

\begin{eqnarray} f(a) &=& (a-a) \cdot q(a) + r(a) \\ &=& 0 \cdot q(a) + r(a) \\ &=& r(a). \end{eqnarray}

Desse modo, concluímos que $r(a) = f(a)$. Como anteriormente já havíamos concluído que $r(x)$ é um polinômio constante, vamos ter que $r(x) = f(a)$ para todo $x \in \mathbb{K}$ pois, se ele é constante e conhecemos seu valor em $a$, esse deve ser o mesmo valor para todo $x$. Portanto $r(x) = f(a)$ e o teorema está demonstrado.

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #6: Raízes de um polinômio

Nosso estudo sobre polinômios está avançando, já os definimos, sabemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios e também sabemos o que é o grau de um polinômio. Apesar de já termos estudado tudo isso, ainda existem aspectos importantes sobre os polinômios a serem estudados. Seguindo então com o estudo de polinômios, nessa postagem vamos estudar o que é uma raiz de um polinômio e uma propriedade importante das raízes. Ainda não veremos métodos para encontrar raízes, vamos estudar essa questão nas próximas postagens, vamos entender bem o que é uma raiz para depois procurarmos por elas.

Raízes de um polinômio

Vamos começar definindo o que é uma raiz de um polinômio.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$, isto é, sobre $\mathbb{K}$ (considere esse $\mathbb{K}$ como sendo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Um número $a \in \mathbb{K}$ é chamado raiz do polinômio $p(x)$ se $p(a) = 0$.

Vejamos alguns exemplos de raízes de polinômios.

Exemplos:

1. Considere $p(x) = 3x+1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. Temos que $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$ é uma raiz de $p(x)$ pois 

$$p\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+1 = -1+1 = 0.$$ 

O número $2$ não é raiz de $p(x)$ pois $p(2) = 3 \cdot 2+1 = 7  \neq 0$.

2. O polinômio $f(x) = x^3+3x^2-4$ possui o número $1$ como raiz pois 

$$f(1) = 1^3+3\cdot1^2-4 = 1+3-4 = 0.$$

O número $-2$ também é raiz do polinômio $f(x)$,

$$f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 4 = -8 +12 - 4 = 0.$$

Por outro lado, $x=3$ não é raiz de $f(x)$

$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 4 = 27 + 27 -4 = 50.$$

3. Os números $1$, $3$ e $4$ são raízes do polinômio 

$$h(x) = -3x^5+24x^4 - 60x^3 + 60x^2-57x+36.$$

De fato,

\begin{eqnarray} h(1) &=& -3 \cdot 1^5+24 \cdot 1^4 - 60 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1^2-57 \cdot 1 + 36 \\ &=& -3+24-60+60 -57+36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(3) &=& -3 \cdot 3^5+24 \cdot 3^4 - 60 \cdot 3^3 + 60 \cdot 3^2-57 \cdot 3 + 36 \\ &=& -3 \cdot 243+24 \cdot 81 -60 \cdot 27 +60 \cdot 9 -57 \cdot 3+36 \\ &=& -729 + 1944 - 1620+540-171 + 36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(4) &=& -3 \cdot 4^5+24 \cdot 4^4 - 60 \cdot 4^3 + 60 \cdot 4^2-57 \cdot 4 + 36 \\ &=& -3 \cdot 1024+24 \cdot 256 -60 \cdot 64 +60 \cdot 16 -57 \cdot 4+36 \\ &=& -3072 + 6144 - 3840+960-228 + 36 = 0  \end{eqnarray}

Nos exemplos acima podemos ver que um polinômio pode ter mais de uma raiz. Mas, também existem polinômios que não possuem raízes.

4. Seja $g(x) = x^2 +1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. É fácil ver que esse polinômio não possui raízes em $\mathbb{R}$. Observe que $x^2$ é sempre maior ou igual a $0$ qualquer que seja $x$ e, assim, ao somar $x^2$ com $1$, é impossível que essa soma resulte em zero para algum $x$.

Essa questão de um polinômio possuir ou não uma raiz não depende somente do polinômio propriamente dito mas também do conjunto no qual ele está definido ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

5. O polinômio $g(x) = x^2 +1$, do exemplo anterior, considerado sobre $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$. De fato,

$$g(i) = i^2 +1 = -1 +1 = 0 \mbox{ e}$$

$$g(-i) = (-i)^2 +1 = -1 +1 = 0.$$

Podemos ainda ter casos de polinômios com uma certa quantidade de raízes sobre $\mathbb{R}$ e outra quantidade de raízes em $\mathbb{C}$.

