Polinômios #15: Fatoração de polinômios

Nessa série de postagens sobre polinômios, dentre outras coisas, estudamos as operações entre polinômios, o que são raízes de polinômios, algumas formas de obter raízes de polinômios e polinômios irredutíveis. Com esses tópicos bem compreendidos, podemos avançar nosso estudo sobre polinômios e começar a tratar da fatoração de polinômios. Nessa postagem estudaremos o que é a fatoração de um polinômio, quando ela pode ser feita e também veremos, por meio de exemplos, algumas maneiras de fatorar um polinômio. Uma das consequência de se fatorar um polinômio é obter todas as suas raízes, então podemos dizer que obter a fatoraração um polinômio é uma forma de obter todas as suas raízes e isso é muito útil. Faremos isso considerando todos os polinômios sobre $\mathbb{R}$. Vamos lá!

Fatoração de polinômios

Primeiramente vamos entender o que é a fatorar um polinômio e também o que é a fatoração um polinômio. 

Fatorar um polinômio $p(x)$ é o processo de escrever esse polinômio como um produto de fatores, ou seja, é o processo de escrever $p(x)$ como um produto de outros polinômios. Cada polinômio desse produto é chamado de fator. A fatoração de um polinômio $p(x)$ é este polinômio escrito como um produto de fatores, isto é, quando se fatora um polinômio $p(x)$, se escreve este polinômio como produto de outros polinômios, este produto de polinômios é chamado fatoração do polinômio $p(x)$.

Podemos considerar dois tipos de fatoração, a fatoração completa e a fatoração incompleta. Uma fatoração de um polinômio $p(x)$ onde todos os fatores são polinômios irredutíveis é chamada fatoração completa de $p(x)$. Caso contrário, a fatoração é chamada fatoração incompleta. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Podemos escrever o polinômio $p(x) = 3x^3-7x^2-7x+3$ da seguinte maneira

$$3x^3-7x^2-7x+3 = (3x-1)(x+1)(x-3).$$

Essa é uma fatoração do polinômio $p(x)$. Observe que os fatores nessa fatoração são polinômios de grau $1$, ou seja, todos os fatores na fatoração de $p(x)$ são polinômios irredutíveis. Logo essa é uma fatoração completa de $p(x)$.

2. O polinômio $f(x) = 2x^4-2x^2-3x^3+3x$ pode ser escrito na seguinte forma

$$2x^4-2x^2-3x^3+3x = x(2x-3)(x^2-1).$$

Nessa fatoração do polinômio $f(x)$ um dos fatores é o polinômio $x^2-1$ que não é irredutível, pois ele pode ser escrito como $x^2-1 = (x+1)(x-1)$. Logo, a fatoração apresentada acima não é uma fatoração completa do polinômio $f(x)$.

Observação 1: Quando se trata de fatoração de polinômios, os produtos notáveis podem ser muito úteis, vamos lembrá-los

$$(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2;$$

$$(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2.$$

Além deles, a diferença de quadrados também é muito útil, que é

$$x^2-a^2 = (x+a)(x-a).$$

Note que os dois produtos notáveis e a diferença de quadrados acima são fatorações de polinômios. No exemplo 2 foi usada a diferença de quadrados para escrever $x^2-1=(x+1)(x-1)$ e justificar que a fatoração de $f(x)$ é incompleta.

Por meio desse dois exemplos percebemos que polinômios podem ser fatorados, mas podemos nos perguntar o seguinte: Sempre podemos fatorar um polinômio? O teorema a seguir tem a resposta para essa pergunta.

Teorema: Seja $f(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{R}$). Então, existem polinômios irredutíveis $p_1(x)$, $p_2(x)$, $\dots$, $p_n(x)$ sobre $\mathbb{K}$ tais que

$$f(x) = p_1(x) \cdot p_2(x) \cdot \dots \cdot p_n(x).$$

O que o teorema acima nos diz é, qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, possui uma fatoração completa, ou seja, qualquer polinômio sobre esses conjuntos pode ser fatorado. Apesar dessa informação ser muito importante (a existência da fatoração de qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), o teorema acima não trás consigo nenhuma informação ou método para fatorar um polinômio. Assim, dado um polinômio $p(x)$, para obtermos a fatoração desse polinômio vamos precisar aplicar tudo o que sabemos sobre raízes de polinômio, sobre métodos para encontrar raízes de polinômios e sobre polinômios irredutíveis. Em geral, não é fácil fatorar um polinômio. Por esse motivo, a seguir veremos alguns exemplos de como podemos fatorar um polinômio com algumas ideias que você pode usar sempre que precisar fatorar um polinômio.

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, todos os polinômios serão considerados sobre $\mathbb{R}$.

