Números Reais #5: Completude dos números reais

Agora que sabemos quem são os números reais e suas propriedades (inclusive o jogo de sinais), podemos ir mais a fundo no estudo dos números reais, ou seja, vamos estudar um pouco, digamos, da "estrutura" dos números reais. Nesse post vamos falar sobre a completude dos números reais. A palavra "completude" nos lembra a palavra "completo" e, essa propriedade dos números reais tem a ver mesmo com "estar completo". Bom, o que significa que o conjunto dos números reais está completo? Vamos entender isso agora.

Completude dos números reais

A noção de que um número está entre outros dois números é algo bem natural para nós, por exemplo, o número $2$ está entre o $0$ e o $3$, pois $2$ é maior que $0$ e menor que $3$. De um modo geral, dizemos que $x \in \mathbb{R}$ está entre $a \in \mathbb{R}$ e $b \in \mathbb{R}$, com $a <b$, se, e somente se, $x >a$ e $x < b$.

Agora, o que esta relação de "estar entre" tem a ver com essa história da completude dos números reais? Tem tudo a ver. A completude dos números reais significa que vale o seguinte:

Dados quaisquer números $a,b \in \mathbb{R}$ com $a <b$, sempre existe um número $x \in \mathbb{R}$ tal que $x>a$ e $x<b$.

Podemos reescrever a afirmação acima de outra forma:

No conjunto dos números reais sempre existe um número entre quaisquer outros dois números distintos.

Desse modo, o nome "completude" e a noção de "estar completo" fazem sentido, isto é, no conjunto dos números reais não há buracos. Sempre que você escolher dois números reais aleatórios distintos, vai existir um número real entre eles, por mais que esses primeiros dois números que você escolheu estejam próximos. Por exemplo, escolhendo os números $5,125342$ e $5,125343$, vemos que $5,125342 < 5,125343$ e a diferença entre eles é $0,000001$, o que significa que estão bem próximos. Entre esses dois números, está o número $5,1253425$, pois $5,1253425 > 5,125342$ e $5,1253425 < 5,125343$. Pensando de uma forma geral, dados $a,b \in \mathbb{R}$ com $a < b$, o número $x = \displaystyle\frac{a+b}{2}$, que é a média entre $a$ e $b$, sempre estará entre $a$ e $b$.  

Essa propriedade da completude dos números reais nos traz uma outra noção, a noção de que o conjunto dos números reais é "contínuo". Como observei acima, a completude nos diz que $\mathbb{R}$ não possui buracos. Podemos pensar nessa ideia de não ter buracos, também, da seguinte forma: Considere o número $0$. Qual é o número que vem em seguida do $0$, ou ainda, partindo do $0$, qual é o próximo número? Seria o $0,1$? Não, por que $0,01$ é menor que $0,1$. Mas, também não é $0,01$, pois $0,001$ é menor que $0,01$. Poderíamos continuar com esse raciocínio infinitamente. Mas o que isso significa? Significa que, no conjunto dos números reais, para "ir de um número a outro" você precisa passar por todos os números que estão entre eles e, entre esses números, como vimos, não há buracos, logo, esse caminho para ir de um número ao outro é contínuo. Por esse motivo, por essa "continuidade" é que podemos representar o conjunto dos números reais como sendo uma reta ou, até mesmo, uma régua infinita. Uma reta não tem começo e nem fim, não tem nenhum buraco. Podemos associar a cada número real um e, somente um, ponto da reta. Geometricamente, temos:

Nesse momento você pode estar pensando: Isso não funciona para todos os outros conjuntos numéricos? Não, não funciona.

Pensando nos números naturais $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$, quais são os números naturais que estão entre $2$ e $3$? Não existe número natural entre $2$ e $3$. Entre outras palavras, entre $2$ e $3$ há um "buraco". Logo, a propriedade de completude não vale para o conjunto dos números naturais, as noções de "estar completo" e de "ser contínuo" não funcionam em $\mathbb{N}$.

Se considerarmos o conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z} = \{\dots, -2,-1,0,1,2,\dots\}$, usando o mesmo argumento usado no conjunto dos números naturais, vemos que a completude não vale em $\mathbb{Z}$.

A completude também não vale no conjunto dos números racionais $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ com } b\neq 0 \right\}$. Considerando os números $3$ e $4$ em $\mathbb{Q}$, o número $\pi$, que é irracional e, portanto, não pode ser escrito como uma fração, está entre $3$ e $4$. Assim, entre $3$ e $4$, quando consideramos somente números racionais, há um "buraco" (onde está o $\pi$). 

Por último, no conjunto dos números irracionais $\mathbb{I} = \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ (todos os reais menos os racionais), entre os números $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ está o número $1,5 = \displaystyle\frac{3}{2}$, que não é irracional. Portanto, a completude também não vale em $\mathbb{I}$.

A completude faz com que $\mathbb{R}$ seja realmente um conjunto especial. A partir disso conseguimos estudar os intervalos de números reais. A noção de intervalo só existe nos números reais, devido à sua completude. Mas não é só isso, tudo o que se estuda em Cálculo I (disciplina estudada em 95% dos cursos que possuem disciplinas de matemática), Cálculo II, Equações Diferenciais, Análise Real, e etc. depende da noção de intervalo. Por isso, vale o esforço de entender a completude dos números reais.

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Números Reais #4: Jogo de sinais

Esse já é o quarto post sobre os números reais. Nos três primeiros posts (acesse-os aqui) definimos os números reais, conhecemos alguns de seus subconjuntos importantes, aprendemos suas propriedades algébricas e de ordem. Tendo visto isso, estamos prontos para falar sobre o jogo de sinais, que é consequência das propriedades dos números reais. Bom, mais o que é o tal do jogo de sinais? É aquilo que aprendemos na escola, de uma forma bem simples:

• mais vezes mais é mais;
• mais vezes menos é menos;
• menos vezes mais é menos;
• menos vezes menos é mais;

De uma forma um pouco mais formal: quando multiplicamos dois números positivos ou dois números negativos, o resultado é um número positivo e quando multiplicamos dois números com sinais opostos (um positivo e o outro negativo) o resultado é negativo.

Quando vimos isso pela primeira vez, nós simplesmente decoramos e pronto. Mas acredito que você sempre se perguntou: Por que menos vezes menos é mais? Dois números negativos multiplicados não deveria ter como resultado um número "mais negativo ainda"? E por que quando os sinais são diferentes, o resultado é negativo? Isso tudo parece mágica. No entanto, na Matemática, não existe mágica, tudo é consequência das definições, das propriedades e dos teoremas. Concordo que algumas coisas são um pouquinho mais complicadas que outras, mas não é o caso do jogo de sinais.

Vamos entender tudo sobre o jogo de sinais agora!

Jogo de sinais

Vamos entender como o jogo de sinais funciona por meio de proposições. E o que são proposições? São afirmações que precisam ser justificadas, que precisam ser demonstradas, assim como os teoremas. Já tivemos proposições usadas como exemplos nos posts anteriores.

A primeira proposição é algo bastante óbvio para nós. Vamos provar que qualquer número real vezes zero é igual a zero. Isso é importante para demonstrar as regras do jogo de sinais.

Proposição 1: Dado qualquer $a \in \mathbb{R}$, $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.

