Equações Algébricas #5: Equações modulares

Essa é a última postagem sobre equações algébricas, mas não a menos importante. O módulo ou valor absoluto de um número real é um objeto matemático muito importante. Ele está presente em cálculos simples, como a distância entre dois ponto em uma reta, e até em cálculos mais complexos, como o erro permitido em aproximações. Por esse motivo, ele aparece, não poucas vezes, em equações. O objetivo dessa postagem é apresentar maneiras de resolver uma equação na qual a incógnita está dentro de um ou mais módulos, isto é, apresentar maneiras de resolver equações modulares. Vamos lá!

Equações modulares

Definição de módulo

Antes de definirmos as equaçoes modulares, vamos nos lembrar da definição de módulo de um número real e suas propriedades.

Definição: O módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, é definido como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Resumidamente, o que o módulo faz é o seguinte: se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo. A seguir temos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $|5| = 5$

2. $\left| -\displaystyle\frac{11}{2}\right| = \displaystyle\frac{11}{2}$

3. $|\pi| = \pi$

4. $| -\sqrt[3]{5}| = \sqrt[3]{5}$

Propriedades do módulo

Agora que lembramos o que é o módulo de um número real, vamos lembrar de algumas de suas propriedades que são importantes na hora de reolver equações com módulos.

Dados $x,y \in \mathbb{R}$, valem as seguintes propriedades:

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

(iv) $|xy| = |x| \cdot |y|$.

(v) $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$, se $ y \neq 0$.

Para ter mais detalhes sobre o módulo de um número real, veja essa postagem que é dedicada somente a ele. Se quiser mais detalhes sobre as propriedades do módulo de um número real, veja também essa postagem.

Equações modulares

Agora vamos definir o que é uma equação modular.

Definição: Uma equação modular é uma equação que possui um módulo ou mais módulos nos quais a incógnita está, no 1º membro, no 2º membro os nos dois membros da equação.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

5. $|3x-2| = 5$

6. $|4x^2-x+8| = |x|+3$

7. $\left| \displaystyle\frac{x}{x+1}\right| = 1$

Agora vamos aos exemplos de como resolver equações modulares.

Exemplos:

8. Determine as soluções da equação $|x+2|=3$.

Solução: Em qualquer equação, o objetivo sempre é isolar a incógnita para poder encontrar o seu valor. Para fazer isso em uma equação modular, nós precisamos primeiro encontrar uma forma  de "retirar" o módulo da equação para que possamos isolar o $x$. A forma de retirar o módulo da equação é usando a própria definição de módulo. A equação do enunciado é $|x+2|=3$, isto é, precisamos determinar um valor de $x$ de modo que o módulo de $x+2$ seja igual a $3$. Pela definição de módulo, o módulo de $x+2$ será igual a $3$ se $x+2$ for igual a $3$ ou se $x+2$ for igual a $-3$, pois o módulo de $3$ e de $-3$ são ambos iguais a $3$. Logo, para determinarmos as soluções da equação $|x+2|=3$, temos que reolver duas equações, a saber, $x+2=3$ e $x+2=-3$. Resolvendo essas duas equações, temos:

\begin{eqnarray} x+2 &=& 3 \\ x &=& 3 -2 \\ x &=& 1\end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 &=& -3 \\ x &=& -3 - 2 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}

Portanto, as soluções da equação são $x=1$ e $x=-5$. Verificando se esses valores de $x$ são realmente soluções, temos:

\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |1+2| &=& 3  \\ |3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |-5+2| &=& 3  \\ |-3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}

O raciocínio usado no exemplo anterior pode sempre ser repetido para qualquer equação que tenha o mesmo formato, isto é, para resolver uma equação na forma $|u|=a$ onde $u$ é uma expressão que possui uma incógnita e $a$ é um número real maior ou igual a zero, basta resolver as equações $u=a$ e $u=-a$. Vamos ver mais um exemplo com uma equação nesse formato.

9. Determine as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$.

Solução: De acordo com o raciocínio aplicado ao exemplo anterior, temos que resolver as equações $x^2+x-1=1$ e $x^2+x-1=-1$. Resolvendo a primeira equação, temos:

\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& 1 \\ x^2+x-1-1 &=& 0 \\ x^2+x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando soma e produto nessa útima equação, obtemos como soluções os números $-2$ e $1$. Passando agora para segunda equação, temos:

\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& -1 \\ x^2+x-1+1 &=& 0 \\ x^2+x &=& 0 \\ x(x+1) &=& 0 \end{eqnarray}

Dessa última equação, temos que $x=0$ é uma solução. A outra solução dessa equação é a solução de $x+1=0$, isto é, a outra solução é igual a $-1$. 

