Expressões Numéricas #2: Expressões com parênteses, colchetes ou chaves

Chegamos à segunda postagem sobre expressões numéricas. Na postagem anterior aprendemos como se calcula uma expressão numérica sem parênteses, colchetes e chaves. Vimos a ordem na qual as operações devem ser feitas de modo a calcular a expressão corretamente. Mas, por que algumas expressões numéricas contém parênteses, colchetes ou chaves? Esses símbolos são usados quando é necessário dar prioridade à algumas operações, eles indicam o que deve ser feito por primeiro, por segundo, etc., em uma expressão numérica. Por exemplo, vimos na postagem anterior que, na expressão numérica $3 \times 2 +5$, a multiplicação deve ser feita antes da adição, porém, se quisermos fazer a adição primeiro, devemos usar os parênteses para indicar isso da seguinte forma $3 \times (2+5)$. Esse é um exemplo bem simples. Veremos mais detalhes a seguir.  

Expressões com parênteses, colchetes ou chaves

Esses são alguns exemplos de expressões que contêm parênteses, colchetes ou chaves.

1. $2+3 \times (5-1)$

2. $5+2 \times [3^2-10 \div (1+4)]$

3. $\sqrt{3}- 10 \times \{5 + \sqrt{2} \times [(3+5)^3 - 3 \times(3-9)]\}$

4. $2 - 5 \times(\sqrt[3]{31} - (3 + 2) \times (1 + 5^2\div(11-1)))$

Por onde começar a resolver expressões como as do exemplo acima?  Já vi muitas regras sobre como resolver expressões numéricas como as do exemplo acima, mas eu digo que há somente uma, que é a seguinte:

A expressão deve ser resolvida de dentro para fora, independentemente de quais símbolos são usados, parênteses, colchetes, ou chaves.

Agora vem outra pergunta: o que significa resolver uma expressão de dentro para fora? Quando uma expressão numérica contêm parênteses, colchetes ou chaves, eventualmente, podemos ter parênteses dentro de parênteses, parênteses dentro de chaves, chaves dentro de chaves, colchetes dentro de chaves, etc. (como nos exemplos acima). Resolver de dentro para fora significa começar a resolver o que está mais a dentro da expressão, independentemente de qual símbolo seja. Outro fato importante, é um mito que o que está entre parênteses deve ser feito primeiro, o que está entre colchetes por segundo e o que está entre chaves deve ser feito por último. É muito comum, em livros do ensino superior, expressões que são escritas somente com parênteses, uns dentro dos outros. Por isso reafirmo, o modo correto de se resolver uma expressão numérica é resolvendo de dentro para fora, independentemente de quais símbolos (parênteses, colchetes ou chaves) estejam na expressão. 

Para que esse modo de resolver fique claro, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos

1. Resolva a seguinte expressão $3+4 \times (3+1)$.

Solução: Na expressão do enunciado temos somente uma expressão dentro dos parênteses e, dentro deles, não há outros parênteses, não há outros colchetes e nem chaves. Então, nessa situação, basta resolver o que está entre parênteses primeiro e depois continuar o cálculo usando a ordem das operações que vimos na postagem anterior.

\begin{eqnarray*} 3+4 \times (3+1) &=& 3+4 \times 4 \\ &=& 3+16 = 19 \end{eqnarray*}

Essa expressão poderia estar escrita nessas formas $3+4 \times [3+1]$ ou $3+4 \times \{3+1\}$ que não estaria errado. 

2. Resolva a seguinte expressão $3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4)$.

Solução: Nessa expressão os parênteses aparecem duas vezes. Observe que, mesmo aparecendo duas vezes, eles não estão um dentro do outro. Quando esse tipo de coisa ocorre numa expressão, ou seja, vários parênteses (colchetes ou chaves) sem que estejam um dento do outro, resolvemos os parênteses (colchetes ou chaves) primeiro, ao mesmo tempo, se preferir.

\begin{eqnarray*}3^2 +10 \div (2+3) - 3 \times (-2-4) &=& 3^2 + 10 \div 5 - 3 \times (-6) \\ &=& 3^2 + 2 + 18 \\ &=& 9 + 2 + 18 \\ &=& 11 + 18 = 29 \end{eqnarray*}

Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.

3. Calcule o valor da expressão $\sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3)$.

Solução: Nessa expressão ocorre a mesma coisa que ocorre no exemplo anterior. Para resolvê-la usamos o mesmo processo usado anteriormente.

\begin{eqnarray*} \sqrt{81} \cdot (4-2) - 10 \div (2 + 3) &=& \sqrt{81} \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 9 \cdot 2 - 10 \div 5 \\ &=& 18-2 = 16  \end{eqnarray*}

Nessa expressão, no lugar dos parênteses, poderia ter colchetes ou chaves.

4. Resolva a expressão $3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14$.

Solução: Essa expressão está no mesmo caso dos exemplos anteriores.

\begin{eqnarray*} 3 \times (5 \div 2) + (3 + 4) \times 14 &=& 3 \times 2,5 + 7 \div 14 \\ &=& 7,5 + 0,5 = 8  \end{eqnarray*} 

Vamos passar para exemplos um pouco mais complicados.

5. Calcule o valor da seguinte expressão $3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)]$.

Solução: Observe que nessa expressão há colchetes e parênteses onde os parênteses aparecem dentro dos colchetes. Assim, vamos resolver a expressão de dentro para fora, primeiro calculando os parênteses e depois os colchetes.

\begin{eqnarray*} 3^2 + 2 \times [1 + 28 \div (2 + 12)] &=& 3^2 + 2 \times [1+28 \div 14]  \\ &=& 3^2 + 2 \times [1+2] \\ &=& 3^2 + 2 \times 3 \\ &=& 9 + 6 = 15 \end{eqnarray*}

Essa expressão poderia estar escrita na forma $3^2 + 2 \times (1 + 28 \div (2 + 12))$. Não estaria errado e a forma de resolver seria a mesma, de dentro para fora.

6. Calcule o valor da expressão $(1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]$.

Solução: Note que nessa expressão temos parênteses e colchetes. Temos duas expressões entre parênteses e uma delas está entre colchetes. Lembre-se, comece a resolver de dentro para fora, calcule primeiro a expressão nos parênteses que estão dentro dos colchetes, aí depois você pode resolver o que vai ficar entre colchetes e o que está entre parênteses do lado de fora dos colchetes.

.\begin{eqnarray*} (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (4-5)]  &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1 + 2^2 + 3 \times (-1)] \\ &=&  (1-2) \times 3 + 4 \div [1+2^2 -3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4 \div [1+ 4 - 3] \\ &=& (1-2) \times 3 + 4\div[5 - 3] \\ &=& (-1) \times 3 + 4 \div 2 \\ &=& -3 + 2 = -1   \end{eqnarray*}

7. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot[\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)]$.

Solução: Nessa expressão temos duas expressões entre colchetes e dentro dos colchetes temos parênteses. Vamos usar o mesmo raciocínio que temos usado, vamos fazer as contas de dentro para fora, isto é, vamos fazer o que está entre parênteses e depois o que estiver nos colchetes.

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (5-3)] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot (2+4)] &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [\sqrt{16} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [3^2 + 2 \cdot 6] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2] + 3 \cdot [9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot [4 + 1]  +  3 \cdot[9 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{2}{3} \div 2 - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 21 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{3} - 10 + 63 \\ &=& - \displaystyle\frac{29}{3} + 63 = \displaystyle\frac{160}{3}  \end{eqnarray*}

8. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times \left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right]$.

Solução: Vamos identificar quais são os parênteses, colchetes ou chaves que estão mais "à dentro" e começamos a resolver a expressão por eles.

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times\left[3 + \sqrt[3]{27} \div\left (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\right]\right] &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27} \div 1]\right] \\ &=&  \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + \sqrt[3]{27}]\right] \\  &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times \left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times[3 + 3]\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times\left[4 \div \displaystyle\frac{1}{2} + 2 \times 6\right] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times [8 + 12] \\ &=& \displaystyle\frac{3}{4} \times 20 = 15      \end{eqnarray*}

9. Calcule o valor da expressão $-2 \times (5+3 \times (1+2))-\displaystyle\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1$.

Solução: Começando sempre de dentro para fora.

\begin{eqnarray*} -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ \sqrt{4}) - 8)+ 2^4)-1 &=& -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times ( 5+ 2) - 8)+ 2^4)-1 \\ &=&  -2 \times (5+3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((2 \times 7 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+ 3 \times (1+2))-\frac{1}{2} \times ((14 - 8)+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+3 \times 3)-\frac{1}{2} \times (6+ 2^4)-1 \\ &=& -2 \times (5+9)-\frac{1}{2} \times (6+ 16)-1 \\ &=& -2 \times 14 -\frac{1}{2} \times 22-1\\ &=& -28 -11-1 \\&=& -39 -1 = -40 \end{eqnarray*}

10. Calcule o valor da expressão $2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\}$.

Solução:

\begin{eqnarray*}2 \cdot\{[(1+4) \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot (3+2)]\} &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\ &=& 2 \cdot\{[5 \times 2 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\}  \\ &=& 2 \cdot\{[10 -1] -2^2 + 10 \div[3 \cdot 5]\} \\&=&  2 \cdot\{9 -2^2 + 10 \div 15\} \\&=& 2 \cdot\left\{9 -2^2 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{9 - 4 + \frac{2}{3}\right\} \\ &=& 2 \cdot\left\{5 + \frac{2}{3}\right\}  \\ &=& 2 \cdot \frac{17}{3} = \frac{34}{3}    \end{eqnarray*}

O que ainda pode aparecer em expressões numéricas são expressões dentro de potências e dentro de radicais. Vamos ver alguns exemplos onde isso ocorre.

