Expressões Numéricas #2: Expressões com parênteses, colchetes ou chaves

Chegamos à segunda postagem sobre expressões numéricas. Na postagem anterior aprendemos como se calcula uma expressão numérica sem parênteses, colchetes e chaves. Vimos a ordem na qual as operações devem ser feitas de modo a calcular a expressão corretamente. Mas, por que algumas expressões numéricas contém parênteses, colchetes ou chaves? Esses símbolos são usados quando é necessário dar prioridade à algumas operações, eles indicam o que deve ser feito por primeiro, por segundo, etc., em uma expressão numérica. Por exemplo, vimos na postagem anterior que, na expressão numérica $3 \times 2 +5$, a multiplicação deve ser feita antes da adição, porém, se quisermos fazer a adição primeiro, devemos usar os parênteses para indicar isso da seguinte forma $3 \times (2+5)$. Esse é um exemplo bem simples. Veremos mais detalhes a seguir.  

Expressões com parênteses, colchetes ou chaves

Esses são alguns exemplos de expressões que contêm parênteses, colchetes ou chaves.

1. $2+3 \times (5-1)$

2. $5+2 \times [3^2-10 \div (1+4)]$

3. $\sqrt{3}- 10 \times \{5 + \sqrt{2} \times [(3+5)^3 - 3 \times(3-9)]\}$

4. $2 - 5 \times(\sqrt[3]{31} - (3 + 2) \times (1 + 5^2\div(11-1)))$

Por onde começar a resolver expressões como as do exemplo acima?  Já vi muitas regras sobre como resolver expressões numéricas como as do exemplo acima, mas eu digo que há somente uma, que é a seguinte:

A expressão deve ser resolvida de dentro para fora, independentemente de quais símbolos são usados, parênteses, colchetes, ou chaves.

Agora vem outra pergunta: o que significa resolver uma expressão de dentro para fora? Quando uma expressão numérica contêm parênteses, colchetes ou chaves, eventualmente, podemos ter parênteses dentro de parênteses, parênteses dentro de chaves, chaves dentro de chaves, colchetes dentro de chaves, etc. (como nos exemplos acima). Resolver de dentro para fora significa começar a resolver o que está mais a dentro da expressão, independentemente de qual símbolo seja. Outro fato importante, é um mito que o que está entre parênteses deve ser feito primeiro, o que está entre colchetes por segundo e o que está entre chaves deve ser feito por último. É muito comum, em livros do ensino superior, expressões que são escritas somente com parênteses, uns dentro dos outros. Por isso reafirmo, o modo correto de se resolver uma expressão numérica é resolvendo de dentro para fora, independentemente de quais símbolos (parênteses, colchetes ou chaves) estejam na expressão. 

Para que esse modo de resolver fique claro, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos

1. Resolva a seguinte expressão $3+4 \times (3+1)$.

Solução: Na expressão do enunciado temos somente uma expressão dentro dos parênteses e, dentro deles, não há outros parênteses, não há outros colchetes e nem chaves. Então, nessa situação, basta resolver o que está entre parênteses primeiro e depois continuar o cálculo usando a ordem das operações que vimos na postagem anterior.

\begin{eqnarray*} 3+4 \times (3+1) &=& 3+4 \times 4 \\ &=& 3+16 = 19 \end{eqnarray*}

Essa expressão poderia estar escrita nessas formas $3+4 \times [3+1]$ ou $3+4 \times \{3+1\}$ que não estaria errado. 

2. Resolva a seguinte expressão $3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4)$.

Solução: Nessa expressão os parênteses aparecem duas vezes. Observe que, mesmo aparecendo duas vezes, eles não estão um dentro do outro. Quando esse tipo de coisa ocorre numa expressão, ou seja, vários parênteses (colchetes ou chaves) sem que estejam um dento do outro, resolvemos os parênteses (colchetes ou chaves) primeiro, ao mesmo tempo, se preferir.

\begin{eqnarray*}3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4) &=& 3^2 + 10 \div 5 - 3 \times (-6) \\ &=& 3^2 + 2 + 18 \\ &=& 9 + 2 + 18 \\ &=& 11 + 18 = 29 \end{eqnarray*}

Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.

3. Calcule o valor da expressão $\sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3)$.

Solução: Nessa expressão ocorre a mesma coisa que ocorre no exemplo anterior. Para resolvê-la usamos o mesmo processo usado anteriormente.

\begin{eqnarray*} \sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3) &=& \sqrt{81} \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 9 \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 18-2 = 16  \end{eqnarray*}

Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.

4. Resolva a expressão $3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14$.

Solução: Essa expressão está no mesmo caso dos exemplos anteriores.

\begin{eqnarray*} 3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14 &=& 3 \times 2,5 + 7 \div 14 \\ &=& 7,5 + 0,5 = 8  \end{eqnarray*} 

Vamos passar para exemplos um pouco mais complicados.