Logo, as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$ são $-2$, $-1$, $0$ e $1$. 

10. Calcule as soluções da equação $|2x+1| = |x-4|$.

Solução: A equação desse exemplo não está no formato das equações dos dois exemplos anteriores, ela possui dois módulos, um igual ao outro. Apesar dessa equação ser diferente das anteriores, a maneira de resolver é bem parecida. Para que dois módulos sejam iguais, as expressões que estão dentro deles devem ser iguais, ou devem ter os sinais trocados, isto é, a equação será verdadeira para os valores de $x$ tais que $2x+1 = x-4$ e $2x+1 = -(x-4) = -x+4$. Resolvendo essas equações, temos:

\begin{eqnarray} 2x+1 &=& x-4 \\ 2x-x &=& -4-1 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x+1 &=& -x+4 \\ 2x+x &=& 4-1 \\ 3x &=& 3 \\ x &=& \frac{3}{3} \\ x &=& 1 \end{eqnarray}

Portanto, as soluções dessa equação são $-5$ e $1$.

O raciocínio que usamos nesse exemplo pode ser usado em qualquer equação que tenha o mesmo formato, ou seja, se a equação estiver no formato $|u| = |v|$, onde $u$ e $v$ são expressões que contém uma incógnita, para encontrar as soluções dessa equação é preciso resolver as equações $u=v$ e $u=-v$. Vamos fazer mais um exemplo com equações nesse formato.

11. Calcule as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$.

Solução: Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, para determinarmos as soluções dessa equação, devemos resolver as equações $2x^2+x = x^2+3x+3$ e $2x^2+x  = -x^2 -3x -3$. Resolvendo a primeira equação, temos:

\begin{eqnarray} 2x^2+x &=& x^2+3x+3 \\ 2x^2 +x -x^2-3x-3 &=& 0 \\ x^2 -2x -3 &=& 0  \end{eqnarray}

Aplicando soma e produto na última equação, temos que as suas soluções são $-1$ e $3$. Passando agora para a segunda equação, temos:

\begin{eqnarray} 2x^2+x  &=& -x^2 -3x -3 \\ 2x^2+x+x^2+3x+3 &=& 0 \\ 3x^2+4x+3 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando a fórmula de Bhaskara na última equação, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& 4^2-4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &=& 16 - 36 = -20 \end{eqnarray}

Como $\Delta < 0$, a última equação não possui solução. Portanto, as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$ são $-1$ e $3$. 

12. Determine as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$.

Solução: Nesse exemplo temos uma equação modular onde há um quociente dentro do módulo. Mesmo havendo um quociente na equação, ela pode ser resolvida usando a mesma estratégia usada no exemplo 8, isto é, devemos resolver as equações $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = 2$ e $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = -2$. Resolvendo a primeira equação, temos

\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& 2 \\ 3x &=& 2(x^2-1) \\ 3x &=& 2x^2-2 \\ 2x^2-3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa última equação. Temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& (-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}

Desse modo

\begin{eqnarray} x &=& \frac{3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}

Logo, segue que $x_1 = 2$ e $x_2 = -\displaystyle\frac{1}{2}$. Vamos agora para a segunda equação.

\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& -2 \\ 3x &=& -2(x^2-1) \\ 3x &=& -2x^2+2 \\ 2x^2+3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando a fórmula de Bhaskara nessa útlima equação, temos

\begin{eqnarray} \Delta &=& 3^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}

e \begin{eqnarray} x &=& \frac{-3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}

Logo, segue que $x_3 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_4 = -2$. 

Encontramos 4 possibilidades de soluções para a equação. Para garantir que cada valor de $x$ que encontramos é de fato uma solução, esses valores não podem anular o denominador que aparece na equação. Como os valores de $x$ que anulam $x^2-1$ são $-1$ e $1$, segue que as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$ são $-2$, $-\displaystyle\frac{1}{2}$, $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $2$.

Observação importante: Considere a equação $|x-2| = -2x+8$. Essa equação não pode ser resolvida determinando as soluções das equações $x-2 = -2x+8$ e $x-2 = 2x-8$. A primeira equação tem como solução $x=\displaystyle\frac{10}{3}$ e a segunda tem como solução $x=6$. O número $6$ não é solução da equação $|x-2| = -2x+8$, pois $|6-2| =|4|=4$ e $-2 \cdot 6+8 = -12+8 = -4$. Então, precisamos de uma outra estratégia para resolver essa equação. No vídeo que está no final da postagem tem um vídeo explicando como resolver esse tipo de equação modular. Então, tenha cuidado! Equações na forma $|u| = v$ onde $u$ e $v$ são expressões algébricas com uma incógnita, não podem, em geral, serem resolvidas com as equações $u=v$ e $u=-v$.

