Polinômios #6: Raízes de um polinômio

Nosso estudo sobre polinômios está avançando, já os definimos, sabemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios e também sabemos o que é o grau de um polinômio. Apesar de já termos estudado tudo isso, ainda existem aspectos importantes sobre os polinômios a serem estudados. Seguindo então com o estudo de polinômios, nessa postagem vamos estudar o que é uma raiz de um polinômio e uma propriedade importante das raízes. Ainda não veremos métodos para encontrar raízes, vamos estudar essa questão nas próximas postagens, vamos entender bem o que é uma raiz para depois procurarmos por elas.

Raízes de um polinômio

Vamos começar definindo o que é uma raiz de um polinômio.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$, isto é, sobre $\mathbb{K}$ (considere esse $\mathbb{K}$ como sendo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Um número $a \in \mathbb{K}$ é chamado raiz do polinômio $p(x)$ se $p(a) = 0$.

Vejamos alguns exemplos de raízes de polinômios.

Exemplos:

1. Considere $p(x) = 3x+1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. Temos que $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$ é uma raiz de $p(x)$ pois 

$$p\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+1 = -1+1 = 0.$$ 

O número $2$ não é raiz de $p(x)$ pois $p(2) = 3 \cdot 2+1 = 7  \neq 0$.

2. O polinômio $f(x) = x^3+3x^2-4$ possui o número $1$ como raiz pois 

$$f(1) = 1^3+3\cdot1^2-4 = 1+3-4 = 0.$$

O número $-2$ também é raiz do polinômio $f(x)$,

$$f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 4 = -8 +12 - 4 = 0.$$

Por outro lado, $x=3$ não é raiz de $f(x)$

$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 4 = 27 + 27 -4 = 50.$$

3. Os números $1$, $3$ e $4$ são raízes do polinômio 

$$h(x) = -3x^5+24x^4 - 60x^3 + 60x^2-57x+36.$$

De fato,

\begin{eqnarray} h(1) &=& -3 \cdot 1^5+24 \cdot 1^4 - 60 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1^2-57 \cdot 1 + 36 \\ &=& -3+24-60+60 -57+36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(3) &=& -3 \cdot 3^5+24 \cdot 3^4 - 60 \cdot 3^3 + 60 \cdot 3^2-57 \cdot 3 + 36 \\ &=& -3 \cdot 243+24 \cdot 81 -60 \cdot 27 +60 \cdot 9 -57 \cdot 3+36 \\ &=& -729 + 1944 - 1620+540-171 + 36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(4) &=& -3 \cdot 4^5+24 \cdot 4^4 - 60 \cdot 4^3 + 60 \cdot 4^2-57 \cdot 4 + 36 \\ &=& -3 \cdot 1024+24 \cdot 256 -60 \cdot 64 +60 \cdot 16 -57 \cdot 4+36 \\ &=& -3072 + 6144 - 3840+960-228 + 36 = 0  \end{eqnarray}

Nos exemplos acima podemos ver que um polinômio pode ter mais de uma raiz. Mas, também existem polinômios que não possuem raízes.

4. Seja $g(x) = x^2 +1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. É fácil ver que esse polinômio não possui raízes em $\mathbb{R}$. Observe que $x^2$ é sempre maior ou igual a $0$ qualquer que seja $x$ e, assim, ao somar $x^2$ com $1$, é impossível que essa soma resulte em zero para algum $x$.

Essa questão de um polinômio possuir ou não uma raiz não depende somente do polinômio propriamente dito mas também do conjunto no qual ele está definido ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

5. O polinômio $g(x) = x^2 +1$, do exemplo anterior, considerado sobre $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$. De fato,

$$g(i) = i^2 +1 = -1 +1 = 0 \mbox{ e}$$

$$g(-i) = (-i)^2 +1 = -1 +1 = 0.$$

Podemos ainda ter casos de polinômios com uma certa quantidade de raízes sobre $\mathbb{R}$ e outra quantidade de raízes em $\mathbb{C}$.