5. Calcule o valor da seguinte expressão $3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)]$.

Solução: Observe que nessa expressão há colchetes e parênteses onde os parênteses aparecem dentro dos colchetes. Assim, vamos resolver a expressão de dentro para fora, primeiro calculando os parênteses e depois os colchetes.

\begin{eqnarray*} 3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)] &=& 3^2 + 2 \times [1+28 \div 14]  \\ &=& 3^2 + 2 \times [1+2] \\ &=& 3^2 + 2 \times 3 \\ &=& 9 + 6 = 15 \end{eqnarray*}

Essa expressão poderia estar escrita na forma $3^2 + 2 \times (1 + 28 \div (2 + 12))$. Não estaria errado e a forma de resolver seria a mesma, de dentro para fora.

6. Calcule o valor da expressão $(1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]$.

Solução: Note que nessa expressão temos parênteses e colchetes. Temos duas expressões entre parênteses e uma delas está entre colchetes. Lembre-se, comece a resolver de dentro para fora, calcule primeiro a expressão nos parênteses que estão dentro dos colchetes, aí depois você pode resolver o que vai ficar entre colchetes e o que está entre parênteses do lado de fora dos colchetes.

.\begin{eqnarray*} (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]  &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (-1)] \\ &=&  (1-2) \times 3 + 4 \div [1+2^2 -3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1+ 4 - 3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4\div[5 - 3] \\ &=& (-1) \times 3 + 4 \div 2 \\ &=& -3 + 2 = -1   \end{eqnarray*}

7. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot[\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)]$.

Solução: Nessa expressão temos duas expressões entre colchetes e dentro dos colchetes temos parênteses. Vamos usar o mesmo raciocínio que temos usado, vamos fazer as contas de dentro para fora, isto é, vamos fazer o que está entre parênteses e depois o que estiver nos colchetes.

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)] &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot 6] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + 1]  +  3 \cdot[9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 21 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{3} - 10 + 63 \\ &=& - \displaystyle\frac{29}{3} + 63 = \displaystyle\frac{160}{3}  \end{eqnarray*}

8. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times \left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right]$.

Solução: Vamos identificar quais são os parênteses, colchetes ou chaves que estão mais "à dentro" e começamos a resolver a expressão por eles.

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times\left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right] &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27} \div 1]\right] \\ &=&  \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27}]\right] \\  &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + 3]\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times\left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times 6\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times [8 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times 20 = 15      \end{eqnarray*}

9. Calcule o valor da expressão $-2 \times (5+3 \times (1+2))-\displaystyle\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1$.

Solução: Começando sempre de dentro para fora.

\begin{eqnarray*} -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1 &=& -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ 2) - 8)+ 2^4)-1 \\ &=&  -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times 7 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+ 3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((14 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+3 \times 3)-\frac{1}{2} \times (6+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+9)-\frac{1}{2} \times (6+ 16)-1 \\ &=& -2 \times 14 -\frac{1}{2} \times 22-1\\ &=& -28 -11-1 \\&=& -39 -1 = -40 \end{eqnarray*}

10. Calcule o valor da expressão $2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\}$.

Solução:

\begin{eqnarray*}2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\} &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\ &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\}  \\ &=& 2 \cdot\{[10 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\&=&  2 \cdot\{9 -2^2 + 10 \div 15\} \\&=& 2 \cdot\left\{9 -2^2 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{9 - 4 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{5 + \frac{2}{3}\right\}  \\ &=& 2 \cdot \frac{17}{3} = \frac{34}{3}    \end{eqnarray*}

O que ainda pode aparecer em expressões numéricas são expressões dentro de potências e dentro de radicais. Vamos ver alguns exemplos onde isso ocorre.

11. Calcule o valor da expressão $2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3$.

Solução: Nessa expressão há uma expressão entre parênteses elevada a uma potência. Em expressões desse tipo, basta resolver os parênteses primeiro e depois calcular a potência.

\begin{eqnarray} 2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3 &=& 2 + 2 \times 5 - (1+7)^3 \\ &=& 2 + 2 \times 5 - 8^3 \\ &=& 2 + 10 - 512 \\ &=&12 -512 = 500 \end{eqnarray}

12. Calcule o valor da expressão $(2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2$.

Solução: Nesse exemplo temos uma expressão entre parênteses que está elevada a uma potência. O método de resolução aqui é o mesmo, resolver de dentro para fora. Resolvemos primeiro a expressão que está dentro da potência e depois resolvemos a potência.