Observação: 

(a) Se uma equação modular tem a forma $|u|=0$ onde $u$ é uma expressão que contém uma incógnita, ela é equivalente à equação $u=0$, pois o módulo de um número é igual a zero se, e somente se, esse número for igual a zero. Nesses casos não temos duas equações para resolver, precisamos resolver somente a equaçao $u=0$. 

(b) Se uma equação modular tem a forma $|u|=a$ com $a$ negativo, a equação não possui solução, pois o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero.

Com esses exemplos e estratégias apresentadas aqui acredito que você conseguirá resolver várias equações modulares.

Exemplo em vídeo:

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

  

Leia mais

Equações Algébricas #4: Equações irracionais

Chegamos ao terceiro tipo de equação que vamos estudar nessa série de postagens sobre equações algébricas, vamos estudar agora as equações irracionais. As equações irracionais são aquelas em que a incógnita está dentro de uma raiz. Algumas equações desse tipo são fáceis de resolver, mas, infelizmente, não é assim com a maioria delas. Por esse motivo, nessa postagem, vamos ver algumas estratégias que podemos usar para resolver essas equações e alguns detalhes importantes que sempre temos que obervar na hora de resolver uma equação desse tipo. Para usar essas estratégias, é importante que você saiba como resolver equações polinomiais, então, se precisar, estude a postagem sobre equações polinomiais clicando aqui. Vamos lá!

Equações irracionais

Antes de qualquer coisa, vamos lembrar bem o que é uma equação irracional.

Uma equação irracional é qualquer equação cuja incógnita está dentro de um radical (raiz).

Exemplos:

1. $\sqrt{x}-5 = 2x+1$

2. $\sqrt{x^2-4} = 4\sqrt{x}+1$

3. $\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{x+4}-x^2=\displaystyle\frac{\sqrt{x+2}}{5}$

4. $\sqrt[3]{x^2-8} = x+1$

5. $\sqrt[5]{x^3+2x-1}+x-1 = \sqrt{x}$

Esses são apenas alguns exemplos. Podemos construir equações irracionais das formas mais variadas. Observe o exemplo $5$, ele posssui raízes com índices diferentes, o que dificulta bastante a resolução dessa equação. A seguir vamos ver algumas estratégias para resolver algumas equações irracionais.

Como resolver uma equação irracional

De um modo geral, o que precisamos fazer para resolver uma equação irracional é eliminar todas as raízes que aparecem na equação. Para fazer isso, é importante lembrarmos das propriedades das operações (adição, multiplicação, potenciação e radiciação), pois vamos precisar delas . Além das propriedades mais básicas, como comutatividade da adição e da multiplicação, da propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição e das propriedades de potenciação (se precisar, vejas as propriedades das operações de soma e de multiplicação e da potenciação), também precisamos nos lembrar das propriedades da radiciação. A propriedade de radiciação que com certeza vamos usar muito, é a segunte:

$$\left(\sqrt[n]{u}\right)^n = u$$

para todo $n$ natural maior ou igual a $2$ e $u$ um número ou expressão algébrica.

Tendo essas propriedades em mente, vamos aos exemplos de como resolver equações irracionais.

Exemplos:

1. Resolva a equação $\sqrt{x-1}=2$

Solução: Para resolver essa equação, vamos começar com a propriedade da radiciação que foi mencionada acima. Como temos uma raiz quadrada em um dos membros da equação (no primeiro), vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado, isso faz com que a raiz que está no primeiro membro "desapareça", para que a equação possa ser resolvida. Assim, temos

\begin{eqnarray} \sqrt{x-1} &=& 2 \\ \left(\sqrt{x-1}\right)^2 &=& 2^2  \\ x-1 &=& 4 \\ x &=& 4 + 1 \\ x &=& 5 \end{eqnarray}

Chegando nesse ponto, parace que já temos a solução, ou seja, $x=5$. Mas, sempre que estivermos resolvendo uma equação irracional, devemos testar as soluções que encontramos para $x$ na equação original, ou seja, naquela de onde partimos, antes de elevar os dois membros a uma potência. Assim, vamos testar $x =5$ (o único valor que encontramos para $x$) na equação original. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt{x-1} &=& 2 \\ \sqrt{5-1} &=& 2  \\ \sqrt{4} &=& 2 \\ 2 &=& 2 \end{eqnarray}

Portanto, temos a equação satisfeita por $x=5$, logo, essa é a solução da equação.