1. Fatore o polinômio $p(x) = 2x^2+5x-3$.

Solução: Temos que fatorar um polinômio de grau $2$. Como vimos na postagem anterior, esse polinômio pode ser irredutível e, se ele for, não é possivel fatorá-lo. Para verificar se um polinômio de grau $2$ sobre $\mathbb{R}$ é irredutível, precisamos calcular o $\Delta$. Nesse polinômio temos $a=2$, $b=5$ e $c=-3$ e, desse modo

$$\Delta = b^2-4ac = 5^2-4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24=49.$$

Como $\Delta > 0$, temos que esse polinômio é reditível e, assim, é possível fatorá-lo. Temos algumas formas de fatorar o polinômio $p(x)$. Vamos fazer aqui da maneira "mais difícil" e depois vamos ver forma mais fáceis de fatorar esse polinômio. Vamos primeiramente calcular as raízes desse polinômio. Observe que já calculamos $\Delta$, então, vamos usar a segunda parte da fórmula de Bhaskara para calcular as raízes de $p(x)$. Temos,

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}.$$

Desse modo, as raízes de $p(x)$ são $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $-3$. Pelo que vimos na postagem #6, $p(x)$ é divisível por $x+3$ e  por $x - \displaystyle\frac{1}{2}$. Para evitar frações, vamos dividir $p(x)$ por $x-3$ e vamos encontrar o outro fator da fatoração de $p(x)$. Temos,

Pontanto $p(x) = (x+3)(2x-1)$. Essa é a fatoração de $p(x)$.

Fiz o exemplo acima da maneira "mais difícil" por que essa maneira sempre funciona para polinômios redutíveis de grau $2$.  Antes de fazermos uma observação com a maneira mais fácil de fatorar um polinômio (redutível) de grau $2$, veremos uma definição.

Definição: Conside um polinômio $f(x)$ sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. O polinômio $f(x)$ é chamado mônico ou unitário se o coeficiente dominante de $p(x)$ for igual a $1$.

Os polinômios $g(x) = x^2-3x-1$ e $h(x) = x^4-2x^3+1$ são exemplos de polinômios mônicos enquanto $r(x) = 2x^3-4x+1$ não é mônico.

Observação 2: Se $f(x)$ é um polinômio mônico de grau $2$, ou seja, se ele possui a forma $p(x) = x^2-a_1x+a_0$ e $\alpha$ e $\beta$ são as suas raízes, então $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$. Se $\alpha = \beta$, vamos ter o caso do produto notável $f(x) = (x-\alpha)^2$.

Por exemplo, $f(x) = x^2-3x+2$ possui por raízes os números $1$ e $2$ (para verificar isso, podemos usar soma e produto). Desse modo podemos escrever $f(x)$ na forma 

$$f(x) = (x-1)(x-2).$$

Mesmo se o polinômio não for mônico, ainda podemos usar o raciocínio acima. No exemplo 1, temos o polinômio $p(x)=2x^2+5x-3$ que não é mônico. Nesse caso, colocamos o coeficiente dominante em evidência, assim vamos ter,

$$p(x) = 2\left(x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right).$$

Agora, aplicamos o raciocínio anterior ao polinômio $x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$ que é mônico. As raízes desse polinômio são $-3$ e $\displaystyle\frac{1}{2}$ (já as calculamos no exemplo 1). Assim, o polinômio $p(x)$ pode ser escrito na forma

$$p(x) = 2\left(x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right) = 2(x+3)\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right).$$

a qual também é uma fatoração de $p(x)$.

Logo, para fatorar um polinômio (redutível) de grau $2$, se você não quiser fazer uma divisão de polinômios como no exemplo 1, basta conhecer suas raízes e usar o raciocínio da observação 2.

De um modo geral, se um polinômio $f(x)$ tem grau $n$, é mônico e possui $n$ raízes $r_1$, $\dots$, $r_n$, então o polinômio $f(x)$ pode ser escrito na forma

$$f(x) = (x-r_1)(x-r_2) \cdots (x-r_n).$$

Vamos continuar com os exemplos.