6. Considere o polinômio $f(x) = x^3 +4x$. Sobre $\mathbb{R}$, para $x = 0$, temos que 

$$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 = 0$$

e essa é a única raiz de $f(x)$  em $\mathbb{R}$. Mas, quando consideramos $f(x)$ como um polinômio sobre $\mathbb{C}$, além de $0$, ele possui mais duas raízes, a saber, os números $2i$ e $-2i$. De fato,

$$f(2i) = (2i)^3+4 \cdot 2i = -8i + 8i = 0 \mbox{ e}$$

$$f(-2i) = (-2i)^3 + 8 \cdot (-2i) =  8i - 8i = 0.$$

Com esses exemplos, dado um polinômio, podemos perceber que ele pode ter nenhuma, uma ou mais raízes e isso ainda depende do conjunto no qual ele está definido. Dessa observação, podemos fazer a seguinte pergunta: Conhecendo o polinômio, tem como saber quantas raízes distintas ele vai ter? A resposta é: em geral, não. Mas podemos saber quantas raízes distintas ele vai ter, no máximo. O que é garantido pelo seguinte teorema.

Teorema: Seja $p(x)$ um polinômio definido sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) que possui grau $n \geq 0$. Então $p(x)$ possui, no máximo, $n$ raízes distinhas em $\mathbb{K}$.

Vamos ver alguns exemplos:

7. O polinômio $p(x) = x^2 - 1$ sobre sobre $\mathbb{R}$ possui grau $2$, assim, pelo teorema anterior ele possui, no máximo, duas raízes distintas.

8. O polinômio $f(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 8$ sobre $\mathbb{R}$ possui, no máximo, $5$ raízes distintas pois seu grau é $5$.

9. O polinômio $g(x) = 3x^7-\sqrt{3}x^6 - x^2 + 1$ sobre $\mathbb{R}$ possui no máximo $7$ raízes distintas.

10. O polinômio $h(x) = -3x^4 + (1+i)x^3 - 4x$ sobre $\mathbb{C}$ possui, no máximo, $4$ raízes distintas.

Especificamente, a respeito de polinômios sobre $\mathbb{C}$, temos os seguintes teoremas

Teorema: Todo polinômio sobre $\mathbb{C}$ possui pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.

Esse teorema mostra uma diferença importante entre polinômios sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{C}$. Como vimos no exemplo 4, nem todo polinômio sobre $\mathbb{R}$ possui raízes, mas, em $\mathbb{C}$ isso não ocorre.

Agora que sabemos o que é uma raiz e também quantas raízes, no máximo, um polinômio pode ter, vamos estudar uma propriedade importante das raízes de um polinômio, a qual é dada pelo seguinte teorema.

Teorema: Considere um polinômio $p(x)$ sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então o polinômio $x-a$ divide o polinômio $p(x)$. Em outras palavras, podemos escrever $p(x)$ na forma:

$p(x) = (x-a)q(x)$ onde  $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{K}$. 

Em outras palavras, o teorema acima diz que, se $a$ é a uma raiz de $p(x)$, então, dividindo $p(x)$ por $x-a$ obtem-se o resto da divisão igual a zero. 

Vamos ver alguns exemplos (todos os polinômios dos exemplos estão sobre $\mathbb{R}$):

11. Temos que $1$ é raiz de $p(x) = x^2-1$. De fato, $p(1) = 1^2 - 1 = 0$. Desse modo, pelo teorema anterior, temos que $x-1$ divide o polinômio $p(x)$. Isso realmente acontece, é fácil ver que 

$$x^2-1 = (x-1)(x+1).$$

(comparando esse exemplo com o teorema anterior, tem-se $q(x) = x+1$).

12. Considere o polinômio $f(x) = x^3+x^2-8x-12$. Note que $x = 3$ é raiz desse polinômio pois

\begin{eqnarray} f(3) &=& 3^3 + 3^2 -8 \cdot 3 -12 \\ &=& 27 + 9 - 24 - 12 \\ &=& 0. \end{eqnarray}

Assim, pelo teorema anterior $x-3$ divide $f(x)$. De fato isso ocorre, como podemos ver a seguir

Podemos então escrever $x^3+x^2-8x-12 = (x-3)(x^2+4x+4)$.

13. Seja $h(x) = x^4+x^3+x^2+x$. Temos que

\begin{eqnarray} h(-1) = (-1)^4+(-1)^3+(-1)^2 + (-1) \\ &=& 1-1+1-1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}.