\begin{eqnarray} (2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2 &=& (2+3\div 9 + 4 \times 4)^2 \\ &=&\left(2+\frac{1}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{7}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{55}{3} \right)^2 = \frac{3025}{3}  \end{eqnarray}

13. Resolva a expressão $1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3$

Solução: Basta resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray}1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3 &=& 1- [2 + 3 \times 6^2 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 3 \times 36 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 108 - 4]^3 \\ &=& 1- [110 - 4]^3 \\ &=& 1 - [106]^3 \\ &=& 1 - 1191016 = -1191015   \end{eqnarray}

14. Calcule o valor da expressão $(2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5$.

Solução: Basta resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5 &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1^2)^5 \\ &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1)^5 \\ &=& (2 + 12)^2 - 2^5 \\ &=& 14^2 - 2^5 \\ &=& 196 - 32 = 164    \end{eqnarray}

15. Calcule o valor da expressão $3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2})$.

Solução: Quando uma expressão possui um radical e dentro desse radical há uma outra expressão, como é o caso desse exemplo, o radical funciona como se fosse parênteses (colchete ou chaves) e podemos colocá-lo na ordem de resolução da expressão usando o mesmo princípio que temos usado em todos os exemplos, resolvendo sempre de dentro para fora.

\begin{eqnarray} 3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{6 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{4}) \\ &=& 3 \times (2 \div 2) \\ &=&  3 \times 1 =  3   \end{eqnarray}

16. Resolva a expressão $\sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right)$.

Solução: Vamos resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} \sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right) &=& \sqrt{2+2} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 1}\right]\right) \\ &=& \sqrt{4} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{125}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + 5 \right]\right) \\ &=&  2 - 4 \times (2 + 18 \div 9) \\ &=& 2 - 4 \times (2 + 2) \\ &=& 2-4 \times 4 \\ &=& 2-16 = -14 \end{eqnarray}

Podemos ter também expressões dentro de radicais que, por sua vez estão dentro de potências e vice-versa.

17. Calcule o valor da expressão $2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33}$.

Solução: Não é exagero sempre lembrar: vamos resolver de dentro para fora:

\begin{eqnarray} 2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33} &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33}\\ &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33} \\ &=& 2+3 + \sqrt{17^2 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{289 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{256} \\ &=& 5 + 16 = 21    \end{eqnarray}

18. Calcule o valor da expressão $3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4 } + 1\right]\right\}$.

Solução: 

\begin{eqnarray} 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4}+1\right]\right\} &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-4)^4}+ 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1^4} + 1\right]\right\} \\ &=&  3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1} +1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22} + 1\right]\right\}  \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{27} + 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[3 + 1 \right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times 4\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 16 \right\} \\ &=& 3 \times \{-14\} =  -42   \end{eqnarray}

Agora, depois de ver como se resolve um expressão numérica com parênteses, colchetes ou chaves, sugiro que você faça bastante exercícios de cálculo de expressões para praticar.

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Leia mais

Expressões Numéricas #1 - Expressões sem parênteses, colchetes e chaves

As expressões numéricas estão presentes em todas as áreas da matemática. Em qualquer problema de matemática, principalmente os aplicados, há contas para se fazer, desde as mais simples, como calcular um troco após comprar pães numa padaria, até os mais complicados, como construir um prédio como o Burj Khalifa. Diante disso fica clara a importância das expressões numéricas, elas estão presentes em quase tudo o que o ser humano faz. Por isso, a seguir, veremos detalhadamente a definição de uma expressão numérica e como calculá-las. Vamos lá!

O que é uma expressão numérica?

Definição: Uma expressão numérica é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números.

A multiplicação pode ser denotada pelos símbolos $\times$ e $\cdot$. Em algumas casos, para simplificação, o símbolo de multiplicação é omitido. Também, além o símbolo $\div$ usado para a operação de divisão, podemos usar as frações $\displaystyle\frac{a}{b}$ para dizer que $a$ está sendo divido por $b$. Para compreendermos melhor a definição de expressão numérica,  vejamos alguns exemplos de expressões numéricas:

1. $2+3$

2. $5-\displaystyle\frac{1}{2}+8$

3. $5 \times 9 + 1 -10$

4. $3 \div 2 + \displaystyle\frac{8}{9}$ 

5. $5 \times 8 + 10 \div 2 - 8 + 2^2$

6. $ 5 \cdot 2 + 8 - 2 \cdot \sqrt{4} + 1 - 3^5$

7. $\sqrt{5} \times 2 + 3 \times (4+8)+2$ 

8. $3 \cdot (8+2) + 4^5 \div 2 + \sqrt[3]{8}$

9. $\sqrt{8+17} \times (3+1) - 10 \div 5 + (4+1) \div2 $

10. $3 \cdot[4 \cdot 21 \div (3+4)] + 32 \div 2^4$

11. $10 + 8 \cdot \{3+5^2 \div 5-[3+8\cdot(\sqrt{4}+2)]\}$

12. $10 \div (3-2(1+6\div2 - (1+6) \cdot 4^2))$

13. $1+ \displaystyle\frac{2+ 4(\sqrt{49}-1)}{8} \cdot [1+3\cdot(3+5^2)]$

14. $(-1)^3 + 2 \cdot (4 \div (7+1)) - \displaystyle\frac{2+\sqrt{5}\cdot (4+1)^3}{\sqrt[3]{27}-4^2}$