11. Calcule o valor da expressão $2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3$.

Solução: Nessa expressão há uma expressão entre parênteses elevada a uma potência. Em expressões desse tipo, basta resolver os parênteses primeiro e depois calcular a potência.

\begin{eqnarray} 2 + 2 \times 5 - (2-1 + 7)^3 &=& 2 + 2 \times 5 - (1+7)^3 \\ &=& 2 + 2 \times 5 - 8^3 \\ &=& 2 + 10 - 512 \\ &=&12 -512 = 500 \end{eqnarray}

12. Calcule o valor da expressão $(2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2$.

Solução: Nesse exemplo temos uma expressão entre parênteses que está elevada a uma potência. O método de resolução aqui é o mesmo, resolver de dentro para fora. Resolvemos primeiro a expressão que está dentro da potência e depois resolvemos a potência.

\begin{eqnarray} (2+3\div 9 + 4 \times \sqrt{16})^2 &=& (2+3\div 9 + 4 \times 4)^2 \\ &=&\left(2+\frac{1}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{7}{3} + 16\right)^2 \\ &=& \left(\frac{55}{3} \right)^2 = \frac{3025}{3}  \end{eqnarray}

13. Resolva a expressão $1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3$

Solução: Basta resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray}1- [2 + 3 \times (1 + 5)^2 - 8 \div 2]^3 &=& 1- [2 + 3 \times 6^2 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 3 \times 36 - 8 \div 2]^3 \\ &=& 1- [2 + 108 - 4]^3 \\ &=& 1- [110 - 4]^3 \\ &=& 1 - [106]^3 \\ &=& 1 - 1191016 = -1191015   \end{eqnarray}

14. Calcule o valor da expressão $(2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5$.

Solução: Basta resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times [3-2]^2)^5 &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1^2)^5 \\ &=& (2 + 3 \times 4)^2 - (2 \times 1)^5 \\ &=& (2 + 12)^2 - 2^5 \\ &=& 14^2 - 2^5 \\ &=& 196 - 32 = 164    \end{eqnarray}

15. Calcule o valor da expressão $3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2})$.

Solução: Quando uma expressão possui um radical e dentro desse radical há uma outra expressão, como é o caso desse exemplo, o radical funciona como se fosse parênteses (colchete ou chaves) e podemos colocá-lo na ordem de resolução da expressão usando o mesmo princípio que temos usado em todos os exemplos, resolvendo sempre de dentro para fora.

\begin{eqnarray} 3 \times (2 \div \sqrt{2 \times 3 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{6 - 2}) &=& 3 \times (2 \div \sqrt{4}) \\ &=& 3 \times (2 \div 2) \\ &=&  3 \times 1 =  3   \end{eqnarray}

16. Resolva a expressão $\sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right)$.

Solução: Vamos resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} \sqrt{2+ 10 \div 5} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 2^0}\right]\right) &=& \sqrt{2+2} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5 \times 1}\right]\right) \\ &=& \sqrt{4} - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{130 - 5}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + \sqrt[3]{125}\right]\right) \\ &=& 2 - 4 \times \left(2 + 18 \div \left[4 + 5 \right]\right) \\ &=&  2 - 4 \times (2 + 18 \div 9) \\ &=& 2 - 4 \times (2 + 2) \\ &=& 2-4 \times 4 \\ &=& 2-16 = -14 \end{eqnarray}

Podemos ter também expressões dentro de radicais que, por sua vez estão dentro de potências e vice-versa.

17. Calcule o valor da expressão $2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33}$.

Solução: Não é exagero sempre lembrar: vamos resolver de dentro para fora:

\begin{eqnarray} 2 + 24 \div (3+5) + \sqrt{(3+ 2 \times 7)^2 - 33} &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33}\\ &=& 2 + 24 \div 8 + \sqrt{(3+ 14 )^2 - 33} \\ &=& 2+3 + \sqrt{17^2 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{289 - 33} \\ &=& 5 + \sqrt{256} \\ &=& 5 + 16 = 21    \end{eqnarray}

18. Calcule o valor da expressão $3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4 } + 1\right]\right\}$.

Solução: 

\begin{eqnarray} 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-2^2)^4}+1\right]\right\} &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times(5-4)^4}+ 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1^4} + 1\right]\right\} \\ &=&  3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22 \times 1} +1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{5+ 22} + 1\right]\right\}  \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[\sqrt[3]{27} + 1\right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times\left[3 + 1 \right]\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 4 \times 4\right\} \\ &=& 3 \times \left\{2 - 16 \right\} \\ &=& 3 \times \{-14\} =  -42   \end{eqnarray}

Agora, depois de ver como se resolve um expressão numérica com parênteses, colchetes ou chaves, sugiro que você faça bastante exercícios de cálculo de expressões para praticar.

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Leia mais

Expressões Numéricas #1 - Expressões sem parênteses, colchetes e chaves

As expressões numéricas estão presentes em todas as áreas da matemática. Em qualquer problema de matemática, principalmente os aplicados, há contas para se fazer, desde as mais simples, como calcular um troco após comprar pães numa padaria, até os mais complicados, como construir um prédio como o Burj Khalifa. Diante disso fica clara a importância das expressões numéricas, elas estão presentes em quase tudo o que o ser humano faz. Por isso, a seguir, veremos detalhadamente a definição de uma expressão numérica e como calculá-las. Vamos lá!

O que é uma expressão numérica?

Definição: Uma expressão numérica é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números.

A multiplicação pode ser denotada pelos símbolos $\times$ e $\cdot$. Em algumas casos, para simplificação, o símbolo de multiplicação é omitido. Também, além o símbolo $\div$ usado para a operação de divisão, podemos usar as frações $\displaystyle\frac{a}{b}$ para dizer que $a$ está sendo divido por $b$. Para compreendermos melhor a definição de expressão numérica,  vejamos alguns exemplos de expressões numéricas:

1. $2+3$

2. $5-\displaystyle\frac{1}{2}+8$

3. $5 \times 9 + 1 -10$

4. $3 \div 2 + \displaystyle\frac{8}{9}$ 

5. $5 \times 8 + 10 \div 2 - 8 + 2^2$

6. $ 5 \cdot 2 + 8 - 2 \cdot \sqrt{4} + 1 - 3^5$

7. $\sqrt{5} \times 2 + 3 \times (4+8)+2$ 

8. $3 \cdot (8+2) + 4^5 \div 2 + \sqrt[3]{8}$

9. $\sqrt{8+17} \times (3+1) - 10 \div 5 + (4+1) \div2 $

10. $3 \cdot[4 \cdot 21 \div (3+4)] + 32 \div 2^4$

11. $10 + 8 \cdot \{3+5^2 \div 5-[3+8\cdot(\sqrt{4}+2)]\}$

12. $10 \div (3-2(1+6\div2 - (1+6) \cdot 4^2))$

13. $1+ \displaystyle\frac{2+ 4(\sqrt{49}-1)}{8} \cdot [1+3\cdot(3+5^2)]$

14. $(-1)^3 + 2 \cdot (4 \div (7+1)) - \displaystyle\frac{2+\sqrt{5}\cdot (4+1)^3}{\sqrt[3]{27}-4^2}$

Como você pode perceber pelos exemplos acima, podemos construir várias expressões numéricas, menores, maiores, mais simples ou mais complicadas. Bom, a pergunta que surge agora é: Como calcular essas expressões numéricas? Para responder a essa pergunta, vamos separar e as expressões numéricas em dois tipos: as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves e as que possuem. Nessa postagem vamos aprender a resolver as expressões numéricas que não possuem parênteses, colchetes ou chaves. As que possuem parênteses, colchetes ou chaves ficarão para a próxima postagem, onde vamos explicar a função de cada objeto desse numa expressão numérica.  

Como calcular uma expressão numérica que não possui parênteses, colchetes ou chaves?

Quando olhamos expressões numéricas, assim como as do exemplo anterior, do 1 ao 6, é natural nos perguntarmos: Quais operações devem ser feitas primeiro? Vamos responder a essa pergunta analisando diferentes tipos de expressões, partindo das mais simples até as mais complicadas.

(a) Expressões somente com somas e subtrações

As expressões desse caso devem ser resolvidas na ordem em que as operações aparecem.