Logo, $x=-1$ é raiz de $h(x)$. Portando, o polinômio $x-(-1) = x+1$ divide $h(x)$. De fato,

Podemos escrever então $x^4+x^3+x^2+x = (x+1)(x^3+x)$.

Acredito que podemos encerrar essa postagem por aqui. Já sabemos o que é uma raiz de um polinômio e também conhecemos uma importante propriedade das raízes. Agora podemos caminhar no sentido de encontrarmos as raízes de um dado polinômio. Faremos isso nas próximas postagens.

Resumo da postagem em vídeo:

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Polinômios #5: Algoritmo da divisão para polinômios

Nas postagens anteriores já falamos de soma, subtração e multiplicação de polinômios e, agora, chegou a vez de falarmos da divisão de polinômios. A divisão de polinômios ficou para depois pois precisamos da definição de grau para para explorarmos bem as características da divisão de polinômios. A divisão de polinômios costuma a assustar um pouco as pessoas pois parece uma coisa complicada, mas na verdade não é. Nessa postagem vamos falar do Algoritmo da Divisão para polinômios que é o teorema que garante a possibilidade de se fazer a divisão e, depois disso, vamos ver exemplos de como se fazer a divisão de polinômios. Vamos lá!

Algoritmo da divisão para polinômios

Antes de fazermos os exemplos de divisão de polinômios, vamos abordar a teoria por trás dessa operação. Vamos ver agora o teorema chamado Algoritmo da Divisão para polinômios, que também é conhecido como Algoritmo de Euclides para polinômios. Esse teorema nos garante que sempre é possível dividir um polinômios por outro, que não seja nulo.

Teorema: (Algoritmo da Divisão para polinômios) Dados os polinômios $f(x)$ e $g(x)$ (sobre $\mathbb{R}$ ou sobre $\mathbb{C}$) com $g(x) \neq 0$, então existem polinômios $q(x)$ e $r(x)$ (sobre o mesmo conjunto nos quais $f(x)$ e $g(x)$ estão) tais que $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$. Além disso, os polinômios $q(x)$ e $r(x)$ são únicos.

Observação: Os polinômios $q(x)$ e $r(x)$ do teorema anterior são chamado de  quociente e resto, respectivamente, da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. Também chamamos o polinômio $f(x)$ de dividendo e o polinômio $g(x)$ de divisor.

Em outras palavras, o que o Algoritmo da Divisão para polinômios está nos dizendo é o seguinte, se você tem dois polinômios $f(x)$ e $g(x)$, com $g(x) \neq 0$, e precisa dividir $f(x)$ por $g(x)$, então você conseguirá encontrar um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$, únicos, tais que $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$. 

No caso em que, na divisão de $f(x)$ por $g(x)$ obtivermos $r(x) = 0$, ou seja, o resto da divisão é o polinômio nulo, dizemos que $g(x)$ divide $f(x)$. 

O Algoritmo da Divisão para polinômios nos garante que sempre é possível fazer a divisão de um polinômio por outro não nulo, porém ele não nos apresenta nenhuma forma de encontrarmos o quociente $q(x)$ e o resto $r(x)$. A seguir veremos exemplos de como dividir dois polinômios e obtermos o quociente e o resto dessa divisão.

Exemplos: 

1. Calcule o quociente e o resto na divisão de $f(x) = x^3-2x^2+x + 4$ por $g(x) = x+2$.

Solução: Começaremos a fazer esta divisão montando a chave com os polinômios, da seguinte forma:

Depois de montarmos a chave, vamos começar a determinar o quociente $q(x)$ que vai estar na seguinte posição na chave:

Para começarmos a calcular o quociente, precisamos olhar o primeiro termo de $f(x)$ e o primeiro termo de $g(x)$, que são, respectivamente, $x^3$ e $x$. Tendo identificados esses temos, temos que encontrar um termo de $q(x)$ tal que, este termo multiplicado por $x$, seja igual a $x^3$ (isto é, o primeiro termo de $q(x)$ deve ser o termo que multiplicado pelo primeiro termo de $g(x)$ seja igual ao primeiro termo de $f(x)$). Podemos perceber que o primeiro termo de $q(x)$ será então $x^2$, pois, $x^3 = x^2 \cdot x$. Agora que determinamos o primeiro termo de $q(x)$, vamos começar a escrever o $q(x)$. 