Demonstração: Sabemos que $0 = 0+0$, pois $0$ é o elemento neutro da soma. Desse modo, multiplicando os dois lados dessa igualdade por $a \in \mathbb{R}$ qualquer, temos

$$a \cdot 0 = a \cdot (0+0).$$

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos que $a \cdot (0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$. Assim, obtemos

$$a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0.$$

No post sobre as propriedades algébricas dos números reais, vimos que todo número real possui um oposto. Como $a \cdot 0$ é um número real, então existe o oposto de $a \cdot 0$ que é $-a \cdot 0$. Somando $-a \cdot 0$ em ambos os lados da igualdade anterior, segue que

$$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 &=& a \cdot 0 + a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + (-a \cdot 0) &=& (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0) \\ 0 &=& a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0)) \\ 0 &=& a \cdot 0 + 0 \\ 0 &=& a \cdot 0 \end{eqnarray*}$$

Portanto, $0 = a \cdot 0$ para qualquer que seja $a \in \mathbb{R}$. Agora, como a multiplicação dos números reais é comutativa, segue que $a \cdot 0 = 0$. Assim a proposição está provada.

Agora vamos passar às regras do jogo de sinais.

Proposição 2: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $(-a) \cdot b = -a \cdot b$.

Demonstração: Primeiramente, note que, para $a,b \in \mathbb{R}$ quaisquer, temos, usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, que

$$(-a) \cdot b + a \cdot b = (-a + a) \cdot b = 0 \cdot b = 0.$$

A igualdade acima nos dá que $(-a) \cdot b + a \cdot b = 0$. Vamos somar, nos dois lados dessa última igualdade, o número $-a \cdot b$ (que é o oposto de $a \cdot b$). Assim,

$$\begin{eqnarray*} (-a) \cdot b + a \cdot b &=& 0 \\ ((-a) \cdot b + a \cdot b) + (-a \cdot b) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ (-a) \cdot b + (a \cdot b + (-a \cdot b)) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ (-a) \cdot b + 0 &=& -  a \cdot b \\ (-a) \cdot b &=& - a \cdot b \end{eqnarray*}$$

Portanto $(-a) \cdot b = - a \cdot b$.

Na Proposição 2 demonstramos que um número negativo vezes um número positivo é um número negativo. Vamos continuar.

Proposição 3: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $a \cdot (-b) = -a \cdot b$.

Demonstração: De modo análogo à proposição anterior, para quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, temos

$$a \cdot (-b) + a \cdot b = a \cdot (-b + b) = a \cdot 0 = 0.$$

Da igualdade acima, segue que $a \cdot (-b) + a \cdot b = 0$. Vamos somar, nos dois lados dessa última igualdade, o número $-a \cdot b$ (que é o oposto de $a \cdot b$). Dese modo,

$$\begin{eqnarray*} a \cdot (-b) + a \cdot b &=& 0 \\ (a \cdot (-b) + a \cdot b) + (-a \cdot b) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ a \cdot (-b) + (a \cdot b + (-a \cdot b)) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ a \cdot (-b) + 0 &=& -a \cdot b\\ a \cdot (-b) &=& - a \cdot b \end{eqnarray*}$$

Portanto $a \cdot (-b) = - a \cdot b$.

Na Proposição 3 demonstramos que um número positivo vezes um número negativo é um número negativo. Vamos para o próximo caso.

Proposição 4: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

Demonstração: Considere $a,b \in \mathbb{R}$ quaisquer. Novamente usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, temos que

$$(-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b = (-a) \cdot (-b + b) = (-a) \cdot 0 = 0.$$

Desse modo, temos a igualdade $(-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b = 0$. Ao somarmos, em ambos os lados dessa última igualdade, o número $a \cdot b$, vamos ter

$$\begin{eqnarray*} (-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b &=& 0 \\ ((-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b) + a \cdot b &=& 0 + a \cdot b \\ (-a) \cdot (-b) + ((-a) \cdot b + a \cdot b) &=& 0 + a \cdot b \\ (-a) \cdot (-b) + (-a \cdot b + a \cdot b)  &=&  a \cdot b \mbox{ } [\mbox{observe que }(-a) \cdot b = -ab \mbox{ pela Proposição 2}] \\ (-a) \cdot (-b) + 0 &=& a \cdot b\\ (-a) \cdot (-b) &=&  a \cdot b \end{eqnarray*}$$

Portanto $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$. 

Assim, provamos na Proposição 4 que dois números negativos multiplicados tem como resultado um número positivo.

Observação importante:

Não há uma proposição para o caso da multiplicação de dois números positivos. E por que não há? Bom, na verdade, essas proposições mostram um pouco mais do que o jogo de sinais. Em outras palavras, elas provam o seguinte:

Proposição 2: O oposto de $a$ vezes $b$ é igual ao oposto de $ab$.

Proposição 3: O número $a$ vezes o oposto de $b$ é igual ao oposto de $ab$.

Proposição 4: O oposto de $a$ vezes o oposto de $b$ é igual à $ab$.

Assim, essas proposições tratam da multiplicação envolvendo elementos opostos com o objetivo de saber como isso vai interferir nos resultados. Por isso, o caso $a$ vezes $b$ não é abordado, pois sempre teremos $a \cdot b = a \cdot b$, ou seja, se não tivermos opostos envolvidos na multiplicação, nada muda no resultado com relação ao "sinal". Logo, a multiplicação de números positivos continua sendo um número positivo.

Entendendo como essas regras funcionam, com certeza isso não será mais um problema para você.

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Números Reais #3: Propriedades de ordem

Você já para parou para pensar sobre a ordem dos números? Bom, essa é uma ideia que aprendemos logo cedo na escola, o que faz com que essa noção de ordem dos números seja bem natural para nós. Se eu te apresentar os números $2$ e $5$ e te perguntar qual é o maior deles, acredito que você me responderá que o maior deles é o $5$ em menos de um segundo. Agora outra pergunta: Você já parou para pensar que nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos possuem uma ordem natural como esta? Sim, nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos podem ser colocados em ordem, ou pelo menos, na ordem natural que conhecemos. Para dar exemplos disso, precisamos ir um pouco além do ponto em que estamos. Considere os dois números complexos $2+5i$ e $1-7i$. Usando a mesma noção que temos de ordem nos números reais, quais desses números complexos é maior que o outro? Não dá para fazer essa comparação. Vamos de outro exemplo, considere os polinômios $p(x) = x^2-1$ e $q(x) = x^5-2x+7$, Qual desses polinômios é maior que o outro? Novamente, não é possível fazer essa comparação usando a noção de ordem que temos nos números reais.

E o que podemos concluir com isso? A ordem é uma característica importante que não pode ser implementada de qualquer forma em qualquer conjunto. Isso justifica a necessidade de estudá-la, pois se um conjunto possui uma ordem, ou seja, é um conjunto ordenado, ele se diferencia dos outros conjuntos e, essa ordem vai influenciar todo objeto matemático no qual esse conjunto está envolvido. Isso ficará claro na postagem sobre a completude dos números reais.

Para que o assunto tratado aqui fique claro, é bom ter o conhecimento do que é um número real e de suas propriedades algébricas.

Propriedades de ordem dos números reais

O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.

Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b  \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b  \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline  \end{array}$$

Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.

Observação:

(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;

(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;

(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;

(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.

Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:

(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).

(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).

(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).

(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).

(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.

(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.

(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.

(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.

(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.

As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$,  $<$ ou $>$.

Vamos ver um exemplo para cada propriedade citada acima.

Exemplo

(1) $2 \leq 2$.

(2) Somente dois números iguais satisfazem a condição de ser menor ou igual e maior ou igual ao outro ao mesmo tempo, por exemplo $3 \leq 3$ e $3 \geq 3$.

(3) Temos $5 \leq 6$ e $6 \leq 10$, o que implica, $5 \leq 10$.