6. Considere o polinômio $f(x) = x^3 +4x$. Sobre $\mathbb{R}$, para $x = 0$, temos que 

$$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 = 0$$

e essa é a única raiz de $f(x)$  em $\mathbb{R}$. Mas, quando consideramos $f(x)$ como um polinômio sobre $\mathbb{C}$, além de $0$, ele possui mais duas raízes, a saber, os números $2i$ e $-2i$. De fato,

$$f(2i) = (2i)^3+4 \cdot 2i = -8i + 8i = 0 \mbox{ e}$$

$$f(-2i) = (-2i)^3 + 8 \cdot (-2i) =  8i - 8i = 0.$$

Com esses exemplos, dado um polinômio, podemos perceber que ele pode ter nenhuma, uma ou mais raízes e isso ainda depende do conjunto no qual ele está definido. Dessa observação, podemos fazer a seguinte pergunta: Conhecendo o polinômio, tem como saber quantas raízes distintas ele vai ter? A resposta é: em geral, não. Mas podemos saber quantas raízes distintas ele vai ter, no máximo. O que é garantido pelo seguinte teorema.

Teorema: Seja $p(x)$ um polinômio definido sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) que possui grau $n \geq 0$. Então $p(x)$ possui, no máximo, $n$ raízes distinhas em $\mathbb{K}$.

Vamos ver alguns exemplos:

7. O polinômio $p(x) = x^2 - 1$ sobre sobre $\mathbb{R}$ possui grau $2$, assim, pelo teorema anterior ele possui, no máximo, duas raízes distintas.

8. O polinômio $f(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 8$ sobre $\mathbb{R}$ possui, no máximo, $5$ raízes distintas pois seu grau é $5$.

9. O polinômio $g(x) = 3x^7-\sqrt{3}x^6 - x^2 + 1$ sobre $\mathbb{R}$ possui no máximo $7$ raízes distintas.

10. O polinômio $h(x) = -3x^4 + (1+i)x^3 - 4x$ sobre $\mathbb{C}$ possui, no máximo, $4$ raízes distintas.

Especificamente, a respeito de polinômios sobre $\mathbb{C}$, temos os seguintes teoremas

Teorema: Todo polinômio sobre $\mathbb{C}$ possui pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.

Esse teorema mostra uma diferença importante entre polinômios sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{C}$. Como vimos no exemplo 4, nem todo polinômio sobre $\mathbb{R}$ possui raízes, mas, em $\mathbb{C}$ isso não ocorre.

Agora que sabemos o que é uma raiz e também quantas raízes, no máximo, um polinômio pode ter, vamos estudar uma propriedade importante das raízes de um polinômio, a qual é dada pelo seguinte teorema.

Teorema: Considere um polinômio $p(x)$ sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então o polinômio $x-a$ divide o polinômio $p(x)$. Em outras palavras, podemos escrever $p(x)$ na forma:

$p(x) = (x-a)q(x)$ onde  $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{K}$. 

Em outras palavras, o teorema acima diz que, se $a$ é a uma raiz de $p(x)$, então, dividindo $p(x)$ por $x-a$ obtem-se o resto da divisão igual a zero. 

Vamos ver alguns exemplos (todos os polinômios dos exemplos estão sobre $\mathbb{R}$):

11. Temos que $1$ é raiz de $p(x) = x^2-1$. De fato, $p(1) = 1^2 - 1 = 0$. Desse modo, pelo teorema anterior, temos que $x-1$ divide o polinômio $p(x)$. Isso realmente acontece, é fácil ver que 

$$x^2-1 = (x-1)(x+1).$$

(comparando esse exemplo com o teorema anterior, tem-se $q(x) = x+1$).

12. Considere o polinômio $f(x) = x^3+x^2-8x-12$. Note que $x = 3$ é raiz desse polinômio pois

\begin{eqnarray} f(3) &=& 3^3 + 3^2 -8 \cdot 3 -12 \\ &=& 27 + 9 - 24 - 12 \\ &=& 0. \end{eqnarray}

Assim, pelo teorema anterior $x-3$ divide $f(x)$. De fato isso ocorre, como podemos ver a seguir

Podemos então escrever $x^3+x^2-8x-12 = (x-3)(x^2+4x+4)$.

13. Seja $h(x) = x^4+x^3+x^2+x$. Temos que

\begin{eqnarray} h(-1) = (-1)^4+(-1)^3+(-1)^2 + (-1) \\ &=& 1-1+1-1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}.