Como você pode perceber pelos exemplos acima, podemos construir várias expressões numéricas, menores, maiores, mais simples ou mais complicadas. Bom, a pergunta que surge agora é: Como calcular essas expressões numéricas? Para responder a essa pergunta, vamos separar e as expressões numéricas em dois tipos: as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves e as que possuem. Nessa postagem vamos aprender a resolver as expressões numéricas que não possuem parênteses, colchetes ou chaves. As que possuem parênteses, colchetes ou chaves ficarão para a próxima postagem, onde vamos explicar a função de cada objeto desse numa expressão numérica.  

Como calcular uma expressão numérica que não possui parênteses, colchetes ou chaves?

Quando olhamos expressões numéricas, assim como as do exemplo anterior, do 1 ao 6, é natural nos perguntarmos: Quais operações devem ser feitas primeiro? Vamos responder a essa pergunta analisando diferentes tipos de expressões, partindo das mais simples até as mais complicadas.

(a) Expressões somente com somas e subtrações

As expressões desse caso devem ser resolvidas na ordem em que as operações aparecem.

Exemplos

(i) $$3-4+5 = -1 + 5 = 4$$

(ii) \begin{eqnarray*} 4- \displaystyle\frac{2}{3} + 1 + 5 - 2 &=& \displaystyle\frac{10}{3} + 1 + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{3} + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{28}{3} - 2 = \displaystyle\frac{22}{3} \end{eqnarray*}

Como está escrito acima, se você fizer as operações na expressão numérica na ordem em que elas aparecem, você não vai errar. Mas, se você quiser calcular as expressão numéricas mais rápido, você pode efetuar mais de uma operação de uma vez, mais precisamente, você pode fazer as operações aos pares. Isso pode ser feito devido à propriedade associativa dos números reais. Vejamos um exemplo:

(iii) \begin{eqnarray*} 2+1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 3 + 14 - 1 &=& 3 + \displaystyle\frac{7}{2} + 13 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{2} + 13 = \displaystyle\frac{39}{2} \end{eqnarray*}

(b) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações e divisões

Quando, além da adição e da subtração, temos também em uma expressão numérica a multiplicação e a divisão, as operações de multiplicação e de divisão devem ser feitas primeiro. Depois de efetuá-las, sobrarão somente as operações de adição e de subtração, ou seja, vamos cair no caso anterior, assim, é só proceder da forma que vimos anteriormente. Vejamos alguns exemplos.

(i) $$3+ 2 \times 5 = 3 + 10 = 13$$

(ii) \begin{eqnarray*} 10 - \displaystyle\frac{1}{2} \times 2 + 1 + 5 \times 3 &=& 10 -1 + 1 + 5 \times 3 \\ &=& 10 -1 + 1 + 15 \\ &=& 10 + 15 = 25 \end{eqnarray*}

(iii) \begin{eqnarray*} 8-21 \div 3 +2 &=& 8 - 7+2 \\ &=& 1+2 = 3 \end{eqnarray*}

(iv) \begin{eqnarray*} 3 \div 2 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 = &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 \\ &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 25 \\ &=& 2,5 - \displaystyle\frac{49}{2} \\ &=& 2,5 + 25,5 = 28 \end{eqnarray*}

(v) \begin{eqnarray*} 4+3\cdot 2 - 3 + 10 \div 2 - 1 &=& 4+6-3+10 \div 2-1 \\ &=& 4+6-3+5-1 \\ &=& 10+2 -1 \\ &=& 12 -1 =11 \end{eqnarray*}

Nos exemplos acima, a cada passo da resolução efetuamos uma divisão ou uma multiplicação. Quando multiplicações e divisões aparecem na mesma expressão, podemos calculá-las simultaneamente (desde que não sejam em sequência, exatamente).