(4) Temos que $-1 \leq 3$. Ao somarmos o mesmo número em ambos os lados do sinal de desigualdade, o sinal irá se manter. Somando $4$ em ambos os lados da desigualdade, obtemos

$$-1 \leq 3 \Rightarrow -1+4 \leq 3+4 \Rightarrow 3 \leq 7.$$

(5) Sabemos que $-2 \leq 1$. Multiplicando por $\frac{1}{2}$ (observe que $\frac{1}{2} > 0$) em ambos os lados do símbolo de desigualdade obtemos

$$-2 \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (-2) \leq \frac{1}{2} \cdot 1 \Rightarrow -1 \leq \frac{1}{2}.$$

(6) Temos que $-3 \leq 4$. Ao multiplicarmos ambos os lados do sinal de desigualdade por um número negativo, por exemplo, o $-2$, o sinal de desigualdade inverte.

$$-3 \leq 4 \Rightarrow -2 \cdot (-3) \leq -2 \cdot 4 \Rightarrow 6 \geq -8.$$

(7) Como $6 >0$, então $\displaystyle\frac{1}{6} >0.$

(8) Como $-2 < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{-2} = -\displaystyle\frac{1}{2} <0.$

(9) Para os números $7$ e $11$ temos $7 < 11$, o que implica, $\displaystyle\frac{1}{7} > \displaystyle\frac{1}{11}$. Considerando agora $-5$ e $-6$, temos $-6 < -5$ e, assim, $-\displaystyle\frac{1}{6} > -\displaystyle\frac{1}{5}$. Podemos ver essa propriedade da seguinte forma: Quando invertemos os números envolvidos numa desigualdade, a desigualdade também inverte.

 Vamos ver alguns exemplos teóricos de como essas propriedades são aplicadas. À partir dessas propriedades obtemos outras propriedades importantes.

Mais exemplos (teóricos)

1. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $x+z \leq y+w$.

Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$. Assim, pela propriedade (4), segue que $x+z \leq y+z$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (4), obtemos $z+y \leq w+y$, ou ainda, $y+z \leq y+w$. Desse modo, temos que $x+z \leq y+z$ e $y+z \leq y+w$ e, da propriedade (3), obtemos $x+z \leq y+w$ como queríamos demonstrar. 

2. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $xz \leq yw$. 

Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$ e que ambos são positivos. Assim, pela propriedade (5), segue que $xz \leq yz$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (5), obtemos $zy \leq wy$, ou ainda, $yz \leq yw$. Desse modo, temos que $xz \leq yz$ e $yz \leq yw$ e, da propriedade (3), obtemos $xz \leq yw$ como queríamos demonstrar. 

3. Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ então $x^2 \leq y^2$. 

Demonstração: Temos por hipótese que $x$ e $y$ são ambos positivos e que $x \leq y$. Usando o exemplo 2 com $z=x$ e $w=y$, segue de imediato que $x^2 \leq y^2$.

Em alguns desses exemplos foram usadas as regras de jogos de sinais. Em breve explicaremos e justificaremos essas regras.

Conhecendo bem essas propriedades, você será capaz de resolver qualquer inequação ou qualquer outra coisa que envolva sinais de desigualdades.

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Números Reais #2: Propriedades algébricas

No primeiro post sobre números reais vimos a definição de números reais e seus subconjuntos importantes. Agora está na hora de começarmos a falar sobre as propriedades dos números reais. Essas propriedades são divididas em três grupos, os quais são, propriedades algébricas, propriedades de ordem e completude. As propriedades algébricas são aquelas relacionadas com as operações de soma e produto dos números reais, que são de fundamental importância para fazer cálculos, resolver equações e inequações e também para fazer demonstrações. As propriedades de ordem estão relacionadas com a ordem natural que conhecemos dos números (isto é, dados dois números, identificar qual é o menor e o maior entre eles, se não forem iguais). Esse grupo de propriedades é importante para se resolver inequações, definir e trabalhar com intervalos de números reais, analisar sinal de expressões algébricas e etc.. Por último, temos a completude dos números reais, o que tem a ver com o fato de $\mathbb{R}$ poder ser representado por uma reta (como se fosse uma régua infinita). Aqui nesse post, vamos tratar das propriedades algébricas dos números reais.

Propriedades algébricas dos números reais

No conjunto dos números reais estão definidas duas operações, a adição (ou soma), denotada por $+$, e a multiplicação (ou produto), denotada por $\cdot$. Dado um par de números $x,y \in \mathbb{R}$, a adição associa a esse par de números um único número real $x+y$ e a multiplicação associa a esse par de números um único número real $x \cdot y$ (por simplicidade, algumas vezes omitiremos o símbolo $\cdot$ e escreveremos apenas $xy$).

Dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, temos as seguintes propriedades:

Adição

(A1) $(x+y)+z = x+(y+z)$ (propriedade associativa da adição).

(A2) $x+y = y+x$ (propriedade comutativa da adição).

(A3) Existe um elemento $0 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da adição, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se

$$x+0 = 0+x = x.$$

(A4) Para cada $x \in \mathbb{R}$, existe um elemento $-x \in \mathbb{R}$, chamado elemento oposto de $x$, tal que, 

$$x+(-x) = -x+x = 0.$$

Multiplicação

(M1) $(xy)z = x(yz)$ (propriedade associativa da multiplicação).

(M2) $xy=yx$ (propriedade comutativa da multiplicação).

(M3) Existe um elemento $1 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da multiplicação, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se

$$x \cdot 1 = 1 \cdot x = x.$$

(M4) Para cada $x \in \mathbb{R}$ diferente de zero, existe um elemento $\displaystyle\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$, chamado elemento inverso de $x$, tal que 

$$\displaystyle\frac{1}{x} \cdot x = x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} = 1.$$

Adição e multiplicação

(D) $x(y+z) = xy+xz$ e $(x+y)z = xz+yz$ (propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição).

Observação importante: Devido às definições de igualdade (intuitiva) e de operações (que podemos ver futuramente), dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, se $x=y$, então $x+z = y+z$ e $xz=yz$. Isso significa que, dada uma igualdade, pode-se somar o mesmo valor e multiplicar pelo mesmo valor dos dois lados da igualdade sem alterar a igualdade. A recíproca também é verdadeira, se $x+z=y+z$, podemos somar $-z$ em ambos os lados da igualdade e, assim, vamos obter

$$x+z=y+z \Rightarrow (x+z)+(-z) = (y+z)+(-z) \Rightarrow x+(z+(-z)) = y+(z+(-z)) \Rightarrow x+0=y+0 \Rightarrow x=y.$$

Também, se $xz=yz$ com $z \neq 0$, podemos multiplicar essa igualdade por $\displaystyle\frac{1}{z}$ e, assim

$$xz=yz \Rightarrow (xz)\displaystyle\frac{1}{z} = (yz)\displaystyle\frac{1}{z} \Rightarrow x(z\displaystyle\frac{1}{z}) = y(z\displaystyle\frac{1}{z}) \Rightarrow x \cdot 1=y \cdot 1 \Rightarrow x=y.$$

Subtração e divisão

Logo acima eu mencionei que em $\mathbb{R}$ há duas operações, a adição e a multiplicação. Bom, depois disso você deve ter se perguntado: e a subtração e a divisão? Na verdade, a subtração é uma soma e a divisão é uma multiplicação, por esse motivo consideramos $\mathbb{R}$ com somente as operações de adição e multiplicação. Para essa questão ficar mais clara, vamos definir a subtração e a divisão.