Agora vamos multiplicar $x^2$ por $g(x) = x+2$ e vamos colocar o resultado em baixo de $f(x)$, da direita para a esquerda, de modo que as mesmas potências de $x$ fiquem uma em baixo da outra. Veja que $x^2(x+2) = x^3 + 2x^2$.

Agora vamos fazer  $f(x) - (x^3  + 2x^2)$.

Depois de efetuarmos a subtração, encontramos o polinômio $-4x^2+x+4$. Vamos continuar obtendo o quociente $q(x)$ da seguinte forma, vamos determinar o próximo termo de $q(x)$ tal que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x+2$, se obtenha o primeiro termo de $-4x^2+x+4$. Isto é, queremos encontrar um outro termo de $q(x)$ tal que, ele vezes $x$ seja igual a $-4x^2$. Logo, este termo que estamos procurando é igual a $-4x$. Vamos colocar esse termo logo após $x^2$ do quociente.

Agora, vamos multiplicar $-4x$ por $x+2$, que é igual a $-4x^2-8x$, e colocar em baixo de $-4x^2+x+4$, da direita para a esquerda, de modo que as mesmas potências de $x$ fiquem uma em baixo da outra.

Vamos fazer a subtração $-4x^2 + x + 4 - (-4x^2-8x)$.

Agora nós temos o polinômio $9x+4$. Para prosseguir determinando $q(x)$, devemos encontrar outro termo do polinômio $q(x)$ tal que, este termo multiplicado pelo primeiro termo de $x+2$ seja igual ao primeiro termo de $9x+4$, isto é, o próximo termo de $q(x)$ é tal que ele vezes $x$ é igual a $9x$. Claramente, ele é igual a $9$. Vamos colocá-lo em sequência em $q(x)$.

O próximo passo agora é multiplicar $9$ por $x+2$ e colocar em baixo de $9x+4$ e subtrair um do outro. Note que $9(x+2) = 9x+18$.

Assim, chegamos ao $-14$ e paramos o processo de divisão. Temos que parar por aqui por que chagamos a um resultado das subtrações que possui grau menor que o dividendo, o polinômio $g(x)$. Observe que $gr(-14) = 0$ e $gr(x+2) =1$. Logo, $r(x) = -14$ é o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ e $q(x) = x^2-4x+9$ é o quociente, pelo Algoritmo da Divisão para polinômios podemos escrever

$$x^3-2x^2+x+4 = (x+2) \cdot (x^2-4x+9) + (-14).$$

O exemplo anterior foi feito de forma bem detalhada. Vamos fazer o próximo exemplo com menos detalhes pois, como é a mesma operação de divisão de polinômios, será feita de modo análogo ao primeiro exemplo.

2. Calcule o quociente e o resto na divisão de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$ por $g(x) = x^2-2x-3$.

Solução: Assim como no início do exemplo anterior, vamos montar a chave com os polinômios do enunciado onde $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$ é o dividendo e $g(x) = x^2-2x-3$ é o divisor.

O primeiro termo do quociente $q(x)$ é o termo que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x^2-2x-3$ é igual ao primeiro termo de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$. Desse modo, temos que o primeiro termo de $q(x)$ é $2x^3$, visto que $2x^3 \cdot x^2 = 2x^5$. Tendo determinado o primeiro termo de $q(x)$, vamos multiplicar esse termo por $g(x) = x^2-2x-3$ e vamos subtrair o resultado de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$. Assim vamos obter,

Como resultado da subtração feita anteriormente obtivemos o polinômio $5x^4+7x^3-2x^2$. Assim, o próximo termo de $q(x)$ é tal que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x^2-2x-3$ obtém-se o primeiro termo de $5x^4+7x^3-2x^2$ . Assim, esse próximo termo é igual a $5x^2$ pois $5x^4 = 5x^2 \cdot x^2$. Vamos colocar este termo em sequência no quociente, multiplicar $g(x) = x^2-2x-3$ e subtrair de $5x^4+7x^3-2x^2$. Desse modo, vamos ter,