(vi) \begin{eqnarray*} 64 \div 4 + 3 - 5 \times 2 &=& 16+3-10 \\ &=& 19-10 = 9  \end{eqnarray*}

(vii) \begin{eqnarray*} 15+2 \times 10 - 8 \div 2 - 3 \times 4 & =& 5 + 20 - 4 - 3 \\ &=& 25 - 7  = 18  \end{eqnarray*}

(viii) \begin{eqnarray*} 3+\displaystyle\frac{1}{2}+3 \times 2 - 70 \div 10 - 5 \div 2 &=& 3 + \displaystyle\frac{1}{2} + 6 - 7 - 2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 1 -2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 3,5 \\ &=& 3,5 - 3,5 = 0  \end{eqnarray*}

(c) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações, divisões, potências e raízes.

Quando incluímos potências e raízes nas expressões numéricas do caso anterior, as potências e as raízes devem ser resolvidas primeiro.

(i) \begin{eqnarray*} 3 +2^2-3 \times 2 - 8 \div 2 &=& 3+4- 3 \times 2 - 8 \div 2 \\ &=& 3+4-6-4 \\ &=& 7 - 10 = -3   \end{eqnarray*}

(ii) \begin{eqnarray*} \sqrt{25} - 2 \times 3 + 2 &=& 5-2\times3 + 2 \\ &=& 5-6+2 \\ &=& -1+2 = 1   \end{eqnarray*} 

Nos exemplos anteriores tivemos expressões numéricas ou com potências ou com raízes. Caso estejam as duas em uma expressão numérica, podemos fazê-las simultaneamente.

(iii) \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8} - 3^4 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} &=& 2 - 81 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& 2 - 81 + 4 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& -79 + \displaystyle\frac{21}{5} = -\displaystyle\frac{295}{4}   \end{eqnarray*} 

(iv) \begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{2} + \sqrt{49} - 3 + 2^3 - 4^2 + 25 \div 5 &=& \displaystyle\frac{3}{2} + 7 -3 + 8 - 16 + 25 \div 5 \\  &=& \displaystyle\frac{3}{2} +7-3+8-16 +5 \\ &=& \displaystyle\frac{17}{2} + 5 -11 \\ &=& \displaystyle\frac{27}{2} - 11 = \displaystyle\frac{5}{2}\end{eqnarray*}

Ainda é possível fazer o seguinte, se numa expressão numérica estiver presentes multiplicações, divisões, potências e raízes, essas operações podem ser feitas simultaneamente (somente se elas não forem em sequência). A vantagem disso é que a resolução será mais curta.

(v) \begin{eqnarray*} 2+ 3^3 - 4 \times 2 + 10 \div 5 + \sqrt{9} &=& 2 + 27-2+2+3 \\ &=& 29 +3 =31\end{eqnarray*}

(d) Expressões onde aparecem multiplicações e divisões em sequência

Quando multiplicações e divisões aparecem em sequência numa expressão numérica, tais operações devem ser feitas na sequência em que aparecem, da esquerda para a direita. Vejamos alguns exemplos

(i) $$2 \times 6 \div 3 = 12 \div 3 = 4$$

(ii) $$5 \div 2 \times 3 = 2,5 \times 3 = 7,5$$

(iii) $$3 \times 3 \times 2 \div 9 = 9 \times 2 \div 9 = 18 \div 9 = 2$$

(iv) $$5 \times 3 \div 2 \div \displaystyle{1}{2} = 15 \div 2 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 7,5 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 15$$

Multiplicações e divisões em sequência também podem aparecer juntamente com somas e subtrações. Se esse for o caso, essa sequência de multiplicações e divisões devem ser feitas primeiro.

(v) $$4+2 \times 3 \div 12 = 4 + 6 \div 12 = 4 + 0,5 = 4,5$$

(vi) $$2 \times 3 \times 5 \div 15 + 2 -10 = 6 \times 5 \div 15 + 2 - 1 = 30 \div 15 + 2 -1 = 2 +2 -1 = 4 -1 = 3$$

Podemos ter ainda, juntamente com as somas, subtrações, multiplicações e divisões em sequência, as potências e as raízes. Se isso acontece, faça as sequências de multiplicações e divisões primeiro, depois faça as potências e as raízes e, por fim, as somas e as subtrações.

(vii) $$2 + \sqrt{4} - 3 \times 4 \div 8 = 2 + \sqrt{4} - 12 \div 8 = 2 + \sqrt{4}-1,5 = 2 + 2 -1,5 = 4 - 1,5 = 2,5$$

(viii) \begin{eqnarray}  1 + 2^2 - 1 \div 2 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} &=& 1 + 2^2 - 0,5 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 - 0,125 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 -1,25 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 4 -1,25 + 3 \\ &=& 5 + 1,75 = 6,75 \end{eqnarray} 

(e) Expressões onde aparecem multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência

Quando temos multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência, nessas sequências devem ser feitas primeiro as potências e as raízes e depois se calcula a sequência de multiplicações e divisões que restarem.