Exemplos

(i) $$3-4+5 = -1 + 5 = 4$$

(ii) \begin{eqnarray*} 4- \displaystyle\frac{2}{3} + 1 + 5 - 2 &=& \displaystyle\frac{10}{3} + 1 + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{3} + 5 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{28}{3} - 2 = \displaystyle\frac{22}{3} \end{eqnarray*}

Como está escrito acima, se você fizer as operações na expressão numérica na ordem em que elas aparecem, você não vai errar. Mas, se você quiser calcular as expressão numéricas mais rápido, você pode efetuar mais de uma operação de uma vez, mais precisamente, você pode fazer as operações aos pares. Isso pode ser feito devido à propriedade associativa dos números reais. Vejamos um exemplo:

(iii) \begin{eqnarray*} 2+1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 3 + 14 - 1 &=& 3 + \displaystyle\frac{7}{2} + 13 \\ &=& \displaystyle\frac{13}{2} + 13 = \displaystyle\frac{39}{2} \end{eqnarray*}

(b) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações e divisões

Quando, além da adição e da subtração, temos também em uma expressão numérica a multiplicação e a divisão, as operações de multiplicação e de divisão devem ser feitas primeiro. Depois de efetuá-las, sobrarão somente as operações de adição e de subtração, ou seja, vamos cair no caso anterior, assim, é só proceder da forma que vimos anteriormente. Vejamos alguns exemplos.

(i) $$3+ 2 \times 5 = 3 + 10 = 13$$

(ii) \begin{eqnarray*} 10 - \displaystyle\frac{1}{2} \times 2 + 1 + 5 \times 3 &=& 10 -1 + 1 + 5 \times 3 \\ &=& 10 -1 + 1 + 15 \\ &=& 10 + 15 = 25 \end{eqnarray*}

(iii) \begin{eqnarray*} 8-21 \div 3 +2 &=& 8 - 7+2 \\ &=& 1+2 = 3 \end{eqnarray*}

(iv) \begin{eqnarray*} 3 \div 2 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 = &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 100 \div 5 \\ &=& 1,5 +1 - \displaystyle\frac{1}{2} + 25 \\ &=& 2,5 - \displaystyle\frac{49}{2} \\ &=& 2,5 + 25,5 = 28 \end{eqnarray*}

(v) \begin{eqnarray*} 4+3\cdot 2 - 3 + 10 \div 2 - 1 &=& 4+6-3+10 \div 2-1 \\ &=& 4+6-3+5-1 \\ &=& 10+2 -1 \\ &=& 12 -1 =11 \end{eqnarray*}

Nos exemplos acima, a cada passo da resolução efetuamos uma divisão ou uma multiplicação. Quando multiplicações e divisões aparecem na mesma expressão, podemos calculá-las simultaneamente (desde que não sejam em sequência, exatamente).

(vi) \begin{eqnarray*} 64 \div 4 + 3 - 5 \times 2 &=& 16+3-10 \\ &=& 19-10 = 9  \end{eqnarray*}

(vii) \begin{eqnarray*} 15+2 \times 10 - 8 \div 2 - 3 \times 4 & =& 5 + 20 - 4 - 3 \\ &=& 25 - 7  = 18  \end{eqnarray*}

(viii) \begin{eqnarray*} 3+\displaystyle\frac{1}{2}+3 \times 2 - 70 \div 10 - 5 \div 2 &=& 3 + \displaystyle\frac{1}{2} + 6 - 7 - 2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 1 -2,5 \\ &=& \displaystyle\frac{7}{2} - 3,5 \\ &=& 3,5 - 3,5 = 0  \end{eqnarray*}

(c) Expressões numéricas com somas, subtrações, multiplicações, divisões, potências e raízes.

Quando incluímos potências e raízes nas expressões numéricas do caso anterior, as potências e as raízes devem ser resolvidas primeiro.

(i) \begin{eqnarray*} 3 +2^2-3 \times 2 - 8 \div 2 &=& 3+4- 3 \times 2 - 8 \div 2 \\ &=& 3+4-6-4 \\ &=& 7 - 10 = -3   \end{eqnarray*}

(ii) \begin{eqnarray*} \sqrt{25} - 2 \times 3 + 2 &=& 5-2\times3 + 2 \\ &=& 5-6+2 \\ &=& -1+2 = 1   \end{eqnarray*} 

Nos exemplos anteriores tivemos expressões numéricas ou com potências ou com raízes. Caso estejam as duas em uma expressão numérica, podemos fazê-las simultaneamente.

(iii) \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8} - 3^4 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} &=& 2 - 81 + 8 \div 2 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& 2 - 81 + 4 + \displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& -79 + \displaystyle\frac{21}{5} = -\displaystyle\frac{295}{4}   \end{eqnarray*} 

(iv) \begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{3}{2} + \sqrt{49} - 3 + 2^3 - 4^2 + 25 \div 5 &=& \displaystyle\frac{3}{2} + 7 -3 + 8 - 16 + 25 \div 5 \\  &=& \displaystyle\frac{3}{2} +7-3+8-16 +5 \\ &=& \displaystyle\frac{17}{2} + 5 -11 \\ &=& \displaystyle\frac{27}{2} - 11 = \displaystyle\frac{5}{2}\end{eqnarray*}

Ainda é possível fazer o seguinte, se numa expressão numérica estiver presentes multiplicações, divisões, potências e raízes, essas operações podem ser feitas simultaneamente (somente se elas não forem em sequência). A vantagem disso é que a resolução será mais curta.

(v) \begin{eqnarray*} 2+ 3^3 - 4 \times 2 + 10 \div 5 + \sqrt{9} &=& 2 + 27-2+2+3 \\ &=& 29 +3 =31\end{eqnarray*}

(d) Expressões onde aparecem multiplicações e divisões em sequência

Quando multiplicações e divisões aparecem em sequência numa expressão numérica, tais operações devem ser feitas na sequência em que aparecem, da esquerda para a direita. Vejamos alguns exemplos

(i) $$2 \times 6 \div 3 = 12 \div 3 = 4$$

(ii) $$5 \div 2 \times 3 = 2,5 \times 3 = 7,5$$

(iii) $$3 \times 3 \times 2 \div 9 = 9 \times 2 \div 9 = 18 \div 9 = 2$$

(iv) $$5 \times 3 \div 2 \div \displaystyle{1}{2} = 15 \div 2 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 7,5 \div \displaystyle\frac{1}{2} = 15$$

Multiplicações e divisões em sequência também podem aparecer juntamente com somas e subtrações. Se esse for o caso, essa sequência de multiplicações e divisões devem ser feitas primeiro.

(v) $$4+2 \times 3 \div 12 = 4 + 6 \div 12 = 4 + 0,5 = 4,5$$

(vi) $$2 \times 3 \times 5 \div 15 + 2 -10 = 6 \times 5 \div 15 + 2 - 1 = 30 \div 15 + 2 -1 = 2 +2 -1 = 4 -1 = 3$$

Podemos ter ainda, juntamente com as somas, subtrações, multiplicações e divisões em sequência, as potências e as raízes. Se isso acontece, faça as sequências de multiplicações e divisões primeiro, depois faça as potências e as raízes e, por fim, as somas e as subtrações.

(vii) $$2 + \sqrt{4} - 3 \times 4 \div 8 = 2 + \sqrt{4} - 12 \div 8 = 2 + \sqrt{4}-1,5 = 2 + 2 -1,5 = 4 - 1,5 = 2,5$$

(viii) \begin{eqnarray}  1 + 2^2 - 1 \div 2 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} &=& 1 + 2^2 - 0,5 \div 4 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 - 0,125 \times 10 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 2^2 -1,25 + \sqrt[3]{27} \\ &=& 1 + 4 -1,25 + 3 \\ &=& 5 + 1,75 = 6,75 \end{eqnarray} 

(e) Expressões onde aparecem multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência

Quando temos multiplicações, divisões, potências e raízes em sequência, nessas sequências devem ser feitas primeiro as potências e as raízes e depois se calcula a sequência de multiplicações e divisões que restarem.

(i) $$5 \times 2^3 \div 8 = 5 \times 8 \div 8 = 40 \div 8 = 5$$

(ii) $$\sqrt{49} \div 2 \times 4 = 7 \div 2 \times 4 = 3,5 \times 4 = 14$$

(iii) $$3 \times 4^2 \div 8 \times \sqrt{4} = 3 \times 16 \div 8 \times 2 = 48 \div 8 \times 2 = 6 \times 2 = 12$$

Juntamente com esse tipo de sequência de operações, podem aparecer somas, subtrações, potências e raízes. Se isso ocorre, faças as sequências de multiplicações e divisões, possuindo potências e\ou raízes ou não, depois resolvas as potências e as raízes, em seguida faça as multiplicações e as divisões e, por fim faça as somas e as subtrações.

(iv) \begin{eqnarray*} 2 + 2 \times 3^4 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} &=& 2 + 2 \times 81 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - \sqrt{100} \\ &=& 2 + 162 \div 4 + 2 \div 10 - 10 \\ &=& 2 + 40,5 + 0,2 -10 \\ &=& 42,5 - 9,8 = 32,7 \end{eqnarray*}

(v) \begin{eqnarray*} 4^2 - 36 \div 2 \times \sqrt{36} \div 2^3 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} &=& 4^2-36 \div 2 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-18 \times 6 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 4^2-3 \div 8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 - \sqrt{81} \\ &=& 16-3\div8 - 3 \times 4 + 10 \div 2 -9 \\  &=& 16 - \displaystyle\frac{8}{3} - 12 + 5 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{40}{3} - 7 - 9 \\ &=& \displaystyle\frac{19}{3} - 9 = -\displaystyle\frac{8}{3}   \end{eqnarray*}

Acredito que até aqui abordamos todas as possibilidades de expressões numéricas onde não parecem parênteses, colchetes e chaves. Existem outras formas de se resolver expressões numéricas além das que foram dadas aqui nessa postagem, mas, as que estão aqui com certeza farão com que você resolva os tipos de expressões numéricas abordadas corretamente.