Definimos a subtração (ou diferença) dos números reais $x$ e $y$ como sendo a adição de $x$ com o oposto de $y$. Denotando a subtração de $x$ e $y$ por $x-y$ temos, então, que

$$x-y = x+(-y).$$

Definimos a divisão dos números reais $x$ e $y$, com $y \neq 0$, como sendo a multiplicação de $x$ com o inverso de $y$. Denotando a divisão de $x$ e $y$ por  $x \div y$ temos, então, que

$$x \div y = x \cdot \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{x}{y}.$$

Por exemplo:

$$9-5 = 9+(-5) = 4 \mbox{ e } 12-15 = 12+(-15) = -3;$$

$$4 \div 5 = 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{4}{5} \mbox{ e } 8 \div (-4) = 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{-4} = \displaystyle\frac{8}{-4} = -2.$$

Vamos ver agora exemplos para cada propriedade algébrica dos números reais.

Exemplos

(A1) $(1+3)+5 = 4+5=9$ e $1+(3+5) = 1+8 = 9$.

(A2) $3+7 = 10$ e $7+3 = 10$.

(A3) $-5+0 = -5$ e $0+(-5) = -5$.

(A4) O oposto de $11$ é $-11$ pois $11+(-11) = 0$ e $-11+11 = 0$.

(M1) $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ e $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$.

(M2) $10 \cdot 11 = 110$ e $11 \cdot 10 = 110$.

(M3) $1 \cdot 2 = 2$ e $2 \cdot 1 = 2$.

(M4) O inverso de $6$ é $\displaystyle\frac{1}{6}$, visto que $6 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} = 1$ e $\displaystyle\frac{1}{6} \cdot 6 = 1$.

(D) $3(x+7) = 3x+3\cdot 7 = 3x+21$ e $(2+y)5 = 2 \cdot 5 + y5 = 5y+10$.

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Números Reais #1: Números reais e seus subconjuntos

Esse é o primeiro post sobre números reais. É muito bom começar a falar desse assunto, pois ele é muito importante. Sob o meu ponto de vista, esse assunto de números reais é o elo de ligação entre o ensino médio e o ensino superior, pois esse assunto vai desde a matemática básica até a matemática "não tão básica assim", aquela que já está com um pé no ensino superior. E esse caminho é percorrido sem saltos, tudo está interligado. 

A maneira na qual vou abordar esse assunto aqui vai ajudar, com toda a certeza, tanto quem está para fazer  vestibular ou enem quanto quem vai começar um curso superior que possui alguma disciplina de matemática, por exemplo, Cálculo I. Digo isso pois vou começar desde o começo mesmo, desde a definição de número real e suas propriedades. Vamos aprender o que é um número real. Fique ligado nas postagens do blog. Vamos lá!

Observação: Para uma boa compreensão dos números reais é bom saber um pouco de Teoria dos Conjuntos, pelo menos as relações de pertinência e de inclusão. Se você se lembra disso, ótimo, pode continuar, mas se não lembra muito bem, relembre esses assuntos aqui.

Números reais

Um número real é qualquer número que possa ser escrito na forma decimal, ou seja, é qualquer número, digamos, "com vírgula", com nenhuma casa decimal, com um número finito de casas decimais ou com um número infinito de casas decimais. Vejamos alguns exemplo de números reais:

$$-8; \mbox{ } 0; \mbox{ } 1,75; \mbox{ } -2,333; \mbox{ } 0,\overline{36}; \mbox{ } \displaystyle\frac{8}{5}; \mbox{ } \sqrt{3}; \mbox{ } -\sqrt[3]{16}; \mbox{ } \pi.$$

No número $0,\overline{36}$, a barra significa que a sequência de números abaixo da barra se repete infinitamente, ou seja, 

$$0,\overline{36} = 0.3636363636\dots.$$

O conjunto dos números é denotado por $\mathbb{R}$.

Como vocês podem ver, a definição de número real é bem simples. Vamos continuar com mais detalhes sobre os números reais.

Subconjuntos dos números reais

Dentro do conjunto dos números reais há vários subconjuntos importantes, muitas vezes eles são chamados de subconjuntos numéricos. São eles:

• O conjunto dos números naturais: $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,\dots\}$;
• O conjuntos dos números inteiros: $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$;
• O conjuntos dos números racionais: $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b}:a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ e } b \neq 0\right\}$;
• O conjunto dos números irracionais: $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$.

Vamos ver esses subconjunto mais em detalhes. Como já foi dito anteriormente, temos $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$, $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ e $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$. 

Observando os conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ vemos, claramente, que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, ou seja, todo número natural é também um número inteiro. Observe que a inclusão contrária não vale.

O conjunto dos números racionais $(\mathbb{Q})$ nada mais é do que o conjunto de todas as frações, ou seja, os elementos de $\mathbb{Q}$ são da forma $\displaystyle\frac{a}{b}$ onde o número inteiro $a$ é chamado de numerador e o inteiro não nulo $b$ é chamado de denominador. Olhando agora para os conjuntos $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$, temos que $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, pois cada número inteiro $a$ pode ser escrito na forma $\displaystyle\frac{a}{1}$, ou seja, uma fração com denominado igual a $1$, por exemplo

$$2 = \displaystyle\frac{2}{1}; \mbox{ } -5 = \displaystyle\frac{-5}{1}; \mbox{ } 0 = \displaystyle\frac{0}{1}.$$

Logo, todo número inteiro também é um número racional. Assim, temos uma sequência de inclusões

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}.$$

Vamos falar um pouco agora sobre os números irracionais. Como vimos na definição acima, o conjunto dos números irracionais é dado por $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$, isto é, o conjunto dos números reais que não são racionais, ou ainda, é o conjunto de todos os números que não podem ser escritos como fração. E quais são esses números? Como $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ estão contidos em $\mathbb{Q}$, os naturais e os inteiros não podem ser irracionais. Assim, para discutirmos se são irracionais ou não, sobraram os números decimais que possuem uma quantidade finita de casas decimais, os que possuem uma quantidade infinita de casas decimais com blocos de repetição (como o $0,\overline{36}$) e os que possuem uma quantidade infinita de casas decimais sem blocos de repetição, ou seja, os números nas casas decimais nunca vão formar um padrão de repetição.

O fato é que, para os números decimais com um número finito de casas decimais e para os números decimais que possuem um número infinito de casas decimais com blocos de repetição existem métodos para escrevê-los como frações, ou seja, esses números são também números racionais (vamos tratar desses métodos futuramente). Desse modo, sobraram os números decimais que possuem um número infinito de casas decimais sem blocos de repetição e esses são os números irracionais, não é possível escrever esses números como uma fração. Esse é o conjunto $\mathbb{I}$. Vamos ver alguns exemplos de números irracionais:

$$\sqrt{3} = 1,7320508\dots, \mbox{ } \pi = 3,14159265\dots, \mbox{ } -\sqrt{2} = -1,4142135\dots \mbox{ e } e=2,7182818\dots.$$

Temos então que $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$, porém $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ são conjuntos disjuntos de $\mathbb{I}$, ou seja, não possuem elementos em comum. Podemos visualizar a relação dos subconjuntos de $\mathbb{R}$ no seguinte diagrama.

Assista uma aula sobre os subconjuntos dos números reais.

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Teoria dos Conjuntos #11: Produto direto de conjuntos

Até o post de número 10, vimos o que é de mais importante da teoria dos conjuntos. Mas, eu não poderia deixar de fora o produto direto de conjuntos. No ensino médio, muitas vezes vemos o produto direto como sendo o produto cartesiano de dois conjuntos. Aqui, com o produto direto, vamos mais além, vamos generalizar essa ideia de produto cartesiano. Esse conceito de produto direto aparece nas definições de relação, de função, de vetores e etc., ou seja, é um conceito muito importante. Sem enrolações, vamos aprender o que é o produto direto.