Logo, $x=-1$ é raiz de $h(x)$. Portando, o polinômio $x-(-1) = x+1$ divide $h(x)$. De fato,

Podemos escrever então $x^4+x^3+x^2+x = (x+1)(x^3+x)$.

Acredito que podemos encerrar essa postagem por aqui. Já sabemos o que é uma raiz de um polinômio e também conhecemos uma importante propriedade das raízes. Agora podemos caminhar no sentido de encontrarmos as raízes de um dado polinômio. Faremos isso nas próximas postagens.

Resumo da postagem em vídeo:

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Polinômios #5: Algoritmo da divisão para polinômios

Nas postagens anteriores já falamos de soma, subtração e multiplicação de polinômios e, agora, chegou a vez de falarmos da divisão de polinômios. A divisão de polinômios ficou para depois pois precisamos da definição de grau para para explorarmos bem as características da divisão de polinômios. A divisão de polinômios costuma a assustar um pouco as pessoas pois parece uma coisa complicada, mas na verdade não é. Nessa postagem vamos falar do Algoritmo da Divisão para polinômios que é o teorema que garante a possibilidade de se fazer a divisão e, depois disso, vamos ver exemplos de como se fazer a divisão de polinômios. Vamos lá!

Algoritmo da divisão para polinômios

Antes de fazermos os exemplos de divisão de polinômios, vamos abordar a teoria por trás dessa operação. Vamos ver agora o teorema chamado Algoritmo da Divisão para polinômios, que também é conhecido como Algoritmo de Euclides para polinômios. Esse teorema nos garante que sempre é possível dividir um polinômios por outro, que não seja nulo.

Teorema: (Algoritmo da Divisão para polinômios) Dados os polinômios $f(x)$ e $g(x)$ (sobre $\mathbb{R}$ ou sobre $\mathbb{C}$) com $g(x) \neq 0$, então existem polinômios $q(x)$ e $r(x)$ (sobre o mesmo conjunto nos quais $f(x)$ e $g(x)$ estão) tais que $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$. Além disso, os polinômios $q(x)$ e $r(x)$ são únicos.

Observação: Os polinômios $q(x)$ e $r(x)$ do teorema anterior são chamado de  quociente e resto, respectivamente, da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. Também chamamos o polinômio $f(x)$ de dividendo e o polinômio $g(x)$ de divisor.

Em outras palavras, o que o Algoritmo da Divisão para polinômios está nos dizendo é o seguinte, se você tem dois polinômios $f(x)$ e $g(x)$, com $g(x) \neq 0$, e precisa dividir $f(x)$ por $g(x)$, então você conseguirá encontrar um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$, únicos, tais que $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$. 

No caso em que, na divisão de $f(x)$ por $g(x)$ obtivermos $r(x) = 0$, ou seja, o resto da divisão é o polinômio nulo, dizemos que $g(x)$ divide $f(x)$. 

O Algoritmo da Divisão para polinômios nos garante que sempre é possível fazer a divisão de um polinômio por outro não nulo, porém ele não nos apresenta nenhuma forma de encontrarmos o quociente $q(x)$ e o resto $r(x)$. A seguir veremos exemplos de como dividir dois polinômios e obtermos o quociente e o resto dessa divisão.

Exemplos: 

1. Calcule o quociente e o resto na divisão de $f(x) = x^3-2x^2+x + 4$ por $g(x) = x+2$.

Solução: Começaremos a fazer esta divisão montando a chave com os polinômios, da seguinte forma:

Depois de montarmos a chave, vamos começar a determinar o quociente $q(x)$ que vai estar na seguinte posição na chave:

Para começarmos a calcular o quociente, precisamos olhar o primeiro termo de $f(x)$ e o primeiro termo de $g(x)$, que são, respectivamente, $x^3$ e $x$. Tendo identificados esses temos, temos que encontrar um termo de $q(x)$ tal que, este termo multiplicado por $x$, seja igual a $x^3$ (isto é, o primeiro termo de $q(x)$ deve ser o termo que multiplicado pelo primeiro termo de $g(x)$ seja igual ao primeiro termo de $f(x)$). Podemos perceber que o primeiro termo de $q(x)$ será então $x^2$, pois, $x^3 = x^2 \cdot x$. Agora que determinamos o primeiro termo de $q(x)$, vamos começar a escrever o $q(x)$. 

Agora vamos multiplicar $x^2$ por $g(x) = x+2$ e vamos colocar o resultado em baixo de $f(x)$, da direita para a esquerda, de modo que as mesmas potências de $x$ fiquem uma em baixo da outra. Veja que $x^2(x+2) = x^3 + 2x^2$.