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Potênciação e Radiciação #8: Potências com expoentes reais

Essa já é a oitava postagem sobre potenciação e radiciação do blog (veja todas as postagens aqui). Vimos quase tudo daquilo que é básico sobre esse assunto, quase tudo o que você precisa saber para resolver problemas de matemática envolvendo potenciação e radiciação, ou seja, vimos potências com expoentes naturais, inteiros, racionais e irracionais e também vimos a radiciação. Bom, eu disse quase tudo e, por que quase tudo? Para completar esse assunto e vermos tudo o que precisamos saber sobre potenciação e radiciação, falta abordarmos o caso onde o expoente de uma potência é um número real. Não se preocupe, isso fica fácil depois de tudo o que já foi visto.

Potências com expoente real

Seja $a,n \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Como fazemos para calcular $a^n$? Bom, depende de qual número é o $n$. Vejamos,

(1) Se $n$ é um número natural, usamos a definição de potência com expoente natural (veja a definição aqui)

(2) Se $n$ for um número inteiro negativo, usamos a definição de potência com expoente negativo (veja a definição aqui)

(3) Se $n$ for um número racional, ou seja, uma fração, usamos a definição de potência com expoente racional (veja a definição aqui).

(4) Se $n$ for um número irracional, temos uma forma aproximada de calcular essa potência, mas é melhor não calculá-la e sim deixá-la como potência mesmo (veja mais detalhes sobre isso aqui).

Dado um número real $n$, esse número será natural, inteiro, racional ou irracional, desse modo, nos quatro itens acima, abordamos todas possibilidades de potências com expoentes reais. Logo, se você precisa calcular um potência com expoente real, basta ver em qual caso ela se encaixa.

As propriedades que vimos para cada tipo de potência acima podem ser generalizadas para potências com expoentes reais, ou seja, dados $a,b,r,s \in \mathbb{R}$ com $a,b > 0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^r \cdot b^s$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^r = \displaystyle\frac{a^r}{b^r}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

Observação: Temos que $0^n = 0$ para qualquer $n \in \mathbb{R}$ positivo. Caso contrário, essa potências não está definida.

Vejamos alguns exemplos do uso dessas propriedades com potências com expoentes reais.

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}+3} = 2^{\frac{7}{2}}$; $\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\pi} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\pi)} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\pi}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\frac{1}{5}-\sqrt{2}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 3^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \cdot 7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{\pi}} = \displaystyle\frac{3^{-\frac{1}{\pi}}}{5^{-\frac{1}{\pi}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{7}} = 10^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}$.

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Potenciação e Radiciação #7: Potências com expoentes irracionais

Até aqui já estudamos potências com expoentes naturais, inteiros e racionais, juntamente com suas propriedades. Agora chegou a hora de abordarmos as potências com expoentes irracionais a suas propriedades. Potências com expoentes irracionais não são tão comuns e nem são tão estudadas, mas dependendo do que estamos estudando em Matemática, elas aparecem e, por isso, precisamos saber como lidar com elas. Vamos lá!

Potências com expoentes irracionais

Antes de qualquer coisa, vamos lembrar o que é um número irracional. Os números irracionais são os números que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma $\displaystyle\frac{a}{b}$ com $a,b \in \mathbb{Z}$ e $b \neq 0$ (frações). Isso inclui também os números naturais ($\mathbb{N}$) e os inteiros ($\mathbb{Z}$). Pensando de uma outra forma, os números irracionais são os números com vírgula, com infinitas casas decimais, onde não há nenhum bloco de números se repetindo, como por exemplo, no número $2,345345345345\dots$ (o bloco que se repete é $345$). Assim, são exemplos de números irracionais

$$\pi = 3,141592653589793238\dots; \mbox{  } \sqrt{2}= 1,41421356237\dots;$$

$$-\sqrt{3} = -1,73205080757\dots;  \mbox{ e } e=2,71828182846\dots.$$ 

Vale observar também que, todo número na forma $\sqrt{p}$, onde $p$ é um número primo, é irracional.

Temos então que, um número irracional não é um natural, não é um inteiro e nem um racional. Desse modo, dado um número real $a$ e um irracional $k$, não é possível calcular a potência $a^k$ com nenhuma das maneiras que vimos nos posts anteriores. E agora, o que pode ser feito? Bom, podemos fazer o cálculo por aproximação. Como exemplo, vamos usar $3^{\sqrt{2}}$. Temos que $\sqrt{2} = 1,41421356237$, assim podemos fazer as seguintes aproximações para calcular $3^{\sqrt{2}}$, usando números racionais, acrescentando cada vez mais casas decimais,

$$3^{1} = 3;$$

$$3^{1,4} = 3^{\frac{14}{10}} = 3^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{3^7} = 3\sqrt[5]{9} \cong 4,655537;$$

$$3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = \sqrt[100]{3^{141}} = 3\sqrt[100]{3^41} \cong 4,706965;$$

$$3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = 3^{\frac{707}{500}} = \sqrt[500]{3^{707}} = 3\sqrt[1000]{3^{207}} \cong 4,727695;$$

$$3^{1,4142} = 3^{\frac{14142}{10000}} = 3^{\frac{7071}{5000}} = \sqrt[5000]{3^{7071}} = 3\sqrt[5000]{3^{2071}} \cong 4,728734.$$

Calculando $3^{\sqrt{2}}$ numa calculadora científica, vamos obter $3^{\sqrt{2}} = 4,7288043\dots$. Note que a última aproximação feita teve como resultado aproximado o número $4,728734$, ou seja, essa aproximação acertou até a terceira casa decimal. Se continuarmos com mais aproximações acrescentando mais casas decimais, vamos obter aproximações cada vez melhores.

Logo, podemos usar esse raciocínio para calcular potências com expoentes irracionais. Porém, devemos concordar que fazer esses cálculos por aproximações não é nada fácil (observe o tamanho das potências e dos índices das raízes calculadas no exemplo acima). Por esse motivo, é preferível não calcular potências com expoentes irracionais, caso se encontre com uma. No caso do nosso exemplo, é melhor deixar na forma $3^{\sqrt{2}}$. Não há problema nenhum em deixar de calcular essa potência. Deixá-la nessa forma evita erros nas aproximações. Talvez, em alguns casos, seja necessário calcular essa potência (em aplicações na realidade, por exemplos), mas aí temos usar outros recursos de aproximação e cálculo de erros.

Para os números irracionais também valem as propriedades de potenciação vistas para os números racionais. Vamos relembrá-las.

Considere $p,q \in \mathbb{I}$ (conjunto dos números irracionais). Para $a,b \in \mathbb{R}$, maiores ou iguais a $0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$;

(iii) $(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^p = \displaystyle\frac{a^p}{b^p}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$

Vamos ver alguns exemplos do uso dessas propriedades.

Exemplos:

1. $10^{\sqrt{11}} \cdot 10^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{11}+\sqrt{2}}$;  $2^{-\sqrt{3}} \cdot 2^{\pi} = 2^{-\sqrt{3}+\pi}$;   $4^{\sqrt{2}} \cdot 4^{-e} = 4^{\sqrt{2}+(-e)} = 4^{\sqrt{2}-e}$;   $3^{-\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{7}} = 3^{-\sqrt{5}+(-\sqrt{7})} = 2^{-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$;

2. $\displaystyle\frac{9^{\sqrt{3}}}{9^\sqrt{2}} = 9^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;  $\displaystyle\frac{6^{-\sqrt{5}}}{6^{\sqrt{2}}} = 6^{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}$;  $\displaystyle\frac{2^\sqrt{3}}{6^{-\sqrt{5}}} = 2^{\sqrt{3}-(-\sqrt{5})} = 2^{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$;  $\displaystyle\frac{10^{-\pi}}{10^{-\sqrt{7}}} = 10^{-\pi-(-\sqrt{7})} = 10^{-\pi+\sqrt{7}}$;

3. $(-4 \cdot 8)^{\sqrt{11}} = (-4)^{\sqrt{11}} \cdot 8^{\sqrt{11}}$; 

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{6^{\sqrt{2}}}{7^{\sqrt{2}}}$;

5. $(10^{\sqrt{3}})^{\sqrt{5}} = 10^{{\sqrt{3}}\cdot {\sqrt{5}}} = 10^{{\sqrt{15}}}$;  $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 5^2$; $(15^{-\sqrt{11}})^{-\pi} = 15^{-\sqrt{11} \cdot (-\pi)} = 15^{\sqrt{11}\pi}$;  

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Potenciação e Radiciação #6: Potência com expoente racional

Já fizemos um estudo bastante completo sobre potências com expoentes naturais e inteiros e também sobre radiciação de índice $n$. Sabemos calcular essas potências e também calcular e simplificar raízes de índice $n$. Isso já é muito importante. Tendo aprendido esses conceitos matemáticos, agora estamos aptos a estudar as potências com expoente racional (fracionário). Só agora vamos falar de potência com expoente racional pois nesse assunto vamos misturar tudo o que já estudamos nos posts anteriores, a potenciação com expoentes natural e inteiros e a radiciação. Vamos lá!