Definição de produto direto

Considere os conjuntos $A$ e $B$, não vazios. Definimos o produto direto do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotado por $A \times B$, da seguinte forma:

$$A \times B = \{(x,y): x \in A \mbox{ e } y \in B\}.$$

Isto é, o produto direto de $A$ com $B$ é o conjunto formado pelos pares $(x,y)$ onde $x$ está em $A$ e $y$ está em $B$. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos

1. Considerando os conjuntos $A = \{0,1,2\}$ e $B = \{a,b\}$ temos 

$$A \times B = \{(0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}.$$

2. Sejam

$$A = \{1,2,3,4\} \mbox{ e } B = \{1,2\}.$$

Determine $A \times B$.

Solução: Basta escrevermos o conjunto formado por todos os pares na forma $(x,y)$ possíveis onde $x$ está em $A$ e $y$ está em $B$. Desse modo temos

$$A \times B = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}.$$

Produto direto com mais de dois conjuntos

Considere os conjuntos $A_1, A_2, \dots A_n$ $n$ conjuntos não vazios quaisquer. Definimos o produto direto dos conjuntos $A_1, A_2, \dots A_n$ como sendo

$$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(x_1,x_2, \dots,x_n): x_i \in A_i \mbox{ com } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ é formado por elementos na forma $(x_1,x_2, \dots,x_n)$ onde $x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \dots, x_n \in A_n$. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos

3. Considere os conjuntos $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$ e $C=\{5,6\}$. Temos

$$A \times B \times C = \{(1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6) ,(2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6)\}.$$

4. Considere os conjuntos

$$A=\{0\}, \mbox{ } B=\{1\}, \mbox{ } C=\{2,3\} \mbox{ e } D=\{a,b\}.$$

Determine o conjunto $A \times B \times C \times D$.

Solução: Basta construirmos o conjunto formado por todos os elementos na forma $(x,y,z,w)$ possíveis onde $x$ está em $A$, $y$ está em $B$, $z$ está em $C$ e $w$ está em $W$. Desse modo temos

$$A \times B \times C \times D = \{(0,1,2,a), (0,1,2,b), (0,1,3,a), (0,1,3,b)\}.$$

Observações importantes

Podemos fazer o produto direto de $n$ conjuntos todos iguais, por exemplo, dado um conjunto $A$, podemos obter $A \times A$, $A \times A \times A$ e assim por diante. Nesses casos, para facilitar a escrita, usamos a notação de potência da seguinte forma:

$$A^2 = A \times A$$

$$A^3 = A \times A \times A$$

$$A^4 = A \times A \times A \times A$$

e, para generalizar,

$$A^n = A \times A \times \cdots \times A. (n \mbox{ fatores})$$

Exemplo

5. Considere o conjunto $A = \{0,1\}$. Escreva os conjuntos $A^3$ e $A^4$.

Solução: Temos,

$$A^3=\{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\} \mbox{ e }$$

\begin{eqnarray}A^4 &=& \{(0,0,0,0), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,1,0), (1,0,0,0), (1,0,1,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (0,0,0,1), (0,0,1,1),  \\ & & (0,1,0,1), (0,1,1,1), (1,0,0,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (1,1,1,1)\}.\end{eqnarray}

Os elementos na forma $(x,y)$, como já até usamos, são chamados de pares. Os elementos na forma $(x,y,z)$ são chamados de triplas ou ternas. Já em um caso geral, o elemento na forma $(x_1,x_2, \dots, x_n)$ é chamado de $n$-upla.

Observe que dados os conjuntos $A_1, A_2, \dots A_r$ onde $A_i$ possui $n_i$ elementos para cada $i=1,2,\dots,r$, o número de elementos do conjunto $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_r$ é igual a $n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_r$.

No exemplo 2, $A \times B$ possui $4 \cdot 2 = 8$ elementos pois $A$ possui $4$ elementos e $B$ possui $2$ elementos. No exemplo 4, temos que $A \times B \times C \times D$ possui $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4$ elementos pois $A$ e $B$ possuem 1 elemento e $B$ e $C$ possuem dois elementos. Já no exemplo 5, o conjunto $A^4$ possui $2^4 = 16$ elementos, visto que $A$ possui dois elementos. 

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Teoria dos Conjuntos #10: Propriedades do conjunto complementar

 Estamos bem avançados nesse ponto em que chegamos na teoria dos conjuntos. Isso é muito bom. Agora, nesse post, vamos misturar um pouco de tudo que vimos: união, interseção, diferença de conjuntos e conjunto complementar. Veremos nesse post propriedades do conjunto complementar envolvendo a união e a interseção de conjuntos. Vamos demonstrar algumas dessas propriedades a fim de justificá-las para que sejam melhor compreendidas. O bom de fazer demonstrações é poder ver como a matemática funciona, o que é simplesmente sensacional (pelo menos para mim... hehe). Vamos lá!

Propriedades de conjunto complementar

Considere três conjuntos $A$, $B$ e $C$ tais que $B$ e $C$ são subconjuntos de $A$. Valem as seguintes propriedades:

1. $C_A^B \cap B = \emptyset$

2. $C_A^B \cup B = A$

3. $C_A^{A} = \emptyset$

4. $C_A^{\emptyset} = A$

5. $C_A^{C_A^B} = B$

6. $C_A^{B \cap C} = C_A^B \cup C_A^{C}$

7. $C_A^{B \cup C} = C_A^B \cap C_A^{C}$

Vamos fazer a demonstração de algumas dessas propriedades.

Demonstração da propriedade 2: Para mostrar que $C_A^B \cup B = A$ devemos mostrar que $C_A^B \cup B \subset A$ e que $A \subset C_A^B \cup B$ (definição de igualdade de conjuntos). Vamos mostrar a primeira inclusão. Considere $x \in C_{A}^B \cup B$. Desse modo, $x \in C_{A}^B$ ou $x \in B$. Sendo assim, $x \in A-B$ ou $x \in B$. Note que, em qualquer um desses casos, $x \in A$, pois $B \subset A$. Logo $x \in A$ e a primeira inclusão segue. Vamos passar agora à segunda inclusão. Considere $x \in A$. Temos que $B \subset A$. Assim, temos duas possibilidades para $x$, ou $x \in A-B$ ou $x \in B$, isto é, ou $x \in C_{A}^B$ ou $x \in B$. Pela definição de união de conjuntos $x \in C_{A}^B \cup B$. Logo, a segunda inclusão é verdadeira. Portanto vale a igualdade $C_A^B \cup B = A$.

Demonstração da propriedade 5: Vamos mostrar que $C_A^{C_A^B} = B$. Para fazer isso, precisamos mostrar que $C_A^{C_A^B} \subset B$ e que $B \subset C_A^{C_A^B}$. Vamos começar mostrando a primeira inclusão. Seja $x \in C_A^{C_A^B}$. Desse modo, temos que $x \in A - C^B_A$, ou seja, $x \in A$ e $x \notin C^B_A$. O fato de $x \notin C^B_A$, implica $x \in B$, pois do contrário, teríamos $x \in A-B$, o que nos daria $x \in C_A^B$. Temos então que $x \in A$ e $x \in B$. Como $B \subset A$, segue $x \in B$. Logo, está provado que $C_A^{C_A^B} \subset B$. Mostraremos agora a segunda inclusão. Considere $x \in B$. Desse modo, $x \notin A-B$, ou ainda, $x \notin C_A^B$. Já sabemos que $B \subset A$, assim, $x \in A$. Temos, então, que $x \in A$ e $x \notin C_A^{B}$. Sendo assim, pela definição de diferença de conjuntos, $x \in A-C_A^{B}$ e, pela definição de conjunto complementar, obtemos $x \in C_A^{C_A^B}$. Logo, a inclusão $B \subset C_A^{C_A^B}$ é verdadeira. Portanto, segue a igualdade $C_A^{C_A^B} = B$.