Nessa última subtração ficamos com o polinômio $17x^3+13x^2+x$. Vamos continuar a divisão. Lembre-se do que vimos no primeiro exemplo, só paramos a divisão quando tivermos como resultado de uma subtração um polinômio com grau menor que o grau do divisor $g(x)$, ou seja, menor que $2$. O próximo termo de $q(x)$ é tal que, multiplicado por $x^2$, obtém-se $17x^3$. Assim, vemos que este termo é $17x$. Vamos colocar este termo na sequência do quociente, multiplicá-lo por $g(x) = x^2-2x-3$ e subtrair o resultado de $17x^3+13x^2+x$. Sendo assim, temos,

Essa última subtração ainda não tem resultado com grau menor que o grau do divisor, então vamos continuar a divisão. O próximo termo de $q(x)$, quando multiplicado por $x^2$, deve ser igual a $47x^2$. Sendo assim, esse termo é igual a $47$. Assim, a continuação da divisão fica com a forma

 Agora sim acabou a divisão. Observe que o resultado da última subtração é  $146x-137$ que possui grau$1$ e, por sua vez, é menor que $2$ que o grau de $g(x) = x^2-2x-3$. Portanto o quociente da divisão é $q(x) = 2x^3 + 5x^2 + 17x+47$ e o resto é $r(x) = 146x + 137$. Pelo Algoritmo da Divisão para polinômios também podemos escrever

$$2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4 = (x^2-2x-3) \cdot (2x^3 + 5x^2 + 17x+47) + 146x + 137.$$ 

Vamos para mais um exemplo.

3. Verifique se o polinômio $x-1$ divide o polinômio $x^3-1$.

Solução: Acima no texto está a definição de quando um polinômio divide outro, que nos diz que isso ocorre se o resto da divisão for igual a zero. Assim, o exercício acima pode ser reescrito acima como: Verifique se o resto da divisão de $x^3-1$ por $x-1$ é igual a $0$. Para verificar isso, vamos efetuar a divisão de $x^3-1$ por $x-1$. Antes disso, observe que $x^3-1$ não está na forma "completa" como os polinômios dos exemplos anteriores, ou seja, ele não possui os termos onde $x$ possui potências $2$ e $1$. Para evitar erros na divisão de um polinômio assim, complete-o com zeros, isto é, o escreva na forma $x^3 + 0x^2 + 0x -1$. Tendo observado isso, vamos fazer a divisão.

A partir de agora, vamos seguir de forma análoga aos exemplos anteriores. Observe que $x^2 \cdot x = x^3$, assim, o primeiro termo do quociente é igual a $x^2$. Multiplicando $x^2$ por $x-1$ vamos ter

Continuando a divisão, o próximo termo do quociente é $x$, pois $x \cdot x = x^2$. Multiplicando $x$ por $x+1$ e subtraindo o resulta de $x^2$ vamos ter

Agora, podemos perceber que o último termo do quociente é $1$, pois $1 \cdot x = x$. Multiplicando $1$ por $x-1$ e subtraindo esse polinômio de $x-1$ vamos ter

A última subtração teve como resulta o $0$, assim a divisão acabou com  resto igual a  $0$. Portanto, o polinômio $x-1$ divide o polinômio $x^3-1$. Além disso, o quociente dessa divisão é $q(x) = x^2+x+1$. Também podemos escrever

$$x^3-1 = (x-1) \cdot (x^2+x+1).$$

Exemplo em vídeo:

Viu só como não é difícil dividir polinômios? Basta repetir o mesmo processo visto nestes três exemplos para dividir quaisquer dois polinômios, com o divisor não nulo.

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Polinômios #4: Grau de um polinômio

Chegamos à quarta postagem sobre polinômios. Já vimos a definição de polinômio e também as operações de soma, subtração e multiplicação com os polinômios. Nessa postagem vamos tratar de outra característica importante dos polinômios, o seu grau. Também nessa postagem vamos estudar as propriedades do grau de um polinômios que estão relacionadas com as operações de soma e de multiplicação. Vamos lá!

Grau de um polinômio

Vamos à definição de grau de um polinômio.

Definição: Considere um polinômio não nulo qualquer (sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$)

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0.$$

O grau do polinômio $p(x)$ é o maior expoente que aparece nas potências de $x$ que estão no polinômio, ou seja, o grau de $p(x)$ é igual a $n$. Para denotar o grau de $p(x)$ usamos a notação $gr(p(x)) = n$. O coeficiente que acompanha o $x^n$ (o $x$ que possui o maior expoente na potência), isto é, o coeficiente $a_n$ é chamado termo dominante de $p(x)$.