2. Fatore completamente o polinômio $p(x) = x^3+2x^2+x-4$.

Solução: Vamos começar tentando  determinar alguma raiz do polinômio $p(x)$. Pelo Teorema das Raízes Racionais, temos que $\pm 1$, $\pm 2$ e $\pm 4$ são possíveis raízes de $p(x)$. Para verificar se, de fato, algum desses números é uma raíz de $p(x)$, devemos testá-los. Temos

\begin{eqnarray} p(1) &=& 1^3+2 \cdot 1^2 + 1 - 4 \\ &=& 1 + 2+1 - 4 = 0.\end{eqnarray}

Que sorte a nossa! O primeiro número testado já é uma raiz. Bom, poderíamos testar as outras possibilidades para saber se entre elas temos outras raízes, mas não vamos fazer isso. Por que? Como sabemos que $1$ é raiz, então $x-1$ divide $p(x)$. Fazendo essa divisão, vamos encontrar um polinômio $q(x)$ de grau $2$ tal que $p(x) = (x-1)q(x)$ ($q(x)$ terá grau $2$ pois $gr(p(x)) = gr(x-1)+gr(q(x))$, ou seja, $3=1+gr(q(x))$). Assim, para continuar fatorando o polinômio $p(x)$, basta fatorar $q(x)$ que é um polinômio de grau $2$, os quais sabemos bem como fatorar. Dividindo $p(x)$ por $x-1$, temos

Logo, $p(x) = (x-1)(x^2+3x+4)$. Uma fatoração completa é uma fatoração onde todos os fatores são irredutíveis. Assim, para continuar a fatoração de $p(x)$ devemos verificar se $x^2+3x+4$ é irredutível. Se ele for, a fatoração acima já é a que estamos procurardo e, se ele não for, vamos ter que fatorar o polinômio $x^2+3x+4$. Para esse polinômio, temos $a=1$, $b=3$ e $c=4$. Assim, 

$$\Delta = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 4 = 9-16=-7.$$

Como $\Delta < 0$, o polinômio $x^2+3x+4$ é irredutível e a fatoração $p(x) = (x-1)(x^2+3x+4)$ de $p(x)$ é uma fatoração completa.

Antes do próximo exemplo, temos outra observação importante.

Observação 3: Considere $f(x)$ um polinômio qualquer. Se a somas dos seus coeficientes for igual a $0$, então o número $1$ é raiz de $p(x)$.

Essa observação poderia ser usada para calcular a raiz de $p(x)$ do exemplo 2. Sempre que for calcular as raízes de um polinômio, sempre verifique se a soma de seus seus coeficientes é igual a $0$, pois se for, já terá o número $1$ como raiz desse polinômio.

Vamos para o próximo exemplo.

3. Determine a fatoração completa do polinômio $p(x) = x^3-7x-6$.

Solução: Os coeficientes do polinômio $p(x)$ são $1$, $-7$ e $-6$ e, como $1-7-6 = -12 \neq 0$, segue que $1$ não é raiz de $p(x)$. Vamos aplicar nesse polinômio o Teorema das Raízes Racionais. Por esse teorema, as possibilidades de raízes de $p(x)$ são $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ e $\pm 6$. Como $1$ não é raiz de $p(x)$, vamos começar a testar as possibilidades de raízes pelo $-1$. Temos,

$$p(-1) = (-1)^3-7 \cdot (-1)-6 = -1+7-6=0.$$

Já encontramos uma raiz de $p(x)$, o $-1$. Assim, $p(x)$ é divisível por $x+1$. Fazendo a divisão, temos

 

Logo, $p(x) = (x+1)(x^2-x-6)$. Para continuar a fatoração de $p(x)$, vamos fatorar $x^2-x-6$. Usando soma e produto, temos que este polinômio possui as raízes $-2$ e $3$ (ele é redutível). Desse modo, como $x^2-x-6$ é mônico, segue que $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$. Portanto, a fatoração completa de $p(x)$ é $p(x)= (x+1)(x+2)(x-3)$.

4. Encontre a fatoração completa do polinômio $p(x) = x^4+3x^3+3x^2+3x+2$.

Solução: Claramante, $1$ não raiz do polinômio $p(x)$. Como esse polinômio possui grau $4$, vamos novamente usar o Teorema das Raízes  Racionais. Desse modo, as possibilidade de raízes são $\pm 1$ e $\pm 2$. Como já sabemos que $1$ não é raiz, vamos prosseguir testando o $-1$. Temos,

\begin{eqnarray} p(-1) &=& (-1)^4+3 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2  + 3 \cdot (-1) + 1 \\ &=& 1 -3+3-3+2 = 0. \end{eqnarray}

Logo, $-1$ é raiz de $p(x)$. Vamos agora dividir $p(x)$ por $x+1$. Temos

Logo, $p(x) = (x+1)(x^3+2x^2+x+2)$. Agora temos que continuar fatorando o polinômio $q(x) = x^3+2x^2+x+2$. Vamos novamente aplicar o Teorema das raízes racionais nesse polinômio. Desse modo, suas possíveis raízes são $\pm 1$ e $\pm 2$. E fácil ver que $1$ não é raiz. Assim, vamos  testar as outras posibilidades. Temos

\begin{eqnarray} q(-1) &=& (-1)^3+2 \cdot (-1)^2 + (-1)+2 \\ &=& -1 + 2- 1 +2 = 2 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} q(2) &=& 2^3+2 \cdot 2^2 + 2 +2 \\ &=& 8 + 8 + 2 +2 = 20 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} q(-2) &=& (-2)^3+2 \cdot (-2)^2 + (-2)+2 \\ &=& -8 + 8- 2 +2 = 0 \end{eqnarray}