Agora você pode estar se perguntando: "por que fazer essa verificação?" Vou dar mais detalhes sobre isso nos próximos exemplos.

2. Resolva a equação $\sqrt{7x-3} - x = 1$.

Solução: A equação desse exemplo também é uma equação irracional, mas está um pouco diferente da equação do exemplo anterior. A diferença é que na equação anterior, no primeiro membro havia uma raiz e nada fora dela, enquanto que na equação desse exemplo temos uma raiz menos um $x$ no primeiro membro, isto é, há um $x$ fora da raiz. Quando esse tipo de coisa acontece, isto é, nem tudo que está em um dos membros da equação está dentro de uma raiz, antes de elevarmos ao quadrado os dois membros da equação, é bom reescrevê-la deixando a raiz sozinha em um dos membros. Nesse caso, vamos deixar a raiz no primeiro membro. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} - x &=& 1 \\ \sqrt{7x-3}  &=& x + 1  \end{eqnarray}

Agora, com a equação escrita nessa forma, vamos elevar os dois membros dela ao quadrado. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3}  &=& x + 1 \\ \left(\sqrt{7x-3}\right)^2  &=& (x + 1)^2 \\ 7x-3 &=& x^2+2x+1 \\ x^2+2x+1-7x+3 &=& 0 \\ x^2-5x+4 &=& 0 \end{eqnarray}

Resolvendo essa última equação, que é do segundo grau, usando soma e produto, vamos ter como soluções $x_1 = 4$ e $x_2 = 1$. Vamos verificar se, de fato, esses valores que encontramos são soluções da equação original. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} - x &=& 1 \\ \sqrt{7 \cdot 4-3} - 4  &=& 1 \\ \sqrt{28-3}-4 &=& 1 \\ \sqrt{25}-4 &=& 1 \\ 5-4 &=& 1 \\ 1 &=& 1   \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} - x &=& 1 \\ \sqrt{7 \cdot 1-3} - 1  &=& 1 \\ \sqrt{7-3}-1 &=& 1 \\ \sqrt{4}-1 &=& 1 \\ 2-1 &=& 1 \\ 1 &=& 1   \end{eqnarray}

Portanto, as soluções dessa equação são $4$ e $1$.

3. Resolva a equação $\sqrt{1-2x} = 2x+1$.

Solução: Nessa equação temos somente uma raiz quadrada no primeiro membro. Desse modo, podemos elevar ao quadrado os dois membros da equação. Fazendo isso, obtemos:

\begin{eqnarray} \sqrt{1-2x} &=& 2x+1 \\ (\sqrt{1-2x})^2 &=& (2x+1)^2 \\ 1-2x &=& 4x^2+4x+2 \\ 4x^2+4x+1+2x-1 &=& 0 \\ 4x^2+6x &=& 0 \end{eqnarray}

Essa equação do segundo grau que obtivemos pode ser resolvida colocando o $x$ em evidência, isto é, 

\begin{eqnarray} 4x^2+6x &=& 0 \\ x(4x+6) &=& 0 \end{eqnarray}

Assim, $x = 0$ é uma solução dessa equação e a outra é

\begin{eqnarray} 4x+6 & =& 0 \\ 4x &=& -6 \\ x &=& \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

Vamos verificar se esses valores de $x$ são soluções da equação original. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt{1-2x} &=& 2x+1 \\ \sqrt{1-2 \cdot 0} &=& 2 \cdot 0+1 \\ \sqrt{1} &=& 1\\ 1 &=& 1  \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} \sqrt{1-2x} &=& 2x+1 \\ \sqrt{1-2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} &=& 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+1 \\ \sqrt{1+3} &=& -3+1 \\ \sqrt{4} &=& -2 \\ 2 &=& -2  \end{eqnarray}

Observe que a última igualdade não é verdadeira, por isso, $x = -\displaystyle\frac{3}{2}$ não é solução da equação, somente $x=0$ é. Portanto, a solução da equação é $x=0$.