Agora vamos fazer  $f(x) - (x^3  + 2x^2)$.

Depois de efetuarmos a subtração, encontramos o polinômio $-4x^2+x+4$. Vamos continuar obtendo o quociente $q(x)$ da seguinte forma, vamos determinar o próximo termo de $q(x)$ tal que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x+2$, se obtenha o primeiro termo de $-4x^2+x+4$. Isto é, queremos encontrar um outro termo de $q(x)$ tal que, ele vezes $x$ seja igual a $-4x^2$. Logo, este termo que estamos procurando é igual a $-4x$. Vamos colocar esse termo logo após $x^2$ do quociente.

Agora, vamos multiplicar $-4x$ por $x+2$, que é igual a $-4x^2-8x$, e colocar em baixo de $-4x^2+x+4$, da direita para a esquerda, de modo que as mesmas potências de $x$ fiquem uma em baixo da outra.

Vamos fazer a subtração $-4x^2 + x + 4 - (-4x^2-8x)$.

Agora nós temos o polinômio $9x+4$. Para prosseguir determinando $q(x)$, devemos encontrar outro termo do polinômio $q(x)$ tal que, este termo multiplicado pelo primeiro termo de $x+2$ seja igual ao primeiro termo de $9x+4$, isto é, o próximo termo de $q(x)$ é tal que ele vezes $x$ é igual a $9x$. Claramente, ele é igual a $9$. Vamos colocá-lo em sequência em $q(x)$.

O próximo passo agora é multiplicar $9$ por $x+2$ e colocar em baixo de $9x+4$ e subtrair um do outro. Note que $9(x+2) = 9x+18$.

Assim, chegamos ao $-14$ e paramos o processo de divisão. Temos que parar por aqui por que chagamos a um resultado das subtrações que possui grau menor que o dividendo, o polinômio $g(x)$. Observe que $gr(-14) = 0$ e $gr(x+2) =1$. Logo, $r(x) = -14$ é o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ e $q(x) = x^2-4x+9$ é o quociente, pelo Algoritmo da Divisão para polinômios podemos escrever

$$x^3-2x^2+x+4 = (x+2) \cdot (x^2-4x+9) + (-14).$$

O exemplo anterior foi feito de forma bem detalhada. Vamos fazer o próximo exemplo com menos detalhes pois, como é a mesma operação de divisão de polinômios, será feita de modo análogo ao primeiro exemplo.

2. Calcule o quociente e o resto na divisão de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$ por $g(x) = x^2-2x-3$.

Solução: Assim como no início do exemplo anterior, vamos montar a chave com os polinômios do enunciado onde $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$ é o dividendo e $g(x) = x^2-2x-3$ é o divisor.

O primeiro termo do quociente $q(x)$ é o termo que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x^2-2x-3$ é igual ao primeiro termo de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$. Desse modo, temos que o primeiro termo de $q(x)$ é $2x^3$, visto que $2x^3 \cdot x^2 = 2x^5$. Tendo determinado o primeiro termo de $q(x)$, vamos multiplicar esse termo por $g(x) = x^2-2x-3$ e vamos subtrair o resultado de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$. Assim vamos obter,

Como resultado da subtração feita anteriormente obtivemos o polinômio $5x^4+7x^3-2x^2$. Assim, o próximo termo de $q(x)$ é tal que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x^2-2x-3$ obtém-se o primeiro termo de $5x^4+7x^3-2x^2$ . Assim, esse próximo termo é igual a $5x^2$ pois $5x^4 = 5x^2 \cdot x^2$. Vamos colocar este termo em sequência no quociente, multiplicar $g(x) = x^2-2x-3$ e subtrair de $5x^4+7x^3-2x^2$. Desse modo, vamos ter,

Nessa última subtração ficamos com o polinômio $17x^3+13x^2+x$. Vamos continuar a divisão. Lembre-se do que vimos no primeiro exemplo, só paramos a divisão quando tivermos como resultado de uma subtração um polinômio com grau menor que o grau do divisor $g(x)$, ou seja, menor que $2$. O próximo termo de $q(x)$ é tal que, multiplicado por $x^2$, obtém-se $17x^3$. Assim, vemos que este termo é $17x$. Vamos colocar este termo na sequência do quociente, multiplicá-lo por $g(x) = x^2-2x-3$ e subtrair o resultado de $17x^3+13x^2+x$. Sendo assim, temos,