Logo, $-2$ é raiz de $q(x)$ e $q(x)$ é divisível por $x+2$. Fazendo a divisão, temos

 

Assim, $q(x) = (x+2)(x^2+1)$. Escrevendo $q(x)$ dessa forma, temos que $p(x) = (x+1)(x+2)(x^2+1)$. Observe que $x^2+1$ é irredutível, pois esse polinômio possui $\Delta = -4 < 0$. Logo, $p(x) = (x+1)(x+2)(x^2+1)$ é uma fatoração completa.

5. Determine a fatoração completa do polinômio $p(x) = x^4+2x^3+2x^2$.

Solução: Vamos fazer esse exemplo de uma forma diferente. Antes de tentar usar o Teorema das Raízes Racionais, podemos tentar reescrever o polinômio já determinando a sua forma fatorada. Observe que podemos colocar o $x^2$ em evidência no polinômio $p(x)$ e, assim, temos

$$p(x) = x^2(x^2 + 2x+ 1).$$

Agora, observe que $x^2+2x+1 = (x+1)^2$, logo

$$p(x) = x^2(x+1)^2.$$

Essa é a fatoração completa de $p(x)$, pois é um produto de polinômio de grau $1$ ($p(x) = x x (x+1)(x+1)$). 

Então, antes de pensar um uma conta mais complicada ou uma forma mais complexa de fatorar um polinômio, tente reescrevê-lo em forma de produto colocando algum termo em evidência. Isso pode simplificar bastate o processo de fatorar um polinômio.

Vamos usar esse mesmo raciocínio no próximo exemplo (um pouco mais complicado).

6. Fatore completamente o polinômio $p(x) = x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4$.

Solução: Podemos reescrever esse polinômio na seguinte forma

\begin{eqnarray} x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4 &=& x^5-x^4-x^3+x^2 - 4x^3+4x^2+4x-4 \\ &=&  x^2(x^3-x^2-x+1) -4(x^3-x^2-x+1) \\ &=& (x^2-4)(x^3-x^2-x+1) \\ &=& (x^2-4)(x^3-2x^2+x+x^2-2x+1) \\ &=& (x^2-4)(x(x^2-2x+1) + (x^2-2x+1)) \\ &=& (x^2-4)(x+1)(x^2-2x+1) \\ &=& (x^2-4)(x+1)(x-1)^2 \\ &=& (x-2)(x+2)(x+1)(x-1)^2  \end{eqnarray}

Logo, a fatoração de completa de $p(x)$ é 

$$p(x) = (x-2)(x+2)(x+1)(x-1)^2.$$

Raramente a ideia utilizada no exemplo 6 é fácil de  ser aplicada, mas é uma tentativa a ser considerada.

Esses 6 exemplos contém ideias para fatorar polinômios que são muito úteis. Se você estudar esses exemplos e aplicar as mesmas ideias a outros polinômio, a chance de você conseguir fatorá-lo é muito grande.

Por último, um exemplo em vídeo:

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Leia mais

Polinômios #13 - O Teorema das Raízes Racionais

Nas postagens anteriores vimos fórmulas para determinar as raízes de polinômios de graus $1$, $2$, $3$ e $4$. No caso dos polinômios de grau $1$ é bem facil determinar sua raiz. No caso dos polinômios de grau $2$, temos a Fórmula de Bhaskara que é capaz de fornecer as raízes de qualquer polinômio de grau $2$. Já no caso dos polinômios de graus $3$ e $4$ temos a Fórmula de Tartaglia e a Fórmula de Ferrari, respectivamente, que são bem complicadas de serem usadas. Para os polinômios de grau $5$ em diante nem existe uma fórmula que forneça as raízes desses polinômios. Diante disso, percebemos que faz muito sentido e que é muito importante conhecermos métodos alternativos para calcular as raízes de um polinômio. Essa postagem está aqui para isso, para que você conheça um método alternativo para determinar as raízes de um polinômio. Nela eu vou te apresentar o Teorema das Raízes Racionais. Ele não é uma fórmula, mas ele é capaz de fornecer candidatos a raízes de um polinômio qualquer que tenha coeficientes inteiros. Vamos agora conhecê-lo a prender como aplicá-lo.

O Teorema das Raízes Racionais

Teorema (Teorema das raízes racionais): Seja $p(x)$ um polinômio dado por

$$p(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0$$

onde $a_n, \dots, a_0$ são números inteiros. Se $\displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}$, na forma irredutível, é uma raiz de $p(x)$, então $r$ divide $a_0$ e $s$ divide $a_n$.