Potências com expoente racional

Definição: Dados $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $a$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}.$$

Se $a=0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} > 0$, definimos $0^{\frac{p}{q}} = 0$.

Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$;

2. $5^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5 \sqrt[3]{5}$  (aqui estamos usando o processo de simplificação de raízes visto no post anterior).

3. $7^{-\frac{2}{3}} = 7^{\frac{-2}{3}} = \sqrt[3]{7^{-2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{7^2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{49}}$.

4. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4} = \sqrt[5]{\displaystyle\frac{16}{81}}$.

5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{-1}{3}} = \sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{2}}$.

Observações importantes:

(a) O cálculo $0^{\frac{p}{q}}$ com $\displaystyle\frac{p}{q} < 0$ não está definido, pois isso implicaria em $0^p$ com $p <0$, o que não existe.

(b) Podemos estender a definição de potência com expoente racional para bases negativas, ou seja, para $a \in \mathbb{R}$ positivo, em alguns casos é possível calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$. Podemos calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$ se $p$ for par ou se $q$ for ímpar. Porém, em ambos os casos, a $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ deve estar na forma irredutível, ou seja, $\displaystyle\frac{p}{q}$ deve ser uma fração que não pode mais ser simplificada. Se não colocarmos essa condição, podemos cair no seguinte erro: observe que $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, porém 

$$(-1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-1} = -1 \mbox{ e } (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1$$.

Então, já que   $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, $(-1)^{\frac{1}{3}}$ é igual a $-1$ ou é igual a $1$? A resposta correta é $-1$ pois $\displaystyle\frac{1}{3}$ está na forma irredutível enquanto que $\displaystyle\frac{2}{6}$ não está. 

Vamos agora às propriedades das potências com expoentes racionais.

Propriedades das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas que já temos paras as potências com expoentes naturais e inteiros. Mas, mesmo assim, vamos mencioná-las dentro do contexto de potências com expoentes racionais.

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$,  e $\displaystyle\frac{p}{q}, \displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}$. Temos

(i) $a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}+\frac{r}{s}}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{r}{s}}} = a^{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}$  $(a \neq 0)$;

(iii) $(a \cdot b)^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{p}{q}} \cdot b^\frac{p}{q}$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{b^{\frac{p}{q}}}$  $(b \neq 0)$;

(v) $\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}}$.

Observação: Essas propriedades estão enunciadas somente para $a$ e $b$ reais maiores ou iguais a zero. Isso ocorre pois, como vimos na observação anterior, item (b), quando a base de uma potência com expoente racional é negativa, há algumas condições sobre o expoente para que a potência possa ser calculada, assim, para que não tenhamos problemas aos misturarmos as propriedades acima com as condições para calcular as potências. é melhor usarmos essas propriedades somente com bases positivas.

Vamos exemplos de cada propriedade acima.

Exemplos:

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{6}}$;

$\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\frac{2}{3})} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{2}{3}}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{\frac{1}{5}-\frac{4}{3}} = 5^{-\frac{17}{15}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{7}} = \displaystyle\frac{3^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{3}}$.

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Potenciação e Radiciação #5: Como calcular raízes de índice $n$ de números inteiros

Depois de vermos a definição de radiciação e suas propriedades, está na hora de aprendermos um método para calcular as raízes. Não precisamos de um método para calcular as raízes de qualquer número real (ainda bem, pois isso não é fácil). Precisamos somente de um método para calcular ou simplificar as raízes de números inteiros positivos, isso já é o suficiente. Na matemática, não há nenhum problema em não calcularmos uma raiz de um número que não possui uma raiz inteira (ou exata). Para efeito de cálculo, é melhor que tais raízes fiquem na forma de raízes mesmo, pois assim não há a necessidade de fazer aproximações por meio de números com vírgula, o que pode gerar erros grandes nos resultados (quanto mais aproximações fizermos em nossas contas, mais distante do valor exato o resultado vai ficar). Agora, quando é possível de se calcular a raiz, devemos calculá-la. Sem enrolação, vamos calcular algumas raízes.   

Cálculo da raiz de índice $n$ de um número inteiro

Para se calcular raízes de índice $n$ de números inteiros, vamos precisar lembrar de duas coisas: números primos e fatoração. Um número primo é um número inteiro positivo diferente de $1$ que é divisível somente por $1$ e por ele próprio. Este é o conjunto dos números primos

$$\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,41,43,47,53,59,\dots\}.$$ 

Esse conjunto é infinito. Fatorar um número é o ato se escrever um dado número inteiro como produto de números primos, obtendo-se assim a fatoração desse número. Na matemática podemos provar que isso é possível de ser feito para todo número inteiro diferente de $0$ e $1$ e que essa fatoração é única se não levarmos em conta a ordem dos fatores. Vejamos alguns exemplos de fatoração de números inteiros

1. $2 = 2$;

2. $6 = 2 \cdot 3$;

3. $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$;

4. $3850 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$.

Como obter a fatoração de um número inteiro positivo

Dado um número inteiro positivo, para obter a sua fatoração em números primos, fazemos divisões exatas sucessivas desse número pelos números primos. Começamos as divisões pelo primo $2$. Caso o número seja divisível por $2$, vamos sucessivamente dividindo por $2$ até obtermos um número que não seja divisível por $2$, passando, depois disso, para o $3$. Se o número não for divisível por $2$, passamos diretamente para o primo $3$. Agora, caso o número que obtemos seja divisível por $3$, prosseguimos dividindo por $3$ até o obtermos um número que não seja divisível por $3$, passado, após isso, para o primo $5$. Se ele não for divisível por $3$, passamos diretamente para o primo $5$. Esse processo continua para os primos de maneira crescente até chegarmos como resultado dessas divisões sucessivas o número $1$.  Costumamos fazer a fatoração de um número usando uma "chave", ou seja, escrevemos o número que queremos fatorar, do lado direito dele colocamos uma linha vertical e, do lado direito dessa linha colocamos os primos que dividem o número, um após o outro, os quais são chamados de fatores primos. Abaixo do número que estamos fatorando ficará os resultados das divisões sucessivas, isto é, os quocientes. Essa chave fica com a seguinte forma:

$$\begin{array}{c|c} \mbox{Número a ser fatorado} & \mbox{F} \\  & \mbox{a} \\ \mbox{Q} & \mbox{t} \\ \mbox{u} & \mbox{o} \\ \mbox{o} & \mbox{r} \\ \mbox{c} & \mbox{e} \\ \mbox{i} & \mbox{s} \\ \mbox{e} & \mbox{ } \\ \mbox{n} & \mbox{p} \\ \mbox{t} & \mbox{r} \\ \mbox{e} & \mbox{i} \\ \mbox{s} & \mbox{m} \\ & \mbox{o} \\ & \mbox{s} \\ \end{array}$$

Vamos ver alguns exemplos.

1. Fatore o número $252$.

Solução: Observe que $252$ é um número par, isto é, divisível por $2$, assim vamos começar a fatoração pelo número primo $2$.

$$\begin{array}{c|c} 252 & 2 \\ 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Portanto, a fatoração de $252$ é $252 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

2. Fatore o número $6825$.

Solução: Note que $6825$ não é par e, portanto, não é divisível por $2$. Como ele é um número divisível por $3$, começaremos a fatoração pelo número primo $3$.

$$\begin{array}{c|c} 6825 & 3 \\ 2275 & 5 \\ 455 & 5 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Portanto $6825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 13$.

3. Fatore o número $112$.

Solução: Note que $112$ é par, começaremos a fatoração pelo número primo $2$.

$$\begin{array}{c|c} 112 & 2 \\ 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Portanto $112 = 2^4 \cdot 7$.

Observação: 

(i) A fatoração de um número primo é ele próprio, pois ele não pode ser dividido por nenhum primo, exceto por ele mesmo. Por exemplo, a fatoração de $2$ é o próprio $2$ e a fatoração do $17$ é o próprio $17$.

(ii) Para se dar bem com a fatoração, é bom conhecer os critérios de divisibilidade dos números inteiros.  Esse assunto de divisibilidade vale um post (ou talvez mais de um). Então, vou mencionar aqui alguns critérios de divisibilidade. Seja $a \in \mathbb{Z}$. Temos,

• $a$ é divisível por $2$ se $a$ for par;
• $a$ é divisível por $3$ se a soma dos algarismos de $a$ for um múltiplo de $3$;
• $a$ é divisível por $5$ se termina em $0$ ou em $5$.
• $a$ é divisível por $7$ se, ao duplicarmos o algarismo das unidades e subtraí-lo do resto do número, o resultado que obtivermos for divisível por $7$;
• $a$ é divisível por $11$ se a soma dos algarismos que estão nas posições pares menos a soma dos algarismos que estão nas posições ímpares é um número divisível por $11$.