Demonstração da propriedade 7: Para justificarmos a igualdade $C_A^{B \cup C} = C_A^B \cap C_A^{C}$, temos que provar as seguintes duas inclusões $C_A^{B \cup C} \subset C_A^B \cap C_A^{C}$ e  $C_A^B \cap C_A^{C} \subset C_A^{B \cup C}$. Vamos provar a primeira inclusão. Considere $x \in C_A^{B \cup C}$. Desse modo, $x \in A-(B \cup C)$, ou seja, $x \in A$ e $x \notin B \cup C$. O fato de $x \notin B \cup C$ implica $x \notin B$ e $x \notin C$, pois se uma dessas afirmações não fosse verdadeira, teríamos $x \in B \cup C$. Logo, temos que $x \in A$, $x \notin B$ e $x \notin C$. Como consequência disso, temos que $x \in A-B$ e que $x \in A-C$, ou seja, $x \in C_A^B$ e $x \in  C_{A}^C$. Usando a definição de interseção de conjuntos, segue que $x \in C_A^B \cap C_A^C$. Assim, obtemos a inclusão $C_A^{B \cup C} \subset C_A^B \cap C_A^{C}$. Vamos mostrar agora a segunda inclusão. Seja $x \in C_A^B \cap C_A^{C}$. Desse modo, $x \in C_A^B$ e $x \in C_A^C$. Pela definição de conjunto complementar, segue que $x \in A-B$ e $x \in A-C$. Isso nos dá que $x \in A$, $x \notin B$ e $x \notin C$. Como $x \notin B$ e $x \notin C$, segue que $x \notin B \cup C$. Sendo assim, temos que $x \in A$ e $x \notin B \cup C$. Pela definição de diferença de conjuntos, obtemos $x \in A - (B \cup C)$, ou ainda, de forma equivalente, $x \in C_A^{B \cup C}$. Logo, a inclusão $C_A^B \cap C_A^{C} \subset C_A^{B \cup C}$ está provada. Portanto, vale a igualdade $C_A^{B \cup C} = C_A^B \cap C_A^{C}$.

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Teoria dos Conjuntos #9: Conjunto complementar

 Já estamos na nona postagem sobre teoria dos conjuntos. Que legal! E essa não será a última postagem sobre esse assunto, pois ele é muito importante e deve ser tratado com detalhes. Se você quiser ver as postagens anteriores, e aconselho que você faça isso, clique aqui. Depois de falarmos de união, interseção e de diferença de conjuntos, chegou a hora de falar sobre conjunto complementar. Vamos lá aprender o que é o conjunto complementar!

Conjunto complementar 

Considere dois conjuntos $A$ e $B$, tais que $B \subset A$. Chamamos de complementar de $B$ em relação a $A$ o conjunto $A-B$ (diferença de conjuntos definida no post anterior), ou seja, o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ é o conjunto formado pelos pontos que estão $A$ e não estão em $B$.

Denotamos o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ por $C_{A}^{B}$. Assim, temos

$$C_{A}^{B} = A-B.$$

Existem ainda outras notações para o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$, são elas $B^{C}$, que significa complementar de $B$ e é usada quando está claro em relação a qual conjunto se está calculando o complementar de $B$ e $\overline{B}$, que também significa complementar de $B$ e é usado na mesma situação.

Podemos visualizar o conjunto complementar de $B$ em relação a $A$ pelo seguinte diagrama:

$C_{A}^{B} = A-B$

Antes dos exemplos, uma observação importante, se $B=A$, então $C_{A}^{B} = \emptyset$ e $C_{A}^{\emptyset} = A$. Agora, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere os conjuntos $A = \{2,3,5,7,11,13,17\}$ e $B = \{2,5,11,17\}$. Observe que $B \subset A$ e, desse modo, de acordo com a definição de conjunto complementar de $B$ em relação a $A$, temos

$$C_{A}^{B} = \{3,7,13\}.$$

2. Sejam os conjuntos

$$X=\mathbb{Z}, \mbox{ } Y =\{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é  par}\} \mbox{ e } Z = \{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é  ímpar}\}.$$

Temos

$$C_X^Y = Z \mbox{ e } C_X^Z = Y.$$

3. Considere os conjuntos

$$E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, F = \{1,2,4,7,8,9\} \mbox{ e } G=\{2,4,7\}.$$

Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

(a) $2 \in C_{E}^{F}$

(b) $6 \in C_{E}^{G}$

(c) $9 \notin C_{F}^{G}$

(d) $\{3,6\} \subset C_{E}^{F}$

(e) $\{1,8,9\} \not\subset C_F^G$.

Solução:

(a) Falso. Por definição $C_E^F = E-F$ e, como $2 \in F$, segue que $2 \notin C_E^F$.

(b) Verdadeiro. Como $6 \in E$ e $6 \notin G$, temos que $6 \in C_E^G$.

(c) Falso. Como $9 \in F$ e $9 \notin G$, segue que $9 \in C_F^G$.

(d) Verdadeiro. Note que $3,6 \in E$ e $3,6 \notin F$, ou seja, $3,6 \in C_{E}^{F}$. Portanto $\{3,6\} \subset C_E^F$.

(e) Falso. Observe que $1,8,9 \in F$ e $1,8,9 \notin G$, o que implica, $1,8,9 \in C_F^G$. Consequentemente $\{1,8,9\} \subset C_F^G$.

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Teoria dos Conjuntos #8: Diferença de conjuntos

 Já vimos as operações de união e de interseção de conjuntos e suas propriedades, agora podemos seguir em frente com a operação de diferença de conjuntos. Essa operação não é tão frequente nos cálculos matemáticos básicos, mas aparece com uma certa frequência em cálculos mais avançados e no ensino superior. Apesar disso, a diferença de conjuntos não é uma operação complexa, pelo contrário, é bem simples. Então, vamos aprender o que é a diferença de conjuntos.

Diferença de Conjuntos

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer. Chamamos diferença de conjuntos, denotada por $A-B$, a operação entre conjuntos definida por

$$A-B = \{x:x \in A \mbox{ e } x \notin B\}.$$

Ou seja, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ mas não estão em $B$.

A diferença de conjuntos, algumas vezes, aparece denotada como $A \backslash B$.

Podemos visualizar essa operação por meio de diagramas.

$A-B$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \mbox{ e } B=\{2,4,6,8\}.$$

Determine $A-B$.

Solução: Pela definição de diferença de conjuntos, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ e não estão em $B$. Logo,

$$A-B=\{1,3,5,7\}.$$

2. Sejam $A = \{a,b,c,d\}$ e $B = \{c,d,e,f\}$. Determine $A-B$.

Solução: Novamente, usando a definição de diferença de conjuntos temos

$$A-B = \{a,b\}.$$

3. Considere os seguintes conjuntos

$$A=\{\{1,2\},3,5,7\} \mbox{ e } B=\{1,2,9,11\}.$$

Determine $A-B$.

Solução: Neste caso, $A-B = \{\{1,2\},3,5,7\}$, que é o próprio conjunto $A$. Isso ocorre pois nenhum elemento de $A$ está em $B$, ou seja, todo elemento de $A$ não é elemento de $B$. Assim, quando procuramos, dentre os elementos de $A$, aqueles que não estão em $B$, vemos que todos os elementos de $A$ não estão em $B$, logo, $A-B = A$.

4. Sejam $A = \{a,b\}$ e $B=\{1,a,b,2\}$. Determine $A-B$.

Solução: O conjunto $A-B$ é formado por todos os elementos de $A$ que não estão em $B$. Nesse caso, todos os elementos de $A$ estão também em $B$, em outras palavras, não existe elemento em $A$  que não esteja em $B$. Portanto $A-B = \emptyset$.