Esse teorema não garante a existênca de uma raiz racional para o polinômio $p(x)$, ele diz que se $p(x)$ possui alguma raiz racional na forma irredutível $\displaystyle\frac{r}{s}$, então, obrigatoriamente, $r$ tem que dividir o $a_0$ (termo independente) e o $s$ tem que dividir o $a_n$ (termo dominante). Se ele não garante a existência dessa raiz racional, como podemos usá-lo? Usamos esse teorema da seguinte forma: primeiramente verificamos se o polinômio $p(x)$ possui coeficientes inteiros. Depois identificamos o número $n$, que é o grau do polinômio para podermos identificar os coeficientes $a_0$ e $a_n$. Em seguida determinamos todos os divisores de $a_0$ que serão os possíveis $r$ e todos os divisores de $a_n$ que serão os possíveis $s$. Conhecendo as possibilidades para $r$ e para $s$, o próximo passo é montar as frações $\displaystyle\frac{r}{s}$ com as possibilidades que encontranmos para $r$ e para $s$. Agora, o Teorema das Raízes Racionais nos diz que, se o polinômio $p(x)$ possui uma raiz racional, ela vai ter que ser uma das possibilidades de $\displaystyle\frac{r}{s}$ que econtramos. Assim, o último passo é aplicar o polinômio $p(x)$ em cada $\displaystyle\frac{r}{s}$ que encontramos para verificar qual dessas possibilidades é uma raiz. Observe que esse teorema só fornece candidatos a raízes que são racionais, ou seja, se o polinômio tiver raízes irracionais ou complexas, estas não vão aparcer como candidatas a raízes. Isto significa que esse teorema nem sempre fornece todas raízes de um polinômio. Caso entre os candadatos a raízes não haja nenhuma raiz, isso significa que o polinômio possui somente raízes irracionais ou complexas.

Vamos ver por meio de exemplos como aplicar o teorema das raízes racionais para determinar algumas raízes de um polinômio.

Exemplos:

1. Usando o teorema das raízes racionais, determine as raízes racionais do polinômio $p(x) = 2x^4-2x^3-3x^2-x-2$.

Solução: A primeira coisa que devemos verificar é se o polinômio possui coeficientes inteiros. Como o polinômio $p(x)$ possui os coeficientes inteiros, podemos aplicar o Teorema das Raízes Racionais. Temos que $n=4$, assim $a_4 = 2$ e $a_0=-2$. Agora vamos determinar os divisores de $a_0 = -2$ que serão os $r$ e os divisores de $a_4 = 2$ que serão os $s$. Desse modo, os possíveis $r$ são $\{\pm 1, \pm 2\}$ e os possíveis $s$ são $\{\pm 1, \pm 2\}$. Para obter as possiblidades para $\displaystyle\frac{r}{s}$, basta montar a possíveis frações com todas as possibilidades de $r$ e de $s$. Assim, as possibilidades de $\displaystyle\frac{r}{s}$ são 

$$\left\{\pm 1, \pm \displaystyle\frac{1}{2}, \pm 2 \right\}.$$

Agora vamos testar as possibilidades que encontramos para $\displaystyle\frac{r}{s}$. Temos

\begin{eqnarray} p(1) &=& 2 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2  - 2 \\ &=& 2 - 2 - 3 - 1 - 2 = -6 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p(-1) &=& 2 \cdot (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - (-1) - 2 \\ &=& 2 + 2 - 3 + 1 - 2 = 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) &=& 2 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4 - 2 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) - 2 \\ &=& 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{16} - 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{8} - 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} - \displaystyle\frac{1}{2} - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}-2 \\ &=& -\displaystyle\frac{27}{8} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) &=& 2 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4 - 2 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) - 2 \\ &=& 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{16} + 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{8} - 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{2} - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}-2 \\ &=& -\displaystyle\frac{15}{8} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p(2) &=& 2 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 2 \\ &=& 2 \cdot 16 - 2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 - 2 - 2 \\ &=& 32-16-12-2-2 = 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p(-2) &=& 2 \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 - (-2) - 2 \\ &=& 2 \cdot 16 - 2 \cdot (-8) - 3 \cdot 4 - (-2) - 2 \\ &=& 32+16-12+4-2 = 38 \end{eqnarray}

Como $p(-1)=0$ e $p(2)=0$, as raízes racionais do polinômio $p(x)$ são $-1$ e $2$.

Observe que, nesse exemplo, não estamos afirmando que essas são as únicas raízes do polinômio $p(x)$, estas são apenas suas raízes racionais. Como o grau desse polinômio é $4$, ele pode ter mais duas raízes reais que não são racionais. Nas postagens seguintes veremos como determinar todas as raízes reais de um polinômio. Vamos para mais um exemplo.