(i) $$5 \times 2^3 \div 8 = 5 \times 8 \div 8 = 40 \div 8 = 5$$

(ii) $$\sqrt{49} \div 2 \times 4 = 7 \div 2 \times 4 = 3,5 \times 4 = 14$$

(iii) $$3 \times 4^2 \div 8 \times \sqrt{4} = 3 \times 16 \div 8 \times 2 = 48 \div 8 \times 2 = 6 \times 2 = 12$$

Juntamente com esse tipo de sequência de operações, podem aparecer somas, subtrações, potências e raízes. Se isso ocorre, faças as sequências de multiplicações e divisões, possuindo potências e\ou raízes ou não, depois resolvas as potências e as raízes, em seguida faça as multiplicações e as divisões e, por fim faça as somas e as subtrações.

(iv) \begin{eqnarray*} 2 + 2 \times 3^4 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} &=& 2 + 2 \times 81 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - 10 \\ &=& 2 + 40,5 + 0,2 -10 \\ &=& 42,5 - 9,8 = 32,7 \end{eqnarray*}

(v) \begin{eqnarray*} 4^2 - 36 \div 2 \times \sqrt{36} \div 2^3 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} &=& 4^2-36 \div 2 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-18 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-3 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 16-3\div8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 -9 \\  &=& 16 - \displaystyle\frac{8}{3} - 12 + 5 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{40}{3} - 7 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{19}{3} - 9 = -\displaystyle\frac{8}{3}   \end{eqnarray*}

Acredito que até aqui abordamos todas as possibilidades de expressões numéricas onde não parecem parênteses, colchetes e chaves. Existem outras formas de se resolver expressões numéricas além das que foram dadas aqui nessa postagem, mas, as que estão aqui com certeza farão com que você resolva os tipos de expressões numéricas abordadas corretamente.

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Potênciação e Radiciação #8: Potências com expoentes reais

Essa já é a oitava postagem sobre potenciação e radiciação do blog (veja todas as postagens aqui). Vimos quase tudo daquilo que é básico sobre esse assunto, quase tudo o que você precisa saber para resolver problemas de matemática envolvendo potenciação e radiciação, ou seja, vimos potências com expoentes naturais, inteiros, racionais e irracionais e também vimos a radiciação. Bom, eu disse quase tudo e, por que quase tudo? Para completar esse assunto e vermos tudo o que precisamos saber sobre potenciação e radiciação, falta abordarmos o caso onde o expoente de uma potência é um número real. Não se preocupe, isso fica fácil depois de tudo o que já foi visto.

Potências com expoente real

Seja $a,n \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Como fazemos para calcular $a^n$? Bom, depende de qual número é o $n$. Vejamos,

(1) Se $n$ é um número natural, usamos a definição de potência com expoente natural (veja a definição aqui)

(2) Se $n$ for um número inteiro negativo, usamos a definição de potência com expoente negativo (veja a definição aqui)

(3) Se $n$ for um número racional, ou seja, uma fração, usamos a definição de potência com expoente racional (veja a definição aqui).

(4) Se $n$ for um número irracional, temos uma forma aproximada de calcular essa potência, mas é melhor não calculá-la e sim deixá-la como potência mesmo (veja mais detalhes sobre isso aqui).

Dado um número real $n$, esse número será natural, inteiro, racional ou irracional, desse modo, nos quatro itens acima, abordamos todas possibilidades de potências com expoentes reais. Logo, se você precisa calcular um potência com expoente real, basta ver em qual caso ela se encaixa.

As propriedades que vimos para cada tipo de potência acima podem ser generalizadas para potências com expoentes reais, ou seja, dados $a,b,r,s \in \mathbb{R}$ com $a,b > 0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^r \cdot b^s$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^r = \displaystyle\frac{a^r}{b^r}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

Observação: Temos que $0^n = 0$ para qualquer $n \in \mathbb{R}$ positivo. Caso contrário, essa potências não está definida.

Vejamos alguns exemplos do uso dessas propriedades com potências com expoentes reais.

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}+3} = 2^{\frac{7}{2}}$; $\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\pi} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\pi)} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\pi}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\frac{1}{5}-\sqrt{2}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 3^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \cdot 7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{\pi}} = \displaystyle\frac{3^{-\frac{1}{\pi}}}{5^{-\frac{1}{\pi}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{7}} = 10^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}$.

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Potenciação e Radiciação #7: Potências com expoentes irracionais

Até aqui já estudamos potências com expoentes naturais, inteiros e racionais, juntamente com suas propriedades. Agora chegou a hora de abordarmos as potências com expoentes irracionais a suas propriedades. Potências com expoentes irracionais não são tão comuns e nem são tão estudadas, mas dependendo do que estamos estudando em Matemática, elas aparecem e, por isso, precisamos saber como lidar com elas. Vamos lá!