5. Considere os conjuntos 

$$A = \{a,b,c,1,2\}; \mbox{ } B = \{b,c,3,4,5\} \mbox{ e } C = \{3,4,5\}.$$

Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

(a) $b \in A-B$

(b) $a \in A-C$

(c) $5 \notin B-C$

(d) $2 \notin A-B$

(e) $\{1,2\} \subset A-C$

Solução: 

(a) Falso. Observe que $b \in A$ e $b \in B$. Desse modo $b \notin A-B$.

(b) Verdadeiro. Temos que $a \in A$ e $a \notin C$, ou seja, $a$ satisfaz a definição para estar em $A-C$.

(c) Verdadeiro. Observe que $5$ está em $B$ e está em $C$, logo $5$ não pode estar em $B-C$.

(d) Falso. Temos que $2 \in A$ e $2 \notin B$, logo $2 \in A-B$.

(e) Verdadeiro. O números $1$ e $2$ estão no conjunto $A$ e não estão no conjunto $C$. Desse modo, os elementos de $\{1,2\}$ estão em $A-C$. Logo, pela definição de inclusão de conjuntos $\{1,2\} \subset A-C$.

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Teoria dos Conjuntos #7: Propriedades da união e da interseção de conjuntos

Nos últimos dois post estudamos duas operações importantíssimas com conjuntos, a união e a interseção de conjuntos. Antes de prosseguirmos com mais operações com conjuntos, vamos ver as propriedades que a união e a interseção de conjuntos possuem. As propriedades da união e da interseção de conjuntos são muito úteis para resolver problemas da Teoria dos Conjuntos. Vamos lá! 

Propriedades da união e da interseção de conjuntos 

Propriedades da união de conjuntos

Considere $A$, $B$ e $C$ conjuntos.

1. $A \cup A = A$

2. $A \cup \emptyset = A$

3. $A \cup B = B \cup A$

4. $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Todas a propriedades de um objeto matemático ou de uma operações possuem demonstração. Tudo na matemática possui justificativa. Vamos demonstrar a propriedade 2 da união de conjuntos.

Demonstração do item 2: Para mostrarmos que $A \cup \emptyset = A$, pela definição de igualdade de conjuntos, devemos mostrar que $A \cup \emptyset \subset A$ e que $A \subset A \cup \emptyset$. Dados dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$, para mostrar que $A \subset B$, devemos tomar um elemento $x \in A$ qualquer e mostrar que $x \in B$. Vamos fazer isso para mostrar as duas inclusões $A \cup \emptyset \subset A$ e $A \subset A \cup \emptyset$. De fato, dado $x \in A \cup \emptyset$, pela definição de união de conjuntos, $x \in A$ ou $x \in \emptyset$. Como não há elementos no conjunto vazio, segue que $x \in A$. Logo, todo elemento de $A \cup \emptyset$ é também elemento de $A$, assim $A \cup \emptyset \subset A$. Considere agora $x \in A$, pela definição de união de conjuntos $x \in A \cup \emptyset$. Desse modo, todo elemento de $A$ é também elemento de $A \cup \emptyset$. Portanto $A \subset A \cup \emptyset$. Da duas inclusões,  $A \cup \emptyset \subset A$ e que $A \subset A \cup \emptyset$, concluímos que $A \cup \emptyset = A$. 

Propriedades da interseção de conjunto

Considere $A$, $B$ e $C$ conjuntos.

1. $A \cap A = A$

2. Se $A \subset B$, então $A \cap B = A$

3. $A \cap \emptyset = \emptyset$

4. $A \cap B = B \cap A$

5. $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Aqui, vamos demonstrar a propriedade 4.

Demonstração da propriedade 4: Assim como fizemos para demonstrar a propriedade 2 da união de conjuntos, vamos fazer aqui, ou seja, vamos mostrar que $A \cap B \subset B \cap A$ e $B \cap A \subset A \cap B$. Dado $x \in A \cap B$, pela definição de interseção de conjuntos, segue que $x \in A$ e $x \in  B$. Sendo assim, temos que $x \in  B$ e $x \in A$, ou seja, $x \in B \cap A$. Logo $A \cap B \subset B \cap A$. Considere agora $x \in B \cap A$. Desse modo, pela definição de interseção de conjuntos, temos que $x \in B$ e $x \in A$, ou ainda, $x \in A$ e $x \in  B$. Logo, $x \in A \cap B$. Assim, $B \cap A \subset A \cap B$. Portanto, podemos concluir que $A \cap B = B \cap A$.    

Outras propriedades da união e da interseção de conjuntos

Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos quaisquer. As seguintes propriedades relacionam a união e a interseção de conjuntos.

1. $A \cup (A \cap B) =  A$

2. $A \cap (A \cup B) =  A$

3. $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

4. $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Vamos demonstrar a propriedade 3.

Demonstração da propriedade 3: Seguindo o raciocínio que usamos nas duas demonstrações anteriores e usando a definição de igualdade de conjuntos, vamos mostrar que $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)$ e $(A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)$. Vejamos, considere $x \in A \cup (B \cap C)$. Sendo assim, pela definição de união de conjuntos, $x \in A$ ou $x \in B \cap C$. Usando agora a definição de interseção de conjuntos, temos que $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in C$. Podemos reescrever essa última afirmação de modo equivalente, isto é, $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in A$ ou $x \in C$. Usando novamente a definição de união de conjuntos, obtemos que $x \in A \cup B$ e $x \in A \cup C$. Da definição de interseção de conjuntos, temos que $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Portanto, temos a primeira inclusão, $A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Vamos agora mostrar a segunda inclusão. Seja $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Pela definição de interseção de conjuntos, segue que $x \in A \cup B$ e $x \in A \cup C$. Usando agora a definição de união de conjuntos, temos que $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in A$ ou $x \in C$. Equivalentemente, $x \in A$ ou $x \in B$ e $x \in C$. Consequentemente, usando a definição de interseção de conjuntos, $x \in A$ ou $x \in B \cap C$ e, usando a definição de união de conjuntos, $x \in A \cup (B \cap C)$. Portanto $(A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)$. Está demonstrada então a igualdade $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.  

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Teoria dos Conjuntos #6: Interseção de conjuntos

 Nesse post vamos dar continuidade às operações com conjuntos. No post anterior aprendemos o que é a união de conjuntos e, agora, vamos aprender o que é a interseção de conjuntos. A união e a interseção de conjuntos são operações entre conjuntos muito usadas na matemática, é muito importante conhecê-las. Vamos lá! 

Interseção de conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos interseção do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cap B$ (lê-se $A$ interseção $B$), como sendo o conjunto

$$A \cap B = \{x : x \in A \mbox{ e } x \in B\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A \cap B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$, ao mesmo tempo. 

Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cap B$, ele não pode estar em $A$ ou em $B$, ou seja, se $x$ está em $A$ e não está em $B$ ou, se $x$ está em $A$ e não está em $B$, então $x \notin A\cap B$.

Podemos representar a interseção de dois conjuntos pelo diagrama

                                                                                                                                  $A \cap B$

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A = \{1,2,3\} \mbox{ e } B=\{1,3,5,7\}.$$

O conjunto $A \cap B$ é

$$A \cap B = \{1,3\}.$$

Perceba como a definição de interseção está satisfeita nesse último conjunto, os números $1$ e $3$ são os únicos elementos que estão em $A$ e em $B$.