No exemplo anterior podemos perceber por que devemos sempre verificar se os valores que encontramos para $x$ são de fato soluções da equação. Isso ocorre pois quando elevamos ao quadrado (ou a qualquer outra potência par) os dois lados de uma equação, não obtemos uma equação equivalente (que possui exatamente as mesmas soluções), obtemos uma equação, para a qual, a soluçao da equação original também é solução, mas podendo haver outras soluções. Então lembre-se sempre de testar os valores que você encontrou para a incógnita na equação original.

Obervação: Pode acontecer de uma equação irracional não ter soluções. Isso pode ocorrer por dois motivos, os valores de $x$ encontrados não satisfazem a equação original ou, quando se eleva os dois membros da equação a alguma potência, a equação resultante não possui solução.

4. Resolva a equação $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{x-3}$.

Solução: Nessa equação temos uma raiz no primeiro membro e outra no segundo membro. Quando isso ocorre, uma das formas de resolver é deixar as raízes em um dos membros da equação. Deixando as raízes no primeiro membro, vamos ter:

\begin{eqnarray}\sqrt{x} - \sqrt{x-3} &=& 1 \\ \sqrt{x} - \sqrt{x-3} &=& 1   \end{eqnarray}

Agora, vamos elevar os dois lados da úlima equação ao quadrado. Temos

\begin{eqnarray}\sqrt{x} &=& 1 + \sqrt{x-3} \\ (\sqrt{x} - \sqrt{x-3})^2 &=& 1^2 \\ x-2\sqrt{x}\sqrt{x-3}+x-3 &=& 1 \\ -2\sqrt{x}\sqrt{x-3}+2x-3 &=& 1 \\ -2\sqrt{x}\sqrt{x-3} &=& 1-2x+3 \\ -2\sqrt{x}\sqrt{x-3} &=&-2x+4 \\ \sqrt{x}\sqrt{x-3} &=& x-2   \end{eqnarray}

Observe que ainda temos raízes na equação e elas estão no primeiro membro. Por esse motivo, vamos elevar ao quadrado os dois membros da equação mais uma vez. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt{x}\sqrt{x-3} &=& x-2 \\ (\sqrt{x}\sqrt{x-3})^2 &=& (x-2)^2 \\ x(x-3) &=& x^2-4x+4 \\ x^2-3x &=& x^2-4x+4 \\ x^2-3x-x^2+4x-4 &=& 0 \\ x-4 &=& 0 \\ x &=& 4   \end{eqnarray}

Chegamos em $x=4$. Vamos verificar se esse valor de $x$ de fato é solução da equação. Temos:

\begin{eqnarray}\sqrt{x} &=& 1 + \sqrt{x-3} \\ \sqrt{4} &=& 1+\sqrt{4-3} \\ 2 &=& \sqrt{1} +1 \\ 2 &=& 1+1 \\ 2 &=& 2    \end{eqnarray}

Portanto $x=2$ é solução da equação.

Outra forma de resolver essa equação é a seguinte, deixar uma das raízes em cada membro mesmo. Assim, vamos ter:

\begin{eqnarray} \sqrt{x} &=& 1 + \sqrt{x-3} \\ (\sqrt{x})^2 &=& (1 + \sqrt{x-3})^2 \\ x &=& 1 + 2\sqrt{x-3}+x-3 \\ x-x+3-1 &=& 2\sqrt{x-3} \\ 2 &=& 2\sqrt{x-3} \\ 1 &=& \sqrt{x-3} \\ 1^2 &=& (\sqrt{x-3})^2 \\ 1 &=& x-3 \\ 1+3 &=& x \\ x &=& 4   \end{eqnarray}

Nesse último exemplo vemos que podemos elevar ao quadrado os membros de uma equação irrocional mais de uma vez, se necessário, para resolvê-la.

Uma equação racional pode ter raízes de outros índices como veremos no próximo exemplo.

5. Resolva a equação $\sqrt[3]{x^2+4} = x$.

Solução: Nesse exemplo, em um dos membros da equação temos uma raiz cúbica. Assim, para eliminar essa raiz precisamos elevar os dois membros da equação ao cubo. Fazendo isso, temos:

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x^2+4} &=& x \\ (\sqrt[3]{x^2+4})^3 &=& x^3 \\ x^2+4 &=& x^3 \\ x^3-x^2-4 &=& 0 \end{eqnarray}

Temos agora uma equação do terceiro grau para resolver. Usando o Teorema das Raízes Racionais (veja mais detalhes sobre esse teorema aqui), temos que as possíveis raízes racionais dessa equação são $\pm 1$, $\pm 2$ e $\pm 4$. Testando essas possibilidades, vamos obter que $x=2$ é a única solução da equação do terceiro grau. Vamos verificar se essa é também a solução da equação original. Temos:

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x^2+4} &=& \sqrt[3]{2^2+4} &=& 2 \\ \sqrt[3]{4+4} &=& 2 \\ \sqrt[3]{8} &=& 2 \\ 2 &=& 2  \end{eqnarray}

Portanto, a solução da equação é $x=2$.