Essa última subtração ainda não tem resultado com grau menor que o grau do divisor, então vamos continuar a divisão. O próximo termo de $q(x)$, quando multiplicado por $x^2$, deve ser igual a $47x^2$. Sendo assim, esse termo é igual a $47$. Assim, a continuação da divisão fica com a forma

 Agora sim acabou a divisão. Observe que o resultado da última subtração é  $146x-137$ que possui grau$1$ e, por sua vez, é menor que $2$ que o grau de $g(x) = x^2-2x-3$. Portanto o quociente da divisão é $q(x) = 2x^3 + 5x^2 + 17x+47$ e o resto é $r(x) = 146x + 137$. Pelo Algoritmo da Divisão para polinômios também podemos escrever

$$2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4 = (x^2-2x-3) \cdot (2x^3 + 5x^2 + 17x+47) + 146x + 137.$$ 

Vamos para mais um exemplo.

3. Verifique se o polinômio $x-1$ divide o polinômio $x^3-1$.

Solução: Acima no texto está a definição de quando um polinômio divide outro, que nos diz que isso ocorre se o resto da divisão for igual a zero. Assim, o exercício acima pode ser reescrito acima como: Verifique se o resto da divisão de $x^3-1$ por $x-1$ é igual a $0$. Para verificar isso, vamos efetuar a divisão de $x^3-1$ por $x-1$. Antes disso, observe que $x^3-1$ não está na forma "completa" como os polinômios dos exemplos anteriores, ou seja, ele não possui os termos onde $x$ possui potências $2$ e $1$. Para evitar erros na divisão de um polinômio assim, complete-o com zeros, isto é, o escreva na forma $x^3 + 0x^2 + 0x -1$. Tendo observado isso, vamos fazer a divisão.

A partir de agora, vamos seguir de forma análoga aos exemplos anteriores. Observe que $x^2 \cdot x = x^3$, assim, o primeiro termo do quociente é igual a $x^2$. Multiplicando $x^2$ por $x-1$ vamos ter

Continuando a divisão, o próximo termo do quociente é $x$, pois $x \cdot x = x^2$. Multiplicando $x$ por $x+1$ e subtraindo o resulta de $x^2$ vamos ter

Agora, podemos perceber que o último termo do quociente é $1$, pois $1 \cdot x = x$. Multiplicando $1$ por $x-1$ e subtraindo esse polinômio de $x-1$ vamos ter

A última subtração teve como resulta o $0$, assim a divisão acabou com  resto igual a  $0$. Portanto, o polinômio $x-1$ divide o polinômio $x^3-1$. Além disso, o quociente dessa divisão é $q(x) = x^2+x+1$. Também podemos escrever

$$x^3-1 = (x-1) \cdot (x^2+x+1).$$

Exemplo em vídeo:

Viu só como não é difícil dividir polinômios? Basta repetir o mesmo processo visto nestes três exemplos para dividir quaisquer dois polinômios, com o divisor não nulo.

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Polinômios #4: Grau de um polinômio

Chegamos à quarta postagem sobre polinômios. Já vimos a definição de polinômio e também as operações de soma, subtração e multiplicação com os polinômios. Nessa postagem vamos tratar de outra característica importante dos polinômios, o seu grau. Também nessa postagem vamos estudar as propriedades do grau de um polinômios que estão relacionadas com as operações de soma e de multiplicação. Vamos lá!

Grau de um polinômio

Vamos à definição de grau de um polinômio.

Definição: Considere um polinômio não nulo qualquer (sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$)

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0.$$

O grau do polinômio $p(x)$ é o maior expoente que aparece nas potências de $x$ que estão no polinômio, ou seja, o grau de $p(x)$ é igual a $n$. Para denotar o grau de $p(x)$ usamos a notação $gr(p(x)) = n$. O coeficiente que acompanha o $x^n$ (o $x$ que possui o maior expoente na potência), isto é, o coeficiente $a_n$ é chamado termo dominante de $p(x)$.

Observação: Um polinômio é dito nulo se ele é o polinômio constante igual à zero, ou seja, ele possui a forma $p(x) = 0$. A definição acima só é aplicada a polinômios não nulos. Não definimos grau para o polinômios nulo, isto é, o polinômio nulo não possui grau e, consequentemente, não possui termo dominante.

Vamos ver alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus e termos dominantes.

Exemplos: 

1. Qualquer polinômio na forma $p(x) = a$, com $a$ constante, possui grau igual a $0$ e seu termo dominante é igual a $a$ (nos polinômio $x^0$ = 1 e, isso ocorre mesmo no caso em que $x=0$). 