Observação: Um polinômio é dito nulo se ele é o polinômio constante igual à zero, ou seja, ele possui a forma $p(x) = 0$. A definição acima só é aplicada a polinômios não nulos. Não definimos grau para o polinômios nulo, isto é, o polinômio nulo não possui grau e, consequentemente, não possui termo dominante.

Vamos ver alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus e termos dominantes.

Exemplos: 

1. Qualquer polinômio na forma $p(x) = a$, com $a$ constante, possui grau igual a $0$ e seu termo dominante é igual a $a$ (nos polinômio $x^0$ = 1 e, isso ocorre mesmo no caso em que $x=0$). 

2. O polinômio $p(x) = x+1$ possui grau igual a $1$ e termo dominante igual a $1$.

3. No polinômio $f(x) = -3x^4 + 3x^2 -x- 10$ temos $gr(f(x)) = 4$ e seu termo dominante é igual a $-3$.

4. No polinômio $g(x) = 7x^5+1$ temos $gr(g(x)) = 5$ e seu termo dominante é igual a $7$.

5. O polinômio $h(x) = 8x^7-x^6+2x^5-3x^4-x^3+10x^2+x+1$ possui grau igual a $7$ e seu termo dominante é igual a $8$.

Sabendo o que é grau e termo dominante de um polinômio, vamos ver agora as propriedades do grau de um polinômio com relação às operações de soma e multiplicação. Essas propriedades são dadas pelo seguinte teorema:

Teorema: Sejam $p$ e $q$ polinômios não nulos sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$. Valem as seguintes afirmações:

(a) $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$ vale a igualdade.

O item (a) está dizendo que o grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ e que a igualdade ocorre, isto é, o grau da soma será igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$.

(b) $gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x))$.

O item (b) está dizendo que o grau do produto de dois polinômios é igual à soma dos seus graus.

Observação: O item (a) continua verdadeiro se trocarmos o sinal de $+$ pelo sinal de $-$.

Vamos entender, por meio de exemplos, como que funciona o teorema anterior.

Exemplos:

6. Considere os polinômios $p(x) = 4x^3-3x^2+x-1$  e $q(x) = -2x^3+2x+2$. Veja que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 3$. Somando estes dois polinômios vamos obter o polinômio $f(x) = 2x^3-3x^2+3x+1$. Observe que o grau de $f(x)$ é igual a $3$ e, assim, observando que $\max\{gr(p(x)), gr(q(x))\} = \max\{3,3\} = 3$, vale o que está no item (a) do teorema anterior, isto é, $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$, pois $3 \leq 3$. Observe inda que, a igualdade só ocorreu, mesmo sendo os graus de $p(x)$ e $q(x)$ iguais, pois os termos dominantes desses polinômios não são um oposto do outro. Isso nem sempre ocorre. O teorema garante a igualdade quando os graus dos polinômios são diferentes.

7. Considere os polinômios $f(x) = x^4 +x^2-3x-10$ e $g(x) = -x^4 + x^3+2x+8$. Nesse exemplo temos $gr(f(x)) = 4$ e $gr(g(x)) = 4$. Somando esses dois polinômios, vamos obter o polinômio $h(x) = x^3 +x^2-x-2$. Note que $gr(h(x)) = 3$. Temos aqui o item (a) verificado, isto é, $gr(f(x) + g(x)) = gr(h(x)) = 3$ e $\max\{f(x),g(x)\} = \max\{4,4\} = 4$, ou seja, $gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\}$ (3 \leq 4). Aqui nesse exemplo a igualdade não foi verificada pois os polinômios possuem o mesmo grau e seus termos dominantes são números opostos.

Observando os dois exemplos acima, conseguimos entender por que, em geral, vale $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e não a igualdade $gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$. A igualdade só pode ser garantida se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$. Vamos ver isso no próximo exemplo.  