Potências com expoentes irracionais

Antes de qualquer coisa, vamos lembrar o que é um número irracional. Os números irracionais são os números que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma $\displaystyle\frac{a}{b}$ com $a,b \in \mathbb{Z}$ e $b \neq 0$ (frações). Isso inclui também os números naturais ($\mathbb{N}$) e os inteiros ($\mathbb{Z}$). Pensando de uma outra forma, os números irracionais são os números com vírgula, com infinitas casas decimais, onde não há nenhum bloco de números se repetindo, como por exemplo, no número $2,345345345345\dots$ (o bloco que se repete é $345$). Assim, são exemplos de números irracionais

$$\pi = 3,141592653589793238\dots; \mbox{  } \sqrt{2}= 1,41421356237\dots;$$

$$-\sqrt{3} = -1,73205080757\dots;  \mbox{ e } e=2,71828182846\dots.$$ 

Vale observar também que, todo número na forma $\sqrt{p}$, onde $p$ é um número primo, é irracional.

Temos então que, um número irracional não é um natural, não é um inteiro e nem um racional. Desse modo, dado um número real $a$ e um irracional $k$, não é possível calcular a potência $a^k$ com nenhuma das maneiras que vimos nos posts anteriores. E agora, o que pode ser feito? Bom, podemos fazer o cálculo por aproximação. Como exemplo, vamos usar $3^{\sqrt{2}}$. Temos que $\sqrt{2} = 1,41421356237$, assim podemos fazer as seguintes aproximações para calcular $3^{\sqrt{2}}$, usando números racionais, acrescentando cada vez mais casas decimais,

$$3^{1} = 3;$$

$$3^{1,4} = 3^{\frac{14}{10}} = 3^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{3^7} = 3\sqrt[5]{9} \cong 4,655537;$$

$$3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = \sqrt[100]{3^{141}} = 3\sqrt[100]{3^41} \cong 4,706965;$$

$$3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = 3^{\frac{707}{500}} = \sqrt[500]{3^{707}} = 3\sqrt[1000]{3^{207}} \cong 4,727695;$$

$$3^{1,4142} = 3^{\frac{14142}{10000}} = 3^{\frac{7071}{5000}} = \sqrt[5000]{3^{7071}} = 3\sqrt[5000]{3^{2071}} \cong 4,728734.$$

Calculando $3^{\sqrt{2}}$ numa calculadora científica, vamos obter $3^{\sqrt{2}} = 4,7288043\dots$. Note que a última aproximação feita teve como resultado aproximado o número $4,728734$, ou seja, essa aproximação acertou até a terceira casa decimal. Se continuarmos com mais aproximações acrescentando mais casas decimais, vamos obter aproximações cada vez melhores.

Logo, podemos usar esse raciocínio para calcular potências com expoentes irracionais. Porém, devemos concordar que fazer esses cálculos por aproximações não é nada fácil (observe o tamanho das potências e dos índices das raízes calculadas no exemplo acima). Por esse motivo, é preferível não calcular potências com expoentes irracionais, caso se encontre com uma. No caso do nosso exemplo, é melhor deixar na forma $3^{\sqrt{2}}$. Não há problema nenhum em deixar de calcular essa potência. Deixá-la nessa forma evita erros nas aproximações. Talvez, em alguns casos, seja necessário calcular essa potência (em aplicações na realidade, por exemplos), mas aí temos usar outros recursos de aproximação e cálculo de erros.

Para os números irracionais também valem as propriedades de potenciação vistas para os números racionais. Vamos relembrá-las.

Considere $p,q \in \mathbb{I}$ (conjunto dos números irracionais). Para $a,b \in \mathbb{R}$, maiores ou iguais a $0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$;

(iii) $(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^p = \displaystyle\frac{a^p}{b^p}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$

Vamos ver alguns exemplos do uso dessas propriedades.

Exemplos:

1. $10^{\sqrt{11}} \cdot 10^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{11}+\sqrt{2}}$;  $2^{-\sqrt{3}} \cdot 2^{\pi} = 2^{-\sqrt{3}+\pi}$;   $4^{\sqrt{2}} \cdot 4^{-e} = 4^{\sqrt{2}+(-e)} = 4^{\sqrt{2}-e}$;   $3^{-\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{7}} = 3^{-\sqrt{5}+(-\sqrt{7})} = 2^{-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$;