2. O polinômio $p(x) = x+1$ possui grau igual a $1$ e termo dominante igual a $1$.

3. No polinômio $f(x) = -3x^4 + 3x^2 -x- 10$ temos $gr(f(x)) = 4$ e seu termo dominante é igual a $-3$.

4. No polinômio $g(x) = 7x^5+1$ temos $gr(g(x)) = 5$ e seu termo dominante é igual a $7$.

5. O polinômio $h(x) = 8x^7-x^6+2x^5-3x^4-x^3+10x^2+x+1$ possui grau igual a $7$ e seu termo dominante é igual a $8$.

Sabendo o que é grau e termo dominante de um polinômio, vamos ver agora as propriedades do grau de um polinômio com relação às operações de soma e multiplicação. Essas propriedades são dadas pelo seguinte teorema:

Teorema: Sejam $p$ e $q$ polinômios não nulos sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$. Valem as seguintes afirmações:

(a) $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$ vale a igualdade.

O item (a) está dizendo que o grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ e que a igualdade ocorre, isto é, o grau da soma será igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$.

(b) $gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x))$.

O item (b) está dizendo que o grau do produto de dois polinômios é igual à soma dos seus graus.

Observação: O item (a) continua verdadeiro se trocarmos o sinal de $+$ pelo sinal de $-$.

Vamos entender, por meio de exemplos, como que funciona o teorema anterior.

Exemplos:

6. Considere os polinômios $p(x) = 4x^3-3x^2+x-1$  e $q(x) = -2x^3+2x+2$. Veja que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 3$. Somando estes dois polinômios vamos obter o polinômio $f(x) = 2x^3-3x^2+3x+1$. Observe que o grau de $f(x)$ é igual a $3$ e, assim, observando que $\max\{gr(p(x)), gr(q(x))\} = \max\{3,3\} = 3$, vale o que está no item (a) do teorema anterior, isto é, $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$, pois $3 \leq 3$. Observe inda que, a igualdade só ocorreu, mesmo sendo os graus de $p(x)$ e $q(x)$ iguais, pois os termos dominantes desses polinômios não são um oposto do outro. Isso nem sempre ocorre. O teorema garante a igualdade quando os graus dos polinômios são diferentes.

7. Considere os polinômios $f(x) = x^4 +x^2-3x-10$ e $g(x) = -x^4 + x^3+2x+8$. Nesse exemplo temos $gr(f(x)) = 4$ e $gr(g(x)) = 4$. Somando esses dois polinômios, vamos obter o polinômio $h(x) = x^3 +x^2-x-2$. Note que $gr(h(x)) = 3$. Temos aqui o item (a) verificado, isto é, $gr(f(x) + g(x)) = gr(h(x)) = 3$ e $\max\{f(x),g(x)\} = \max\{4,4\} = 4$, ou seja, $gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\}$ (3 \leq 4). Aqui nesse exemplo a igualdade não foi verificada pois os polinômios possuem o mesmo grau e seus termos dominantes são números opostos.

Observando os dois exemplos acima, conseguimos entender por que, em geral, vale $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e não a igualdade $gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$. A igualdade só pode ser garantida se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$. Vamos ver isso no próximo exemplo.  

8. Considere os polinômios $p(x) = x^5 - x+10$ e $q(x) = -x^4 + x^2 -1$. Temos que $gr(p(x)) = 5$ e $gr(q(x)) = 4$. Somando $p(x)$ com $q(x)$ vamos obter $f(x) = x^5 - x^4 + x^2 -x + 9$. Como os graus são diferentes, é impossível que, ao somarmos $p(x)$ com $q(x)$, o termo $x^5$ de $p(x)$ se anule com algum termo de $q(x)$, visto que o maior expoente de $x$ que aparece em $q(x)$ é o $4$. Logo vale $5 = gr(f(x)) = gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x)),gr(q(x))\} = \max\{5,4\}$.

9. Considere os polinômios $p(x) = x^3-2x+1$ e $q(x) = x^4+2$. Temos que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 4$. Calculando a diferença entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ vamos obter o polinômio $f(x) = -x^4 x^3 -2x -1$. O teorema anterior também é verificado para a diferença, veja que $gr(p(x)+q(x)) = 4$ e $\max\{p(x),q(x)\} = \max\{3,4\} = 4$, ou seja, temos exatamente, $gr(p(x)+q(x)) \leq \max\{p(x),q(x)\}$. Nesse exemplo, temos também que $gr(p(x)+q(x)) = \max\{p(x),q(x)\}$, visto que $gr(p(x)) = gr(q(x))$. 