8. Considere os polinômios $p(x) = x^5 - x+10$ e $q(x) = -x^4 + x^2 -1$. Temos que $gr(p(x)) = 5$ e $gr(q(x)) = 4$. Somando $p(x)$ com $q(x)$ vamos obter $f(x) = x^5 - x^4 + x^2 -x + 9$. Como os graus são diferentes, é impossível que, ao somarmos $p(x)$ com $q(x)$, o termo $x^5$ de $p(x)$ se anule com algum termo de $q(x)$, visto que o maior expoente de $x$ que aparece em $q(x)$ é o $4$. Logo vale $5 = gr(f(x)) = gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x)),gr(q(x))\} = \max\{5,4\}$.

9. Considere os polinômios $p(x) = x^3-2x+1$ e $q(x) = x^4+2$. Temos que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 4$. Calculando a diferença entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ vamos obter o polinômio $f(x) = -x^4 x^3 -2x -1$. O teorema anterior também é verificado para a diferença, veja que $gr(p(x)+q(x)) = 4$ e $\max\{p(x),q(x)\} = \max\{3,4\} = 4$, ou seja, temos exatamente, $gr(p(x)+q(x)) \leq \max\{p(x),q(x)\}$. Nesse exemplo, temos também que $gr(p(x)+q(x)) = \max\{p(x),q(x)\}$, visto que $gr(p(x)) = gr(q(x))$. 

10. A propriedade de grau com relação à multiplicação de polinômios é bem mais fácil de ser usada. Considere os polinômios $f(x) = x^3-1$ e $g(x) = x^2+x-1$. Note que $gr(f(x)) = 3$ e $gr(g(x)) = 2$. Pelo teorema anterior temos que $gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 3 + 2 = 5$. Fazendo a multiplicação de $f(x)$ por $g(x)$ vamos ter $f(x) \cdot g(x) = x^5+x^4-x^3+x^2+x-1$. O teorema está verificado. Isso ocorre pois o termo dominante da multiplicação de dois polinômios é a multiplicação dos respectivos termos dominantes e o expoente do $x$ que vai estar com esse coeficiente é o expoente que aparece como resultado de $x^3 \cdot x^2$, ou seja, $x^5$.

Quando se conhece os polinômios, para encontrar o grau da soma, da subtração ou da multiplicação, basta fazer essas operações e ver qual é o grau do polinômios resultante, assim, as regras para se obter o grau vistas no teorema anterior não se tornam, digamos, tão importantes. Porém isso não as tornam inúteis, elas são muito úteis quando precisamos saber o grau do resultado da soma, subtração ou multiplicação de polinômios onde não conhecemos os polinômios mas somente os seus graus. A seguir veremos alguns exemplos disso.

11. Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ onde $gr(p(x)) = 4$ e $gr(q(x)) = 2$. Determine o grau de $p(x) + q(x)$ e de $p(x) \cdot q(x)$.

Solução: Para resolver essa questão, basta usar o teorema anterior. Como $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$, então,

$$gr(p(x) + q(x)) = \max\{p(x),q(x)\} = \max\{4,2\} = 4.$$

Para a multiplicação, temos

$$gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) = 4 + 2 = 6.$$

12. Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios tais que $gr(f(x)) = gr(g(x)) = 6$. O que podemos afirmar sobre os graus de $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$ e de $f(x) \cdot g(x)$?

Solução: Como $gr(f(x)) = gr(g(x))$, sobre $gr(f(x) + g(x))$, podemos afirmar que 

$$gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ 

isto é, $gr(f(x)+gr(g(x))) \leq 6$. Sobre $f(x) - g(x)$ podemos afirmar que 

$$gr(f(x) - g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ isto é, $gr(f(x)-gr(g(x))) \leq 6$. Para a multiplicação, temos

$$gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 6+6 = 12.$$

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #3: Multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades

No último post estudamos a operação de soma (adição) de polinômios e suas propriedades, agora, para dar sequência ao estudo de polinômios, nesse post, vamos estudar a operação de multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades. Para compreender bem como se faz a multiplicação de polinômios é importante lembrar das propriedades algébricas dos números reais (que são as mesmas dos números complexos) e também da propriedades de potenciação. Esses assuntos foram abordados anteriormente aqui no blog. Se for necessário, faça uma revisão desses assuntos. Acho que já podemos começar a falar da multiplicação de polinômios. Vamos lá!

Multiplicação (produto) de polinômios

A seguir vamos ver a definição formal do que é a multiplicação de polinômio, depois disso, vamos ver como essa operação entre polinômios funciona na prática.