(iii) Acima está um método para se fatorar números inteiros positivos, mas como podemos fatorar os negativos? Bom, basta tirar o sinal negativo do número, fatorar e depois colocar o sinal de negativo na fatoração. Vejamos um exemplo

4. Fatore o número $-4235$.

Solução: Vamos, primeiramente, fatorar o número $4235$. Temos,

$$\begin{array}{c|c} 4235 & 5 \\ 847 & 7 \\ 121 & 11 \\ 11 & 11 \\ 1 &  \\ \end{array}$$

Assim, obtemos $4235 = 5 \cdot 7 \cdot 11^2$. Agora, basta colocar o sinal de menos nos dois lados da igualdade anterior, obtendo a fatoração de $-4235$. Portanto $-4235 = -5 \cdot 7 \cdot 11^2$.

Agora vamos, de fato, ao cálculo das raízes. Faremos isso usando as propriedades de raízes que vimos no post anterior.

Cálculo da raiz de índice $n$ de um número inteiro

A melhor maneira de aprendermos a fazer esse cálculo é por meio de exemplos. Então, vamos à eles!

Exemplos:

1. Calcule $\sqrt{64}$.

Solução: Vamos começar fatorando o número $64$. Temos

$$\begin{array}{c|c} 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2  \\ 2 & 2 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Assim obtemos $64 = 2^6$. Observe que temos que calcular uma raiz quadrada, isto é, o índice da raiz é igual a $2$. Vamos então escrever a fatoração de $64$ como o produto de potências com expoente $2$. Vamos obter

$$\sqrt{64} = \sqrt{2^6} = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2}.$$

Usando a propriedade $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ para $n \geq 2$ natural e $a,b \in \mathbb{R}$ com $a,b \geq 0$, vamos ter

$$\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2}.$$

Agora, usando a propriedade $\sqrt[n]{a^n} = a$ para todo $n \geq 2$ natural e $a \in \mathbb{R}$, $a \geq 0$, temos 

$$\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.$$

Portanto $\sqrt{64} = 8$.

Nos exemplos a seguir usaremos as mesmas propriedades e o mesmo raciocínio do exemplos anterior, por isso, focaremos mais nas contas.

2. Calcule $\sqrt{9604}$.

Solução: Vamos fatorar o número $9064$.

$$\begin{array}{c|c} 9604 & 2 \\ 4802 & 2 \\ 2401 & 7 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7  \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Logo $9064 = 2^2 \cdot 7^4$. Assim

\begin{eqnarray} \sqrt{9604} &=& \sqrt{2^2 \cdot 7^4} \\ & = & \sqrt{2^2 \cdot 7^2 \cdot 7^2} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{7^2} \\ &=& 2 \cdot 7 \cdot 7 = 98 . \end{eqnarray}

3. Calcule $\sqrt[3]{3375}$.

Solução: Começamos sempre fatorando o número que está dentro da raiz.

$$\begin{array}{c|c} 3375 & 3 \\ 1125 & 3 \\ 375 & 3 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5  \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Assim, $3375 = 3^3 \cdot 5^3$. Observe que queremos calcular uma raiz cúbica, ou seja, uma raiz de índice $3$. Logo, devemos escrever a fatoração como produto de potências com expoentes iguais a $3$. No caso desse exemplo, já temos isso, então

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{3375} &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} \\ & = & \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5^3}  \\ &=& 3 \cdot 5  =  15 . \end{eqnarray}

4. Calcule $\sqrt[3]{ 8000}$.

Solução: Vamos fatorar o número $8000$.

$$\begin{array}{c|c} 8000 & 2 \\ 4000 & 2 \\ 2000 & 2 \\ 1000 & 2 \\ 500 & 2  \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\  \end{array}$$

Assim, $8000 = 2^6 \cdot 5^3$. Logo,

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8000} &=& \sqrt[3]{2^6 \cdot 5^3} \\ & = & \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3}  \\ &=& \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} \\ &=& 2 \cdot 2 \cdot 5  =  20. \end{eqnarray}

5. Calcule $\sqrt[4]{ 1296}$.

Solução: Vamos fatorar o número $1296$.

$$\begin{array}{c|c} 1296 & 2 \\ 648 & 2 \\ 324 & 2 \\ 162 & 2 \\ 81 & 3  \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \end{array}$$

Assim, $1296 = 2^4 \cdot 3^4$. Observe que queremos calcular uma raiz de índice $4$. Logo, devemos escrever a fatoração como produto de potências com expoentes iguais a $4$. No caso desse exemplo, já temos isso, então

\begin{eqnarray} \sqrt[4]{1296} &=& \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} \\ & = & \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4}  \\ &=& 2 \cdot 3  =  6. \end{eqnarray}

Para raízes de ordens maiores que $4$, procedemos de modo análogo. Agora, o que fazemos quando a raiz não é exata? Nesse caso nós simplificamos a raiz. Vamos alguns exemplos disso.

6. Calcule $\sqrt{160}$.

Solução: Novamente vamos fatorar o radicando.

$$\begin{array}{c|c} 160 & 2 \\ 80 & 2 \\ 40 & 2 \\ 20 & 2 \\ 10 & 2  \\ 5 & 5 \\ 1 &  \\ \end{array}$$

Sendo assim,

$$\begin{eqnarray} \sqrt{160} &=& \sqrt{2^5 \cdot 5} \\ &=& \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5} \\ &=& \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 10} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{10} \\ &=& 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{10} = 4 \cdot \sqrt{10}. \end{eqnarray}$$

Concluímos então que $\sqrt{160} = 4 \cdot \sqrt{10}$. Observe que $\sqrt{10}$ não é exata, assim, não precisamos calculá-la, podemos deixar simplesmente $4 \cdot \sqrt{10}$ como resultado de $\sqrt{160}$. Ao fazermos isso, estamos simplificando a raiz.

7. Calcule $\sqrt[3]{756}$.

Solução: Vamos novamente fatorar $756$.

$$\begin{array}{c|c} 756 & 2 \\ 378 & 2 \\ 189 & 3 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3  \\ 7 & 7 \\ 1 &  \\ \end{array}$$

Desse modo, 

$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{756} &=& \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 4 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 28} \\ &=& \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{28} \\ &=& 3 \cdot \sqrt[3]{28}. \end{eqnarray}$$

Logo, $\sqrt[3]{756} = 3 \cdot \sqrt[3]{28}$.

8. Calcule $\sqrt[4]{9072}$

Solução: Vamos obter uma fatoração para $9072$.

$$\begin{array}{c|c} 9072 & 2 \\ 4536 & 2 \\ 2268 & 2 \\ 1134 & 2 \\ 567 & 3  \\ 189 & 3 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 &  \end{array}$$

Assim, 

$$\begin{eqnarray} \sqrt[4]{9072} &=& \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{7} \\ &=& 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{7} = 6 \sqrt[4]{7}. \end{eqnarray}$$

Portanto $\sqrt[4]{9072} = 6 \sqrt[4]{7}$.

E se tivermos uma raiz de índice ímpar de um número negativo, como vamos calcular. Vamos ver dois exemplos dessa situação.

9. Calcule $\sqrt[3]{-2744}$.

Solução: Uma das propriedade que vimos de radiciação é a seguinte:

$$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} \mbox{ se } a \geq 0 \mbox { e } n \mbox{ ímpar}.$$

Sendo assim, para calcular $\sqrt[3]{-2744}$, basta fatorar $2744$, pois, pela propriedade acima, temos que $\sqrt[3]{-2744} = -\sqrt[3]{2744}$. Temos

$$\begin{array}{c|c} 2744 & 2 \\ 1372 & 2 \\ 686 & 2 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7  \\ 7 & 7 \\ 1 &   \end{array}$$

Logo,

$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-2744} &=& -\sqrt[3]{2744} = -\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^3} \\ &=& -\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{7^3} \\ &=& -2 \cdot 7 = -14. \end{eqnarray}$$

Portanto $\sqrt[3]{-2744} = -14$.

10. Calcule $\sqrt[5]{-486}$.

Solução: Vamos proceder de maneira análoga ao exemplo anterior. Temos

$$\begin{array}{c|c} 486 & 2 \\ 243 & 3 \\ 81 & 3 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3  \\ 3 & 3 \\ 1 &   \end{array}$$

Logo,

$$\begin{eqnarray} \sqrt[5]{-486} &=& -\sqrt[5]{486} = -\sqrt[5]{2 \cdot 3^5} \\ &=& -\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{3^5} \\ &=& -3 \cdot \sqrt[5]{2}. \end{eqnarray}$$

Portanto $\sqrt[5]{-486} = -3 \cdot \sqrt[5]{2}$.

Vídeo com exemplos:

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Potenciação e Radiciação #4: Propriedades da radiciação

No post anterior aprendemos o que é uma raiz de índice $n$. Para um bom conhecimento sobre raízes, saber somente o que é uma raiz de índice $n$ não é suficiente, por esse motivo, vimos também que não é possível calcular raiz de índice par de números negativos e, mais que isso, vimos que raiz de um número positivo sempre existe e que, se $n$ for ímpar, existe também as raízes de números negativos. Agora que conhecemos o que é a radiciação e alguns de seus detalhes mais importantes, chegou a hora de vermos ainda mais detalhes sobre ela. Nesse post vamos ver as propriedades da radiciação, as quais são muito úteis para calcular e simplificar raízes. Vamos lá!