Observação: Quando elevamos os dois membros de uma equaçao a uma potência ímpar, não é necessário fazer a verificação dos valores encontrados para a incógnita. Mas, mesmo assim é bom fazer a verificação para ter a certeza de que todos os passos dos cálculos foram feitos corretamente.

O próximo exemplo será de como resolver uma equação irracional com raízes de índices diferentes. Não o farei completamente, mas apresentarei o primeiro passo para a solução, o que é o mais importante.

6. Resolva a equação $\sqrt{2x} = \sqrt[3]{x+6}$.

Solução: Uma equação dessa forma, com raízes de mesmo índice em um mesmo membro da equação, pode ser resolvida elevando os dois membros da equação ao mmc dos índices das raízes. Os índices das raízes são $2$ e $3$, assim, vamos elevar os dois membros da equação  a $6$, pois mmc$(2,3) = 6$. Temos,

\begin{eqnarray} \sqrt{2x} &=& \sqrt[3]{x+6} \\ (\sqrt{2x})^6 &=& (\sqrt[3]{x+6})^6 \\ (2x)^3 &=& (x+6)^2 \\ 8x^3 &=& x^2+12x+36 \\ 8x^3-x^2-12x-36 &=& 0 \end{eqnarray}

Agora, precisamos resolver a equação $8x^3-x^2-12x-36=0$. Para resolver essa equação, pode ser utilizado o Teorema da Raízes Racionais. Isso vai ficar como exercício para você que está lendo essa postagem. Para você conferir, a solução da equação é $x=2$.

Exemplo em vídeo:

Com essas estratégias você vai conseguir resolver muitas equações irracionais.

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

 

Leia mais

Equações Algébricas #3: Equações racionais

Nessa postagem vamos avançar um pouco mais no estudo das equações algébricas, vamos estudar as equações racionais. Para resolver uma equação racional é necessário saber como resolver uma equação polinomial, então, se você não está familiarizado com as equações polinomiais, sugiro que veja a postagem anterior onde eu apresentei as fórmulas e métodos mais utilizados para resolver uma equação polinomial. As equações racionais aparecem com muita frequência na matemática, assim, saber como resolvê-las é muito importante. Nessa postagem vamos lembrar o que é uma equação racional, vamos ver como "organizá-las" para que possam ser resolvidas e veremos também que resolver uma equação racional é quase como resolver um equação polinomial, com apenas um detalhe importante. Vamos lá!

Equações racionais

Primeiramente, vamos nos lembrar do que é uma equação racional.

Sejam $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios. Uma equação na forma 

$$\frac{p(x)}{q(x)} = 0$$

é chamada equação racional (é o quociente de dois polinômios igual a $0$).

A definição é bem simples mesmo. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $\displaystyle\frac{x+1}{x^2-2} = 0$

2. $\displaystyle\frac{x^3-\sqrt{2}x^2+3x-10}{x+1} = 0$

3. $\displaystyle\frac{x^5-8}{x^3+x^2-\frac{1}{2}} = 0$

É bem fácil identificar as equações dos exemplos anteriores como equações racionais, basta notarmos que elas são formadas pelo quociente de dois polinômios igual à zero. Porém elas nem sempre aparecem dessa forma organizada. A seguir estão exemplo de equações racionais que não estão na forma da definição.

4. $\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x+1}{x^2} = 0$

5. $\displaystyle\frac{x^2+3}{x-1}+x^3-x-1 = 0$

6. $\displaystyle\frac{-2x^5+x^3-9}{x^3+1}-\displaystyle\frac{x^2+x}{x^4-8} +1 = x - \displaystyle\frac{1}{x}$

Mesmo com elas "desorganizadas" não é difícil ver que são equações racionais. Para saber se uma equação é racional basta você verificar os termos dela, tanto no primeiro como no segundo membro. Se esses termos são polinômios ou quocintes de polinômios, então a equação é racional. Observe o exemplo 6, no primeiro membro temos um termo que é um quociente de polinômios, do qual é subtraído outro termo que é também um quociente de polinômios, ao qual é adicionado o polinômio constante igual a 1 e, no segundo membro, temos o polinômio $x$ adicionado a um quociente de polinômios. Isso ocorre pois a adição e a subtração (também a multiplicação) de polinômios e quocientes com polinômios sempre resulta em quocientes com polinômios.