10. A propriedade de grau com relação à multiplicação de polinômios é bem mais fácil de ser usada. Considere os polinômios $f(x) = x^3-1$ e $g(x) = x^2+x-1$. Note que $gr(f(x)) = 3$ e $gr(g(x)) = 2$. Pelo teorema anterior temos que $gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 3 + 2 = 5$. Fazendo a multiplicação de $f(x)$ por $g(x)$ vamos ter $f(x) \cdot g(x) = x^5+x^4-x^3+x^2+x-1$. O teorema está verificado. Isso ocorre pois o termo dominante da multiplicação de dois polinômios é a multiplicação dos respectivos termos dominantes e o expoente do $x$ que vai estar com esse coeficiente é o expoente que aparece como resultado de $x^3 \cdot x^2$, ou seja, $x^5$.

Quando se conhece os polinômios, para encontrar o grau da soma, da subtração ou da multiplicação, basta fazer essas operações e ver qual é o grau do polinômios resultante, assim, as regras para se obter o grau vistas no teorema anterior não se tornam, digamos, tão importantes. Porém isso não as tornam inúteis, elas são muito úteis quando precisamos saber o grau do resultado da soma, subtração ou multiplicação de polinômios onde não conhecemos os polinômios mas somente os seus graus. A seguir veremos alguns exemplos disso.

11. Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ onde $gr(p(x)) = 4$ e $gr(q(x)) = 2$. Determine o grau de $p(x) + q(x)$ e de $p(x) \cdot q(x)$.

Solução: Para resolver essa questão, basta usar o teorema anterior. Como $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$, então,

$$gr(p(x) + q(x)) = \max\{p(x),q(x)\} = \max\{4,2\} = 4.$$

Para a multiplicação, temos

$$gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) = 4 + 2 = 6.$$

12. Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios tais que $gr(f(x)) = gr(g(x)) = 6$. O que podemos afirmar sobre os graus de $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$ e de $f(x) \cdot g(x)$?

Solução: Como $gr(f(x)) = gr(g(x))$, sobre $gr(f(x) + g(x))$, podemos afirmar que 

$$gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ 

isto é, $gr(f(x)+gr(g(x))) \leq 6$. Sobre $f(x) - g(x)$ podemos afirmar que 

$$gr(f(x) - g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ isto é, $gr(f(x)-gr(g(x))) \leq 6$. Para a multiplicação, temos

$$gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 6+6 = 12.$$

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #3: Multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades

No último post estudamos a operação de soma (adição) de polinômios e suas propriedades, agora, para dar sequência ao estudo de polinômios, nesse post, vamos estudar a operação de multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades. Para compreender bem como se faz a multiplicação de polinômios é importante lembrar das propriedades algébricas dos números reais (que são as mesmas dos números complexos) e também da propriedades de potenciação. Esses assuntos foram abordados anteriormente aqui no blog. Se for necessário, faça uma revisão desses assuntos. Acho que já podemos começar a falar da multiplicação de polinômios. Vamos lá!

Multiplicação (produto) de polinômios

A seguir vamos ver a definição formal do que é a multiplicação de polinômio, depois disso, vamos ver como essa operação entre polinômios funciona na prática.

Definição: Considere os seguintes polinômios (sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$),

$$p(x) = a_nx^n + a^{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0.$$

A multiplicação (produto) de $p(x)$ por $q(x)$, denotada por $p(x) \cdot q(x)$, é definida por

$$p(x) \cdot q(x) = \sum_{k=1}^{n+m}c_kx^k \mbox{ onde } c_k = \sum_{i+j = k} a_ib_j.$$

Como eu escrevi acima, essa é a definição formal. Ela parece um pouco complicada, mas não é. Vamos esmiuçar um pouco essa definição para a compreendermos melhor.

A definição nos diz que o produto $p(x) \cdot q(x)$ é um polinômio na forma 

$$p(x) \cdot q(x) = c_{n+m}x^{m+n} + \cdots + c_1x + c_0$$

onde, 

\begin{eqnarray} c_0 &=& a_0b_0 \\ c_1 &=& a_0b_1 + a_1b_0 \\ c_2 &=& a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ c_3 &=& a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 \\ & \vdots & \\ c_{n+m} &=& a_nb_m   \end{eqnarray}

Isto é, os coeficientes $c_k$ do produto $p(x) \cdot q(x)$ são formados pela soma dos termos $a_ib_j$ onde $i+j = k$.