2. Calcule as raízes racionais do polinômio $f(x) = 3x^5-x^4+9x^3-3x^2+6x-2$.

Solução: Como este polinômio possui coeficientes inteiros, podemos aplicar o Teorema das Raízes Racionais. Nesse caso temos $n = 5$, $a_5 = 3$ e $a_0 = -2$. Agora vamos determinar os divisores de $a_0 = -2$ que serão os $r$ e os divisores de $a_5 = 3$ que serão os $s$. Assim, os possíveis $r$ são $\{\pm 1, \pm 2\}$ e os possíveis $s$ são $\{\pm 1, \pm 3\}$. As possíveis raízes racionais desse polinômio são as frações $\displaystyle\frac{r}{s}$ passando por todas as possibilidades de $r$ e de $s$. Logo, as possíveis raízes de $f(x)$ são

$$\left\{\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}\right\}.$$ 

Vamos aplicar $f(x)$ em cada possibilidade de raiz racional para verificar se esse polinômio possui raiz racional.

\begin{eqnarray} f(1) &=& 3 \cdot 1^5 - 1^4 + 9 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 -2 \\ &=& 3 - 1 + 9 - 3 + 6 -2 = 12 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f(-1) &=& 3 \cdot (-1)^5 - (-1)^4 + 9 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) -2 \\ &=& -3 - 1 - 9 - 3 - 6 -2 = -24 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5 - \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) - 2 \\ &=& - 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{243} - \displaystyle\frac{1}{81} - 9 \cdot \displaystyle\frac{1}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{1}{9} - 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{3}- 2  \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{81}-\displaystyle\frac{1}{81}-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{3}-2 - 2 \\ &=& -\displaystyle\frac{380}{81} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5 - \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right) - 2 \\ &=& 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{243} - \displaystyle\frac{1}{81} + 9 \cdot \displaystyle\frac{1}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{1}{9} + 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{3}- 2  \\ &=& \displaystyle\frac{1}{81}-\displaystyle\frac{1}{81}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{3}+2 - 2 \\ &=& 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f(2) &=& 3 \cdot 2^5 - 2^4 + 9 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 -2 \\ &=& 3 \cdot 32 - 16 + 9 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2 -2 \\ &=& 96 - 16 + 72 - 12 + 12 - 2  = 150 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f(-2) &=& 3 \cdot (-2)^5 - (-2)^4 + 9 \cdot (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) -2 \\ &=& -3 \cdot 32 - 16 - 9 \cdot 8 - 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 -2 \\ &=& -96 - 16 - 72 - 12 - 12 - 2  = 210 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 - \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right) - 2 \\ &=& 3 \cdot \displaystyle\frac{32}{243} - \displaystyle\frac{16}{81} + 9 \cdot \displaystyle\frac{8}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{4}{9} + 6 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}- 2  \\ &=& \displaystyle\frac{32}{81}-\displaystyle\frac{16}{81}+\displaystyle\frac{8}{3}-\displaystyle\frac{4}{3}+ 4 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{286}{81} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 - \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right) - 2 \\ &=& - 3 \cdot \displaystyle\frac{32}{243} - \displaystyle\frac{16}{81} - 9 \cdot \displaystyle\frac{8}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{4}{9} - 6 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}- 2  \\ &=& -\displaystyle\frac{32}{81}-\displaystyle\frac{16}{81}-\displaystyle\frac{8}{3}-\displaystyle\frac{4}{3}-4 - 2 \\ &=& -\displaystyle\frac{286}{27} \end{eqnarray}

Logo, das oito possibilidades de raízes racionais, somente uma delas é raiz, o número $\displaystyle\frac{1}{3}$. 

Exemplo em vídeo:

Observações importantes:

(a) Como já foi observado anteriormente, o Teorema das Raízes Racionais só fornece as raízes que forem racionais. Esse teorema nem sempre fornece todas as raízes de um polinômio. Se o número de raízes obtidas pelo Teorema das Raízes Racionais for menor que o grau do polinômio, pode ser que esse polinômio possua mais algumas raízes reais que não são racionais. Por exemplo, o polinômio $g(x) = x^3 + x^2-3x-3$ possui as raízes $1$, $\sqrt{3}$ e $-\sqrt{3}$. Ao aplicar o Teorema das Raízes Racionais nesse polinômio, a única raiz que vai aparecer entre as possibilidades de raízes é a raiz $1$. Assim, as outras raízes devem ser determinadas usando outros métodos. 