Como resolver uma equação racional

Considere a equação racional $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$, onde os polinômios estão escritos na forma padrão. Um quociente qualquer é igual a zero se, e somente se, quem estiver em cima for igual a zero e o de baixo for diferente de zero. Desse modo, para determinarmos as soluções da equação racional $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ devemos determinar as soluções da equação polinomial $p(x) = 0$. O problema de resolver uma equação racional acaba se tornando quase um problema de resolver uma equação polinomial, que já sabemos como resolver. Por eu disse "quase"? Eu disse quase por que não basta simplesmente resolver a equação $p(x) = 0$. Após resolver a equação $p(x) = 0$ e encontrar suas soluções é necessário verificar quais delas são raízes do polinômio $q(x) $. Devemos fazer isso por que estamos procurando as soluções da equação $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ e, se $a$ for solução de $p(x) = 0$ e raiz de $q(x)$, vamos ter $\displaystyle\frac{p(a)}{g(a)} = \displaystyle\frac{0}{0}$ o que é uma indeterminação, logo $a$ não é solução da equação $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$. Portanto, as soluções da equação $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ são as soluções de $p(x) = 0$ que não são soluções de $q(x) = 0$.

Se a equação racional não estiver na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$, onde os polinômios estão escritos na forma padrão, precisamos primeiramente colocá-la nessa forma, pois asim será mais fácil de resolvê-la aplicando o processo que vimos acima.

Para reescrever uma equação racional na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$, onde os polinômios estão escritos na forma padrão é necessário conhecer bem as propriedades da igualdade, as propriedades operacionais (soma e multiplicação), as propriedades da potenciação e também saber o que são termos semelhantes. Esses tópicos foram abordados na postagem anterior que você pode ler clicando aqui.

Outra coisa que você precisa saber e que é fundamental aqui é como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com polinômios (ou qualquer espressão algébrica). Vamos lembrar de como fazer isso.

Sejam $u$, $v$, $w$ e $t$ polinômios (expressões algébricas). Definimos,

\begin{equation} \frac{u}{v} \pm \frac{w}{t} = \frac{ut \pm vw}{vt}; \end{equation}

\begin{equation} \frac{u}{v} \cdot \frac{w}{t} = \frac{uw}{vt};\end{equation}

\begin{equation} \frac{\frac{u}{v}}{\frac{w}{t}} = \frac{u}{v} \cdot \frac{t}{w} = \frac{ut}{vw} \end{equation}

Agora que sabemos como resolver uma expressão racional e também relembramos o que precisamos saber para fazer isso, vamos aos exemplos.

Exemplos:

1. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x^2-1}{x^3-1} = 0$.

Solução: Essa equação já está forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão. Assim, basta calcularmos as soluções da equação polinomial $x^2-1 = 0$ e verificar qual delas são soluções de $x^3-1=0$ para descartá-las. 

É fácil ver que as soluções de $x^2-1 = 0$ são $-1$ e $1$. Agora, notemos que $(-1)^3-1=-1-1=-2$ e que $1^3-1=1-1=0$. Portanto a solução da equação $\displaystyle\frac{x^2-1}{x^3-1}=0$ é $x = -1$.

2. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x^3-5x^2+6x}{x^2-9} = 0$.

Solução: Essa equação também está na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão. Logo, devemos calcular as soluções da equação $x^3-5x^2+6x=0$ e verificar qual delas também são soluções de $x^2-9=0$. Temos que 

$$x^3-5x^2+6x=0 \Rightarrow x(x^2-5x+6)=0.$$

Assim, temos que $x=0$ é uma solução dessa equação. Resta calcular as soluções de $x^2-5x+6=0$. Usando soma e produto, as soluções dessa equação são $2$ e $3$. Logo, as soluções de $x^3-5x^2+6x=0$ são $0$, $2$, $3$. Agora vamos verificar quais dessas soluções são também soluções de $x^2-9=0$. Temos

$$0^2-9=-9, \; 2^2-9=5 \mbox{ e } 3^2-9=0.$$

Desse modo, somente o $3$ também é solução de $x^2-9=0$. Portanto, as soluções da equação $\displaystyle\frac{x^3-5x^2+6x}{x^2-9} = 0$ são $0$ e $2$.