2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{d,e,f,g\}$. Temos

$$A \cap B = \emptyset.$$

Quando temos dois conjuntos que não possuem elementos em comum, não haverá nenhum elemento na interseção desses conjuntos, pois não existe um elementos que esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Desse modo, a interseção desses conjuntos será o conjunto vazio, o conjunto no qual não há elementos.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{0,2,3\}, \mbox{ } B=\{1,2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,0,2,3,5,7\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(a) $2 \in A \cap B$

(b) $3 \in B \cap C$

(c) $5 \in A \cap C$

(d) $a \notin A \cap C$

(e) $0 \notin A \cap C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Temos $A \cap B = \{2\}$. Claramente $2 \in A \cap B$.

(b) Falso. No item anterior calculamos a interseção dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas isso não é necessário. Quando os conjuntos são muito grandes, isso pode dar trabalho. Pela definição de interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção de dois conjuntos, ele deve estar nos dois conjuntos. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ e em $B$. Observe que $3 \notin B$, logo a afirmação é falsa.

(c) Falso. Basta observarmos que $5 \notin A$.

(d) Verdadeiro. Veja que $a \notin A$, o que implica $a \notin A \cap B$.

(e) Falso. Como $0 \in A$ e $0 \in C$, logo $0 \in A \cap C$.

Interseção de conjuntos com mais de dois conjuntos

A interseção de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.

Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a interseção dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por

$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para todo } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em $A_i$ para todo $i=1,2,\dots,n$, ou ainda, é formado pelos elementos que estão em todos os $A_i$'s. 

Podemos escrever essa interseção de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:

$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i.$$

Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$, ele não pode estar em algum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$, ou seja, se existe algum índice $i$ para o qual $x \notin A_i$, então $x \notin A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$.

Usando um diagrama, podemos visualizar a interseção de mais de dois conjuntos

                                                                                                             $A \cap B \cap C \cap D \cap E$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{a,b,2,4,6\}, \mbox{ }B = \{\{a\},a,b,2,3,4,6\}, \mbox{ } C=\{4,5,6\} \mbox{ e } D=\{a,b,c,4,8,10\}.$$

Temos,

$$A \cap B = \{b,2,4,6\}$$

$$A \cap B \cap C = \{4,6\}$$

$$A \cap B \cap C \cap D = \{4\}$$

2. Sejam 

$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c,d\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},a,b,c\}.$$

Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.

(a) $\{a,b\} \in A \cap B$

(b) $\{a\} \notin A \cap B$

(c) $b \in A \cap B \cap C$

(d) $d \in A \cap B \cap C$

Solução:

(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cap B$.

(b) Verdadeiro. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, mas não é um elemento de $A$, sendo assim, $\{a\} \notin A \cap B$.

(c) Verdadeiro. Observe que $b$ é um elemento de $A$, de $B$ e de $C$. Logo $b \in A \cap B \cap C$.

(d) Falso. Temos que $d \notin C$. Portanto $d \notin A \cap B \cap C$. 

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Teoria dos Conjuntos #5: União de conjuntos

Nas quatro postagens anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-as aqui) vimos o que é bem básico, como definição de elementos, de conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos, a relação de inclusão de conjuntos e a definição de igualdade de conjuntos. Com a base bem definida e compreendida, podemos passar agora às operações de conjuntos, que são, união de conjuntos, interseção de conjuntos e diferença de conjuntos. Nesse post abordaremos a união de conjuntos, que algumas vezes é chamada de reunião de conjuntos. Então, vamos aprender o que é a união ou reunião de conjuntos.

União de conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos união do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cup B$ (lê-se $A$ união $B$), como sendo o conjunto

$$A \cup B = \{x : x \in A \mbox{ ou } x \in B\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A \cup B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ ou estão em $B$. Podemos ainda pensar no conjunto $A \cup B$ como sendo o conjunto formado da seguinte forma: pegamos todos os elementos de $A$ e todos os elementos de $B$ e formamos um novo conjunto com esses elementos. Esse conjunto será $A \cup B$.

Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cup B$, ele não pode estar nem em $A$ e nem em $B$.

Usando um diagrama, podemos visualizar a união de dois conjuntos

                                                                                                                               $A \cup B$

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A = \{1,2,3,4\} \mbox{ e } B=\{8,9,10\}.$$

O conjunto $A \cup B$ é

$$A \cup B = \{1,2,3,4,8,9,10\}.$$

Perceba como a defnição de união está satisfeita nesse último conjunto, observando cada elemento, percebemos que ele está em $A$ ou está em $B$.

2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{b,c,d,e,f\}$. Temos

$$A \cup B = \{a,b,c,d,e,f\}.$$

Observe que, os elementos $b,c$ estão em $A$ e em $B$. Quando construímos o conjunto $A \cup B$, não há a necessidade de colocar esses elementos duas vezes na união. Sempre que fizermos a união de dois conjuntos, onde esses conjuntos possuem elementos em comum, esses elementos em comum aparecem somente uma vez na união dos conjuntos.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{1,2,3\}, \mbox{ } B=\{2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,3,6,7\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(a) $1 \in A \cup B$

(b) $3 \in B \cup C$

(c) $5 \in A \cup C$

(d) $a \notin A \cup B$

(e) $b \notin A \cup C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Temos $A \cup B = \{1,2,3,5,a,b\}$. Claramente $1 \in A \cup B$.

(b) Verdadeiro. No item anterior calculamos a união dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas não precisamos fazer isso. Quando os conjuntos são muito grandes, esse caminho pode ser trabalhoso. Pela definição de união de conjuntos, para que um elemento esteja na união de dois conjuntos, basta que ele esteja em um deles. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ ou em $B$. Observe que $3 \in A$, logo a afirmação é verdadeira.

(c) Falso. Considerando $A$ e $B$ quaisquer, para que um elemento esteja em $A \cup B$, pela definição, ele deve estar em $A$ ou $B$. Assim, como vimos logo após a definição de união de conjuntos, para que um elemento não esteja em $A \cup B$, ele não deve estar nem $A$ e nem $B$. Observe que $5 \notin A$ e $5 \notin C$ e, portanto $5 \notin A \cup C$.

(d) Falso. Veja que $a \in B$, o que implica $a \in A \cup B$.

(e) Verdadeiro. Veja que $b \notin A$ e $b \notin C$, logo $b \notin A \cup C$.

União de conjuntos com mais de dois conjuntos

A união de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.

Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a união dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por

$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para algum } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em algum $A_i$ com $i=1,2,\dots,n$. Podemos ainda dizer que $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é construído da seguinte forma: pegamos os elementos de todos os $A_i$ com $i = 1,2, \dots, n$ e construímos um novo conjunto, esse conjunto é $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$.

Podemos escrever essa união de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:

$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i.$$

Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$, ele não pode estar em nenhum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$.

Usando um diagrama, podemos ver a união de mais de dois conjuntos

                                                                                                              $A \cup B \cup C \cup D \cup E$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{a,b\}, \mbox{ }B = \{\{a\},1,2,3\}, \mbox{ } C=\{4,5\} \mbox{ e } D=\{a,b,c\}.$$

Temos,

$$A \cup B = \{a,b,\{a\},1,2,3\}$$

$$A \cup B \cup C = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5\}$$

$$A \cup B \cup C \cup D = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5,c\}$$

2. Sejam 

$$A = \{a,b,c\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},c,d\}.$$

Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.

(a) $\{a,b\} \in A \cup B$

(b) $\{a\} \notin A \cup B$

(c) $\{b\} \in A \cup B \cup C$

(d) $d \in A \cup B \cup C$

Solução:

(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cup B$.

(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, sendo assim, $\{a\} \in A \cup B$.

(c) Falso. Observe que $\{b\}$ não é elemento nem de $A$, nem de $B$ e nem de $C$. Logo $\{b\} \notin A \cup B \cup C$.

(d) Verdadeiro. Temos que $d \in C$. Portanto $d \in A \cup B \cup C$. 

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