Propriedades da radiciação

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$, $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{a^n} = a$;

(ii) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ se $b \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$;

(vi) $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{a} = b$, temos que $b^n = a$. Assim, $(\sqrt[n]{a})^n = b^n = a$ e, portanto, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Para essa postagem não ficar muito longa e, como o objetivo dela é aprender a calcular e usar as propriedades da radiciação, não vou demonstrar essas propriedades (quem sabe em uma outra oportunidade).

Observações importantes: 

(a) As propriedades acima estão enunciadas para $a$ e $b$ números reais maiores ou iguais a zero. Bom, é isso mesmo e é muito importante estar atento a esse fato pelos seguintes motivos:

• a propriedade (i) não vale quando $a$ é negativo, devido à definição de raiz de índice $n$;
• Se considerarmos $a$ ou $b$ negativos na propriedade (ii) e na propriedade (iii), elas nem sempre serão verdadeiras, pois pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual sabemos que não existe. Por exemplo, $\sqrt{8} = \sqrt{(-2) \cdot (-4)}$ que é diferente de $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-4}$, visto que essas duas últimas raízes não existem. Também, $\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{6}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{-1}{-6}}$, a qual não é igual a $\displaystyle\frac{\sqrt[4]{-1}}{\sqrt[4]{-6}}$, visto novamente que as duas últimas raízes também não existem. A propriedades (i) e (ii) serão verdadeiras para $a$ ou $b$ negativos somente se $n$ for ímpar.
• Se considerarmos $a$ negativo nas propriedades (iv), (v) e (vi), elas podem se tornar falsas, pois também pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual não existe. Por exemplo, $\sqrt{(-2)^4}$ é diferente de $(\sqrt{-2})^4$ pois $\sqrt{-2}$ não existe, $\sqrt[4]{\sqrt[3]{-8}}$ nem pode ser calculada pois $\sqrt[3]{-8}$ é um número negativo que está dentro de uma raiz de índice par e, por último $\sqrt[2]{(-1)^{3}}$ não existe e, portanto é diferente de $\sqrt[4 \cdot2]{(-1)^{4 \cdot 3}} = \sqrt[8]{(-1)^{12}} = 1$. A propriedade (iv) vale para $a$ negativo só quando o $n$ for ímpar ($m$ pode ser par ou ímpar), a propriedade (v) só vale para $p$ e $n$ ímpares e, é melhor usar a propriedade (vi) somente para $a$ positivo mesmo.
• A propriedade (vii) vale para todo $n$ quando $a \in \mathbb{R}$ é maior ou igual a $0$ e, se $a$ for negativo, essa propriedade vale somente para $n$ ímpar.

Essas propriedades podem ser usadas, mas cuidado, observe as condições nas quais elas podem ser usadas.

(b) A propriedade (i) pode ser generalizada de modo a incluir os números negativos. Ela fica dessa forma:

$$\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{array}{ccc} |a| & \mbox{se} & n \mbox{ for par}   \\ a & \mbox{se} & n \mbox{ for ímpar}.\end{array}\right.$$

Isso se deve ao fato de que a definição de raiz de índice $n$ de um número real $a$ diz que o resultado da raiz deve ter o mesmo sinal do número $a$.

Por exemplo,

$$\sqrt{4^2} = 4 = |4|; \mbox{ } \sqrt[4]{(-10)^4} = 10 = |-10|; \mbox{ } \sqrt[3]{7^3} = 7 \mbox{ e } \sqrt[5]{(-8)^5} = -8.$$

(c) No caso  de $n$ ser um número ímpar, se $a \in \mathbb{R}$ é um número positivo, vale a igualdade $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. De fato, observe que $\sqrt[n]{-1} = -1$ quando $n$ é impar e, usando o segundo ponto da observação (b) acima, temos

$$\sqrt[n]{-a} = \sqrt[n]{(-1) \cdot a} = \sqrt[n]{-1}\sqrt{a} = -1 \cdot \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{a}.$$ 

Por exemplo,

$$\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8}; \mbox{ } \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \mbox{ e } \sqrt[9]{-2} = -\sqrt[9]{2}.$$  

Vamos ver agora alguns exemplos de como aplicar as propriedades de (i) a (vi).

Exemplos:

1. $\sqrt{3^2} = 3$; $\sqrt[3]{5^3} = 5$; $\sqrt[4]{10^4} = 10$;

2. $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$; $\sqrt[5]{3 \cdot 8} = \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{8}$;

3. $\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$; $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{9}{7}} = \displaystyle\frac{\sqrt[4]{9}}{\sqrt[4]{7}}$;

4. $(\sqrt{3})^5 = \sqrt{3^5}$; $(\sqrt[6]{2})^4 = \sqrt[6]{2^4}$; $(\sqrt[4]{5})^{-1} = \sqrt[4]{5^{-1}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{5}}$;

5. $\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$; $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$;

6. $\sqrt{5^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 4}} = \sqrt[6]{5^{12}}$; $\sqrt[3]{7^{-5}} = \sqrt[ 4 \cdot 3]{7^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[12]{7^{-20}}$.

7.  $(\sqrt{3})^2 = 3$; $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$; $(\sqrt[5]{-100})^5 = -100$.

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Potenciação e Radiciação #3: Raiz de índice $n$

Nas duas postagens anteriores vimos as definições de potência com expoente natural e de potência com expoente inteiro, bem como as suas propriedades. Agora, para continuarmos o estudo de potenciação, precisamos começar a estudar radiciação, ou seja, o processo de se calcular a raiz de índice $n$ (também chamada de de raiz $n$-ésima) de um número real. Índice $n$? Raiz $n$-ésima? O que são essa coisas? Fique tranquilo, vamos ver em detalhes, o que é cada nome desse. Vamos lá! 

Raiz de índice $n$

Existem algumas formas de se definir o que é uma raiz de índice $n$ ou uma raiz $n$-ésima de um número real. Dentre essas formas de se definir a raiz de índice $n$, a que vou colocar a seguir é a mais simples dela, na minha opinião.

Definição: Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $a$ um número real. Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $a$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $a$, tal que $b^n = a$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $a$ por $\sqrt[n]{a}$ onde $n$ é o índice da raiz e $a$ é o radicando.

Resumindo, se $b$ é um número de mesmo sinal que $a$ tal que $b^n = a$, então $b$ é a raiz de índice $n$ de $a$ e escrevemos 

$$\sqrt[n]{a} = b.$$

O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical. 

Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{a}$. Quando o índice é igual  a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{a}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.

Agora que sabemos o que é a raiz de índice $n$ de um número real, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $\sqrt{4} = 2$, pois $2^2 = 4$. Observe que $(-2)^2 = 4$ também, porém como está na definição acima, a raiz de um número, independentemente da ordem da raiz, sempre tem o mesmo sinal do radicando, ou seja, do número que está dentro do radical. Portanto, $-2$ não é raiz quadrada de $4$ visto que $4$ é positivo e $-2$ é negativo.

2. $\sqrt[3]{64} = 4$, pois $4^3 = 64$.

3. $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{81}{625}} = \displaystyle\frac{3}{5}$, pois $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^4 = \displaystyle\frac{81}{625}$.

4. $\sqrt[5]{-7776} = -6$, pois $(-6)^5 = -7776$.

5. $\sqrt[6]{11,390625} = 1,5$, pois $1,5^6 = 11,390625$.

6. $\sqrt[n]{0} = 0$, pois $0^n = 0$ para todo $n$ natural maior ou igual a $1$.

Observações importantes: 

(i) Não é possível calcular uma raiz com índice par de um número real negativo. Isso ocorre pelo seguinte fato. Se $n$ for um número natural par, diferente de zero, e $a$ um número real negativo, pela definição de raiz de índice $n$, vamos ter que $\sqrt[n]{a}$ tem que ser um número $b$ negativo tal que $b^n = a$. Para que essa igualdade seja verdadeira, devemos ter $b^n$ negativo, pois $a$ é negativo.  Mas isso é impossível, visto que $b$ elevado a um número par será sempre positivo para qualquer $b$. Logo, se $a$ é negativo e $n$ é um número par, não existe $\sqrt[n]{a}$.

(ii) Não há nenhum problema em se obter uma raiz de índice $n$ com um sinal de menos na frente do radical, como por exemplo,

$$-\sqrt[3]{8} = -2, \mbox{ } -\sqrt{4} = -2, \mbox{ } \pm\sqrt{9} = \pm 3 \mbox{ e } -\sqrt[5]{-243} = -(-3) = 3.$$

Basta manter o sinal no resultado da raiz.

Uma pergunta que pode surgir quando a gente está estudando essa questão das raízes é o motivo dela ser definida da forma acima. Por exemplo, por que $\sqrt{4}$ também não é igual a $-2$? A respeito disso temos os seguintes teoremas provados na matemática.

Teorema 1: Sejam $a > 0$ um número real e $n > 1$ um número natural. Então existe um único número real $b > 0$ tal que $b^n = a$.