3. Resolva a equação $\displaystyle\frac{2x-4}{x^4-2} = 0$.

Solução: Vamos resolver esse exemplo da mesma forma que fizemos os anteriores. Temos

\begin{eqnarray} 2x-4 &=& 0 \\ 2x &=& 4 \\ x &=& \frac{4}{2} = 2 \end{eqnarray}

Logo, $2$ é solução da equação $2x-4=0$. Verificando se ele também é solução da equação que está embaixo, temos $2^4-2=16-2=14 \neq 0$. Logo, $2$ é solução da equação  $\displaystyle\frac{2x-4}{x^4-2} = 0$.

4. Resolva a equação $\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{x-2} = 0$.

Solução: Essa equação não está na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão. Para resolvê-la, precisamos deixá-la nessa forma e, para fazer isso, basta somarmos os dois quocientes que estão no primeiro membro. Vamos somá-los conforme da definição de soma de quocientes que vimos acima. Assim, temos:

 \begin{eqnarray} \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{x-2} &=& 0 \\ \displaystyle\frac{x-2+xx}{x(x-2)} &=& 0 \\ \displaystyle\frac{x^2+x-2}{x^2-2x} &=& 0. \end{eqnarray}

Agora temos uma equação na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão e, para continuar a resolução, basta seguir o que foi feito nos exemplos anteriores, isto é, vamos calcular as soluções da equação $x^2+x-2=0$ e verificar qual delas é solução também da equação $x^2-2x=0$. Usando soma e produto, as soluções da equação $x^2+x-2=0$ são $-2$ e $1$. Agora, notemos que, $(-2)^2-2(-2) = 4+4=8 \neq 0$ e $1^2-2 \cdot 1 = 1-2=-1 \neq 0$. Portanto as soluções da equação $\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{x-2} = 0$ são $-2$ e $1$.

5. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}-x = \displaystyle\frac{1}{x}$.

Solução: Antes de procurarmos por uma solução dessa equação, devemos escrevê-la na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão.Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{x^2}{x+1}-x &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{x^2-x(x+1)}{x+1} &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{x^2-x^2-x}{x+1} &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{-x}{x+1} &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{-x}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{x} &=& 0 \\ \frac{-xx-(x+1)}{(x+1)x} &=& 0 \\ \frac{-x^2-x-1}{x^2+x} &=& 0   \end{eqnarray}

Com a equação nessa forma, podemos resolvê-la. Calculando o $\Delta$ na equação $-x^2-x-1=0$ vamos ter

$$\Delta = (-1)^2-4(-1)(-1) = 1-4=-3$$

Logo, essa equação não possui solução. Portanto, como essa equação não possui solução, a equação $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}-x = \displaystyle\frac{1}{x}$ também não possui solução.

6. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x}{x+1} = \displaystyle\frac{x^2}{2}$.

Solução: Quando vimos uma equação igual a esta do enunciado, podemos ter a ideia de múltiplicar cruzado. Sim, isso pode ser feito. Multiplicando cruzado a equação do enunciado, temos:

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{x}{x+1} &=& \displaystyle\frac{x^2}{2} \\ 2x &=& x^2(x+1) \\ 2x &=& x^3+x^2 \\  x^3+x^2-2x &=& 0 \end{eqnarray}

Reescrevemos a equação do enunciado como a equação polinomial $x^3+x^2-2x = 0$. Esta última equação pode ser reescrita na forma, colocando o $x$ em evidência:

$$x(x^2+x-2)=0.$$

Isso nos dá que $x=0$ é uma solução da equação. Usando soma e produto na equação $x^2+x-2 = 0$ obtemos mais duas soluções, $-2$ e $1$. Portanto as solução da equação polinomial $x^3+x^2-2x = 0$ são $-2$, $0$ e $1$. Agora, será que essas soluções também são soluções da equação $\displaystyle\frac{x}{x+1} = \displaystyle\frac{x^2}{2}$? Para responder a essa pergunta é preciso verificar se os polinômios que estão na parte de baixo dos quocientes presentes na equação não se anulam nesses número (ou seja, se esses números não são raízes). Fazendo essa verificação para o polinômio $x+1$, o único que está na parte de baixo de um quociente, temos:

$$-2+1 =-1 \neq 0, \; 0+1=1 \neq 0 \mbox { e } 1 +1 = 2 \neq 0.$$

Logo, nenhuma das soluções do poliômio  $x^3+x^2-2x = 0$ anula o polinômio $x+1$. Portanto $-2$, $0$ e $1$ são soluções da equação  $\displaystyle\frac{x}{x+1} = \displaystyle\frac{x^2}{2}$.

Resumo da postagem em vídeo:

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Leia mais