2. $\displaystyle\frac{9^{\sqrt{3}}}{9^\sqrt{2}} = 9^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;  $\displaystyle\frac{6^{-\sqrt{5}}}{6^{\sqrt{2}}} = 6^{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}$;  $\displaystyle\frac{2^\sqrt{3}}{6^{-\sqrt{5}}} = 2^{\sqrt{3}-(-\sqrt{5})} = 2^{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$;  $\displaystyle\frac{10^{-\pi}}{10^{-\sqrt{7}}} = 10^{-\pi-(-\sqrt{7})} = 10^{-\pi+\sqrt{7}}$;

3. $(-4 \cdot 8)^{\sqrt{11}} = (-4)^{\sqrt{11}} \cdot 8^{\sqrt{11}}$; 

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{6^{\sqrt{2}}}{7^{\sqrt{2}}}$;

5. $(10^{\sqrt{3}})^{\sqrt{5}} = 10^{{\sqrt{3}}\cdot {\sqrt{5}}} = 10^{{\sqrt{15}}}$;  $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 5^2$; $(15^{-\sqrt{11}})^{-\pi} = 15^{-\sqrt{11} \cdot (-\pi)} = 15^{\sqrt{11}\pi}$;  

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Potenciação e Radiciação #6: Potência com expoente racional

Já fizemos um estudo bastante completo sobre potências com expoentes naturais e inteiros e também sobre radiciação de índice $n$. Sabemos calcular essas potências e também calcular e simplificar raízes de índice $n$. Isso já é muito importante. Tendo aprendido esses conceitos matemáticos, agora estamos aptos a estudar as potências com expoente racional (fracionário). Só agora vamos falar de potência com expoente racional pois nesse assunto vamos misturar tudo o que já estudamos nos posts anteriores, a potenciação com expoentes natural e inteiros e a radiciação. Vamos lá!

Potências com expoente racional

Definição: Dados $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $a$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}.$$

Se $a=0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} > 0$, definimos $0^{\frac{p}{q}} = 0$.

Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$;

2. $5^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5 \sqrt[3]{5}$  (aqui estamos usando o processo de simplificação de raízes visto no post anterior).

3. $7^{-\frac{2}{3}} = 7^{\frac{-2}{3}} = \sqrt[3]{7^{-2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{7^2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{49}}$.

4. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4} = \sqrt[5]{\displaystyle\frac{16}{81}}$.

5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{-1}{3}} = \sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{2}}$.

Observações importantes:

(a) O cálculo $0^{\frac{p}{q}}$ com $\displaystyle\frac{p}{q} < 0$ não está definido, pois isso implicaria em $0^p$ com $p <0$, o que não existe.

(b) Podemos estender a definição de potência com expoente racional para bases negativas, ou seja, para $a \in \mathbb{R}$ positivo, em alguns casos é possível calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$. Podemos calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$ se $p$ for par ou se $q$ for ímpar. Porém, em ambos os casos, a $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ deve estar na forma irredutível, ou seja, $\displaystyle\frac{p}{q}$ deve ser uma fração que não pode mais ser simplificada. Se não colocarmos essa condição, podemos cair no seguinte erro: observe que $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, porém 

$$(-1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-1} = -1 \mbox{ e } (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1$$.

Então, já que   $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, $(-1)^{\frac{1}{3}}$ é igual a $-1$ ou é igual a $1$? A resposta correta é $-1$ pois $\displaystyle\frac{1}{3}$ está na forma irredutível enquanto que $\displaystyle\frac{2}{6}$ não está. 

Vamos agora às propriedades das potências com expoentes racionais.

Propriedades das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas que já temos paras as potências com expoentes naturais e inteiros. Mas, mesmo assim, vamos mencioná-las dentro do contexto de potências com expoentes racionais.

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$,  e $\displaystyle\frac{p}{q}, \displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}$. Temos

(i) $a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}+\frac{r}{s}}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{r}{s}}} = a^{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}$  $(a \neq 0)$;

(iii) $(a \cdot b)^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{p}{q}} \cdot b^\frac{p}{q}$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{b^{\frac{p}{q}}}$  $(b \neq 0)$;

(v) $\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}}$.

Observação: Essas propriedades estão enunciadas somente para $a$ e $b$ reais maiores ou iguais a zero. Isso ocorre pois, como vimos na observação anterior, item (b), quando a base de uma potência com expoente racional é negativa, há algumas condições sobre o expoente para que a potência possa ser calculada, assim, para que não tenhamos problemas aos misturarmos as propriedades acima com as condições para calcular as potências. é melhor usarmos essas propriedades somente com bases positivas.

Vamos exemplos de cada propriedade acima.

Exemplos:

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{6}}$;

$\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\frac{2}{3})} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{2}{3}}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{\frac{1}{5}-\frac{4}{3}} = 5^{-\frac{17}{15}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{7}} = \displaystyle\frac{3^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{3}}$.

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