Esse teorema garante que, dados um número real positivo $a$ e um natural $n > 1$, sempre existe um número $b$, também positivo tal que $b^n = a$, isto é, esse teorema está nos dizendo que a raiz de índice $n$ de um número real positivo $a$ sempre existe, vai ser o número real positivo $b$ onde $b^n = a$. Por isso faz sentido definir as raízes de números positivos, pois sempre é possível calculá-las, independentemente do índice. 

Agora, por que $\sqrt{4}$ também não pode ser $-2$? Bom, para você pensar na resposta dessa pergunta, vou te fazer outra pergunta: "Por que $2+2$ também não é igual a 5?" As respostas dessas duas perguntas são iguais, quando definimos uma operação em um conjunto, no caso, dos números reais, elas precisam estar bem definidas, isto é, o resultado deve ser único. Imagina a confusão que seria se $2+2$ fosse 5 também?

O Teorema 1 trata somente da existência da raiz de índice $n$ de $a$ quando $a$ é positivo. E quando $a$ é negativo? Para esse caso temos o seguinte teorema.

Teorema 2: Seja $a$ um número real qualquer. Se $n$ for um número natural ímpar maior que $1$, então existe um número $b$ real tal que $b^n = a$.

Esse teorema garante que, dados um número real $a$ qualquer e um natural $n > 1$ ímpar, sempre existe um número $b$, tal que $b^n = a$, ou seja, esse teorema está nos dizendo que a raiz de índice $n$, com $n$ ímpar de um número real $a$ qualquer sempre existe. Analisando esse teorema no caso particular de $a$ ser negativo, ele nos garante a existência da raiz de índice ímpar de qualquer número negativo. Podemos nesse ponto, concluir que, se $a$ é negativo e $n$ é par, então $\sqrt[n]{a}$ não existe, conforme a observação (i), e que, se $n$ for ímpar a raiz existe, isto é, a raiz de um número negativo só existe se o índice $n$ da raiz for ímpar. Agora, seja $a$ um número real negativo e $n$ um número natural ímpar maior que $1$. Pelo Teorema 2, sabemos que existe $b$ de modo que $b^n = a$. Como $a$ é negativo, o $b$ também tem que ser, pois do contrário $b^n$ seria positivo. Logo, a raiz de índice ímpar de um número negativo $a$ sempre existe e também é negativo. 

Leia a definição de raiz de índice $n$ novamente. Perceba que, agora, ela faz muito mais sentido.

Definição: Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $a$ um número real. Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $a$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $a$, tal que $b^n = a$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $a$ por $\sqrt[n]{a}$ onde $n$ é o índice da raiz e $a$ é o radicando.

Essa postagem se encerra por aqui mesmo. O objetivo dela é definir a raiz  de índice $n$ e compreender o que é isso de fato. Na postagem seguinte veremos as propriedades da radiciação e, na postagem seguinte a essa, estudaremos um método para se calcular as raízes de números inteiros e também vamos ver o que fazer quando o resultado das raízes não são exatos, ou seja, não são inteiros. 

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Potenciação e Radiciação #2: Potências com expoentes inteiros negativos

O post anterior foi o primeiro post sobre potenciação e radiciação. Nele aprendemos o caso mais simples de potenciação de um número real, aprendemos o que é potenciação com um expoente natural. Nesse segundo post, vamos dar um passo adiante no estudo da potenciação, vamos definir o que é uma potência com expoente inteiro. Sendo $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2, \dots\}$, uma parte do problema de se compreender o que é uma potência com número inteiro está resolvido, isto é, quando o número inteiro é positivo, ele é um número natural e, nesse caso, já sabemos como calcular uma potência com tal expoente, esse é o caso que vimos no post anterior. Assim, nesse post, vamos concentrar a nossa atenção nas potências com expoentes inteiros negativos. Vamos lá!

Potências com expoentes negativos

Definição: Dado um número real $a$, diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $a$ e expoente $-n$, denotada por $a^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo

$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}.$$

Pela definição acima, vemos que $a^{-n}$, com $a \neq 0$, é o inverso de $a^n$. Também podemos dizer que $a$ está elevado a $-n$. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos: 

1. $2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2^1} = \displaystyle\frac{1}{2}$;

2. $4^{-3} = \displaystyle\frac{1}{4^3} = \displaystyle\frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \displaystyle\frac{1}{64}$;

3. $(-3)^{-4} = \displaystyle\frac{1}{(-3)^4} = \displaystyle\frac{1}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{1}{81}$;

4. $-7^{-2} = - \displaystyle\frac{1}{7^2} = -\displaystyle\frac{1}{49}$;

5. $\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}} = \displaystyle\frac{1}{\frac{16}{25}} = \displaystyle\frac{25}{16}$;

6. $\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-5} = \displaystyle\frac{1}{(-\frac{1}{2})^5} = \displaystyle\frac{1}{-\frac{1}{32}} = -\displaystyle\frac{32}{1} = -32$;

7. $-\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right)^{-3} = -\displaystyle\frac{1}{(\frac{5}{3})^3} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{5^3}{3^3}} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{125}{27}} = -\displaystyle\frac{27}{125}$;

8. $(2,3)^{-6} = \displaystyle\frac{1}{(2,3)^6} = \displaystyle\frac{1}{148,035889} = 0,006755118$;

9. $(-1,24)^{-3} = \displaystyle\frac{1}{(-1,24)^3} = \displaystyle\frac{1}{-1,906624} = -0,524487261$.

Note que, onde foi necessário, usei nos cálculos acima o fato de que uma potenciação de um número negativo com expoente par possui resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo.

Observações importantes:

(i) No exemplo 4 somente o número $7$ está elevado a $-2$, o sinal de menos não. Assim o menos "fica para fora" em todo o cálculo, implicando um resultado negativo. No exemplo 7 acontece algo análogo, somente o número $\displaystyle\frac{5}{3}$ está elevado a $-3$.

(ii) Há algo importante a ser observado nos exemplos 4, 5 e 7. Eles podem ser calculados de uma forma mais simples. Considere um número racional qualquer $\displaystyle\frac{a}{b}$, diferente de $0$, e um número inteiro positivo qualquer $n$. Temos, usando a definição de potência com expoente inteiro negativo, que

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Assim, quando uma fração está elevada a um expoente negativo, para fazer essa potenciação, basta inverter a fração, mudar o sinal do expoente e, em seguida, fazer o cálculo. Vamos ver mais três exemplos.

10. $\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-5} = \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{4^5}{3^5} = \displaystyle\frac{1024}{243}$; 

11. $\left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)^{-2} = \left(-\displaystyle\frac{2}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{2^2}{7^2} = \displaystyle\frac{4}{49}$; 

12. $\left(-\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{6}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{6^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{216}{125}$; 

(iii) No post anterior está explicado o motivo de uma potenciação de um número negativo com expoente par possuir resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possuir resultado negativo. Porém, no contexto do post anterior, estávamos tratando somente de expoentes positivos. Agora, essa propriedade pode ser estendida para expoentes pares e ímpares negativos também? A resposta é: sim! Temos números pares e ímpares negativos também, basta colocar um sinal de menos na frente de um par positivo que você terá um par negativo e, fazendo a mesma coisa com um ímpar, você terá um ímpar negativo. Assim, dado um número real $a$ positivo e um $n$ inteiro positivo, temos

Se $n$ é par, então $(-a)^{-n} = a^{-n}$ e, se $n$ é ímpar, então $(-a)^{-n} = -a^{-n}$

Vamos fazer mais alguns exemplos.

13. $(-5)^{-2} = 5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25}$;

14. $\left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{2^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{8}{125}$;

15. $-(-3)^{-5} = -(-3^{-5}) = -\left(-\displaystyle\frac{1}{3^5}\right) = \displaystyle\frac{1}{243}$; 

16. $-\left(-\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{11}{6}\right)^4 = -\displaystyle\frac{11^4}{6^4} = -\displaystyle\frac{14641}{1296}$.

No post anterior, onde estudamos as potências com expoentes naturais, apresentei as propriedades de tais potências. Essas mesmas propriedades valem para as potências com expoentes inteiros também. Para lembrá-las, vou listá-las aqui novamente e, logo após, veremos alguns exemplos.

Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{Z}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Essas propriedades também possuem demonstrações. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades.

Exemplos:

1. $2^{(-3)} \cdot 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2$;  $4^3 \cdot 4^{-1} = 4^{3+(-1)} = 4^2$;  $3^{-2} \cdot 3^{-3} = 3^{-2+(-3)} = 2^{-5}$;

2. $\displaystyle\frac{6^{(-5)}}{6^2} = 6^{-5-2} = 6^{-7}$;  $\displaystyle\frac{2^3}{6^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^{3+2} = 2^{5}$;  $\displaystyle\frac{10^{-6}}{10^{-3}} = 10^{-6-(-3)} = 10^{-6+3} = 10^{-3}$;

3. $(-4 \cdot 8)^{-4} = (-4)^{-4} \cdot 8^{-4}$; 

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{6^{-2}}{7^{-2}}$;

5. $(10^{-3})^9 = 10^{-3 \cdot 9} = 10^{-27}$;  $(5^2)^{-8} = 5^{2 \cdot (-8)} = 5^{-16}$; $(15^{-1})^{-2} = 15^{-1 \cdot (-2)} = 15^{2}$;  

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