(b) Outra coisa que pode acontecer se o número de raízes obtidas for menor que o grau do polinômio é o polinômio não possuir mais raízes reais. Para ter certeza de que um polinômio não tem mais raízes reais além daquelas obtidas pelo Teorema das Raízes Racionais, outros métodos dever ser usados (veremos isso nas próximas postagens).

(c) Se ao aplicar o Teorema das Raízes Racionais em um polinômio, a quantidade de raízes obtidas for igual ao grau do polinômio, nesse caso e somente nesse caso, essas são todas as raízes reais do polinômio.

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Polinômios #6: Raízes de um polinômio

Nosso estudo sobre polinômios está avançando, já os definimos, sabemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios e também sabemos o que é o grau de um polinômio. Apesar de já termos estudado tudo isso, ainda existem aspectos importantes sobre os polinômios a serem estudados. Seguindo então com o estudo de polinômios, nessa postagem vamos estudar o que é uma raiz de um polinômio e uma propriedade importante das raízes. Ainda não veremos métodos para encontrar raízes, vamos estudar essa questão nas próximas postagens, vamos entender bem o que é uma raiz para depois procurarmos por elas.

Raízes de um polinômio

Vamos começar definindo o que é uma raiz de um polinômio.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$, isto é, sobre $\mathbb{K}$ (considere esse $\mathbb{K}$ como sendo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Um número $a \in \mathbb{K}$ é chamado raiz do polinômio $p(x)$ se $p(a) = 0$.

Vejamos alguns exemplos de raízes de polinômios.

Exemplos:

1. Considere $p(x) = 3x+1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. Temos que $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$ é uma raiz de $p(x)$ pois 

$$p\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+1 = -1+1 = 0.$$ 

O número $2$ não é raiz de $p(x)$ pois $p(2) = 3 \cdot 2+1 = 7  \neq 0$.

2. O polinômio $f(x) = x^3+3x^2-4$ possui o número $1$ como raiz pois 

$$f(1) = 1^3+3\cdot1^2-4 = 1+3-4 = 0.$$

O número $-2$ também é raiz do polinômio $f(x)$,

$$f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 4 = -8 +12 - 4 = 0.$$

Por outro lado, $x=3$ não é raiz de $f(x)$

$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 4 = 27 + 27 -4 = 50.$$

3. Os números $1$, $3$ e $4$ são raízes do polinômio 

$$h(x) = -3x^5+24x^4 - 60x^3 + 60x^2-57x+36.$$

De fato,

\begin{eqnarray} h(1) &=& -3 \cdot 1^5+24 \cdot 1^4 - 60 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1^2-57 \cdot 1 + 36 \\ &=& -3+24-60+60 -57+36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(3) &=& -3 \cdot 3^5+24 \cdot 3^4 - 60 \cdot 3^3 + 60 \cdot 3^2-57 \cdot 3 + 36 \\ &=& -3 \cdot 243+24 \cdot 81 -60 \cdot 27 +60 \cdot 9 -57 \cdot 3+36 \\ &=& -729 + 1944 - 1620+540-171 + 36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(4) &=& -3 \cdot 4^5+24 \cdot 4^4 - 60 \cdot 4^3 + 60 \cdot 4^2-57 \cdot 4 + 36 \\ &=& -3 \cdot 1024+24 \cdot 256 -60 \cdot 64 +60 \cdot 16 -57 \cdot 4+36 \\ &=& -3072 + 6144 - 3840+960-228 + 36 = 0  \end{eqnarray}

Nos exemplos acima podemos ver que um polinômio pode ter mais de uma raiz. Mas, também existem polinômios que não possuem raízes.

4. Seja $g(x) = x^2 +1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. É fácil ver que esse polinômio não possui raízes em $\mathbb{R}$. Observe que $x^2$ é sempre maior ou igual a $0$ qualquer que seja $x$ e, assim, ao somar $x^2$ com $1$, é impossível que essa soma resulte em zero para algum $x$.

Essa questão de um polinômio possuir ou não uma raiz não depende somente do polinômio propriamente dito mas também do conjunto no qual ele está definido ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

5. O polinômio $g(x) = x^2 +1$, do exemplo anterior, considerado sobre $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$. De fato,

$$g(i) = i^2 +1 = -1 +1 = 0 \mbox{ e}$$

$$g(-i) = (-i)^2 +1 = -1 +1 = 0.$$

Podemos ainda ter casos de polinômios com uma certa quantidade de raízes sobre $\mathbb{R}$ e outra quantidade de raízes em $\mathbb{C}$.