Olhando para essa definição temos a sensação de que parece tudo muito complicado, mas calma, não é nada complicado. Essa definição somente formaliza o que fazemos na prática para multiplicar dois polinômios, ou seja, a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule $p(x) \cdot q(x)$ onde $p(x) = x-1$ e $q(x) = x^2+2x+3$.

Solução: Vamos resolver esse exemplo de duas formas. Vamos primeiramente resolver usando a definição e depois usando a propriedade distributiva da multiplicação. Isso para podermos verificar que a definição corresponde exatamente com o uso da propriedade distributiva.

Pela definição: Temos que $a_1 = 1$ e $a_0 = -1$ em $p(x)$ e $b_2 = 1$, $b_1 = 2$ e $b_0 = 3$ em $q(x)$. Desse modo, pela definição, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& (1 \cdot 1)x^{1+2} + ((-1)\cdot 1 + 1 \cdot 2 )x^{2} + ((-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3)x + (-1) \cdot 3 \\ &=& x^3 + (-1+2)x^2 + (-2+3)x + (-3) \\ &=& x^3 + x^2 + x -3.  \end{eqnarray}

Usando a distributiva: Para usar a distributiva, basta pegar o primeiro termo de $p(x)$ e multiplicar por todos os termos de $q(x)$, lembrando de fazer o jogo de sinal, depois multiplicar o segundo termo de $p(x)$ por todos os termos de $q(x)$ e assim por diante, até acabarem o termos de $p(x)$.

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& x\cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot x^2 -1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 \\ &=& x^3 + 2x^2 + 3x -x^2 - 2x -3 \\ &=& x^3 +x^2 + x -3. \end{eqnarray}

Viu só? Os resultados foram os mesmos. Daqui em diante usaremos somente a distributiva para fazer a multiplicação de polinômios por ser mais simples e mais intuitiva. Vamos continuar com os exemplos.

2. Efetue o produto dos polinômios $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x -1$ e $g(x) = 5x^2 +1$.

Solução: Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos,

\begin{eqnarray} f(x) \cdot g(x) &=& (4x^3 - 3x^2 + x -1) \cdot (5x^2 +1) \\ &=& 4x^3 \cdot 5x^2 + 4x^3 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 5x^2 - 3x^2 \cdot 1 + x \cdot 5x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot 5x^2 - 1 \cdot 1 \\ &=& 20x^5 + 4x^3 - 15 x^4 - 3x^2 + 5x^3 + x - 5x^2 -1 \\ &=& 20x^5 - 15x^4 + 9x^3-8x^2+ x -1.\end{eqnarray}

3. Calcule o produto dos polinômios $p(x) = x^2+x+2$ e $q(x) =  -2x^2 +3x-1$.

Solução: Fazendo como no exemplo anterior, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x^2+x+2)  \cdot (-2x^2 +3x-1) \\ &=& x^2 \cdot (-2x^2) + x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot (-1) + x \cdot (-2x^2) + x \cdot 3x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-2x^2) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-1) \\ &=& -2x^4 + 3x^3-x^2-2x^3+ 3x^2-x - 4x^4+ 6x -2 \\ &=& -2x^4 +x^3 +2x^2+5x -2.\end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

A seguir estão algumas propriedades da multiplicação de polinômios. Elas podem ser usadas sempre que necessário.

Propriedades: Dados os polinômios $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ valem:

(i) $(f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x) = f(x) \cdot (g(x) \cdot h(x))$ (associatividade da multiplicação);

(ii) $f(x) \cdot g(x) = g(x) \cdot f(x)$ (comutatividade da multiplicação);

(iii) O polinômio $p(x) = 1$ é o elemento neutro da multiplicação de polinômios pois,

\begin{eqnarray} p(x) \cdot f(x) &=& 1 \cdot f(x) = f(x) \\ f(x) \cdot p(x) &=& f(x) \cdot 1 = f(x). \end{eqnarray}

(iv) Dado um polinômio $p(x)$ qualquer, em geral, ele não possui um inverso multiplicativo, isto é, não existe um polinômio $q(x)$ tal que $p(x) \cdot q(x) = 1$. Os polinômios que possuem inversos multiplicativos são somente os polinômios constantes não nulos, ou seja, diferente de zero. Dado um polinômio constante não nulo $p(x) = a$, este possui inverso multiplicativo $q(x) = \displaystyle\frac{1}{a}$. Por exemplo, se $p(x) = 5$, seu inverso multiplicativo é o polinômio $q(x) = \displaystyle\frac{1}{5}$.

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