6. Considere o polinômio $f(x) = x^3 +4x$. Sobre $\mathbb{R}$, para $x = 0$, temos que 

$$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 = 0$$

e essa é a única raiz de $f(x)$  em $\mathbb{R}$. Mas, quando consideramos $f(x)$ como um polinômio sobre $\mathbb{C}$, além de $0$, ele possui mais duas raízes, a saber, os números $2i$ e $-2i$. De fato,

$$f(2i) = (2i)^3+4 \cdot 2i = -8i + 8i = 0 \mbox{ e}$$

$$f(-2i) = (-2i)^3 + 8 \cdot (-2i) =  8i - 8i = 0.$$

Com esses exemplos, dado um polinômio, podemos perceber que ele pode ter nenhuma, uma ou mais raízes e isso ainda depende do conjunto no qual ele está definido. Dessa observação, podemos fazer a seguinte pergunta: Conhecendo o polinômio, tem como saber quantas raízes distintas ele vai ter? A resposta é: em geral, não. Mas podemos saber quantas raízes distintas ele vai ter, no máximo. O que é garantido pelo seguinte teorema.

Teorema: Seja $p(x)$ um polinômio definido sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) que possui grau $n \geq 0$. Então $p(x)$ possui, no máximo, $n$ raízes distinhas em $\mathbb{K}$.

Vamos ver alguns exemplos:

7. O polinômio $p(x) = x^2 - 1$ sobre sobre $\mathbb{R}$ possui grau $2$, assim, pelo teorema anterior ele possui, no máximo, duas raízes distintas.

8. O polinômio $f(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 8$ sobre $\mathbb{R}$ possui, no máximo, $5$ raízes distintas pois seu grau é $5$.

9. O polinômio $g(x) = 3x^7-\sqrt{3}x^6 - x^2 + 1$ sobre $\mathbb{R}$ possui no máximo $7$ raízes distintas.

10. O polinômio $h(x) = -3x^4 + (1+i)x^3 - 4x$ sobre $\mathbb{C}$ possui, no máximo, $4$ raízes distintas.

Especificamente, a respeito de polinômios sobre $\mathbb{C}$, temos os seguintes teoremas

Teorema: Todo polinômio sobre $\mathbb{C}$ possui pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.

Esse teorema mostra uma diferença importante entre polinômios sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{C}$. Como vimos no exemplo 4, nem todo polinômio sobre $\mathbb{R}$ possui raízes, mas, em $\mathbb{C}$ isso não ocorre.

Agora que sabemos o que é uma raiz e também quantas raízes, no máximo, um polinômio pode ter, vamos estudar uma propriedade importante das raízes de um polinômio, a qual é dada pelo seguinte teorema.

Teorema: Considere um polinômio $p(x)$ sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então o polinômio $x-a$ divide o polinômio $p(x)$. Em outras palavras, podemos escrever $p(x)$ na forma:

$p(x) = (x-a)q(x)$ onde  $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{K}$. 

Em outras palavras, o teorema acima diz que, se $a$ é a uma raiz de $p(x)$, então, dividindo $p(x)$ por $x-a$ obtem-se o resto da divisão igual a zero. 

Vamos ver alguns exemplos (todos os polinômios dos exemplos estão sobre $\mathbb{R}$):

11. Temos que $1$ é raiz de $p(x) = x^2-1$. De fato, $p(1) = 1^2 - 1 = 0$. Desse modo, pelo teorema anterior, temos que $x-1$ divide o polinômio $p(x)$. Isso realmente acontece, é fácil ver que 

$$x^2-1 = (x-1)(x+1).$$

(comparando esse exemplo com o teorema anterior, tem-se $q(x) = x+1$).

12. Considere o polinômio $f(x) = x^3+x^2-8x-12$. Note que $x = 3$ é raiz desse polinômio pois

\begin{eqnarray} f(3) &=& 3^3 + 3^2 -8 \cdot 3 -12 \\ &=& 27 + 9 - 24 - 12 \\ &=& 0. \end{eqnarray}

Assim, pelo teorema anterior $x-3$ divide $f(x)$. De fato isso ocorre, como podemos ver a seguir

Podemos então escrever $x^3+x^2-8x-12 = (x-3)(x^2+4x+4)$.

13. Seja $h(x) = x^4+x^3+x^2+x$. Temos que

\begin{eqnarray} h(-1) = (-1)^4+(-1)^3+(-1)^2 + (-1) \\ &=& 1-1+1-1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}.

Logo, $x=-1$ é raiz de $h(x)$. Portando, o polinômio $x-(-1) = x+1$ divide $h(x)$. De fato,

Podemos escrever então $x^4+x^3+x^2+x = (x+1)(x^3+x)$.

Acredito que podemos encerrar essa postagem por aqui. Já sabemos o que é uma raiz de um polinômio e também conhecemos uma importante propriedade das raízes. Agora podemos caminhar no sentido de encontrarmos as raízes de um dado polinômio. Faremos isso nas próximas postagens.

Resumo da postagem em vídeo:

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