Definição: Considere os seguintes polinômios (sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$),

$$p(x) = a_nx^n + a^{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0.$$

A multiplicação (produto) de $p(x)$ por $q(x)$, denotada por $p(x) \cdot q(x)$, é definida por

$$p(x) \cdot q(x) = \sum_{k=1}^{n+m}c_kx^k \mbox{ onde } c_k = \sum_{i+j = k} a_ib_j.$$

Como eu escrevi acima, essa é a definição formal. Ela parece um pouco complicada, mas não é. Vamos esmiuçar um pouco essa definição para a compreendermos melhor.

A definição nos diz que o produto $p(x) \cdot q(x)$ é um polinômio na forma 

$$p(x) \cdot q(x) = c_{n+m}x^{m+n} + \cdots + c_1x + c_0$$

onde, 

\begin{eqnarray} c_0 &=& a_0b_0 \\ c_1 &=& a_0b_1 + a_1b_0 \\ c_2 &=& a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ c_3 &=& a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 \\ & \vdots & \\ c_{n+m} &=& a_nb_m   \end{eqnarray}

Isto é, os coeficientes $c_k$ do produto $p(x) \cdot q(x)$ são formados pela soma dos termos $a_ib_j$ onde $i+j = k$.

Olhando para essa definição temos a sensação de que parece tudo muito complicado, mas calma, não é nada complicado. Essa definição somente formaliza o que fazemos na prática para multiplicar dois polinômios, ou seja, a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule $p(x) \cdot q(x)$ onde $p(x) = x-1$ e $q(x) = x^2+2x+3$.

Solução: Vamos resolver esse exemplo de duas formas. Vamos primeiramente resolver usando a definição e depois usando a propriedade distributiva da multiplicação. Isso para podermos verificar que a definição corresponde exatamente com o uso da propriedade distributiva.

Pela definição: Temos que $a_1 = 1$ e $a_0 = -1$ em $p(x)$ e $b_2 = 1$, $b_1 = 2$ e $b_0 = 3$ em $q(x)$. Desse modo, pela definição, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& (1 \cdot 1)x^{1+2} + ((-1)\cdot 1 + 1 \cdot 2 )x^{2} + ((-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3)x + (-1) \cdot 3 \\ &=& x^3 + (-1+2)x^2 + (-2+3)x + (-3) \\ &=& x^3 + x^2 + x -3.  \end{eqnarray}

Usando a distributiva: Para usar a distributiva, basta pegar o primeiro termo de $p(x)$ e multiplicar por todos os termos de $q(x)$, lembrando de fazer o jogo de sinal, depois multiplicar o segundo termo de $p(x)$ por todos os termos de $q(x)$ e assim por diante, até acabarem o termos de $p(x)$.

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& x\cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot x^2 -1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 \\ &=& x^3 + 2x^2 + 3x -x^2 - 2x -3 \\ &=& x^3 +x^2 + x -3. \end{eqnarray}

Viu só? Os resultados foram os mesmos. Daqui em diante usaremos somente a distributiva para fazer a multiplicação de polinômios por ser mais simples e mais intuitiva. Vamos continuar com os exemplos.

2. Efetue o produto dos polinômios $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x -1$ e $g(x) = 5x^2 +1$.

Solução: Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos,

\begin{eqnarray} f(x) \cdot g(x) &=& (4x^3 - 3x^2 + x -1) \cdot (5x^2 +1) \\ &=& 4x^3 \cdot 5x^2 + 4x^3 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 5x^2 - 3x^2 \cdot 1 + x \cdot 5x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot 5x^2 - 1 \cdot 1 \\ &=& 20x^5 + 4x^3 - 15 x^4 - 3x^2 + 5x^3 + x - 5x^2 -1 \\ &=& 20x^5 - 15x^4 + 9x^3-8x^2+ x -1.\end{eqnarray}

3. Calcule o produto dos polinômios $p(x) = x^2+x+2$ e $q(x) =  -2x^2 +3x-1$.

Solução: Fazendo como no exemplo anterior, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x^2+x+2)  \cdot (-2x^2 +3x-1) \\ &=& x^2 \cdot (-2x^2) + x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot (-1) + x \cdot (-2x^2) + x \cdot 3x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-2x^2) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-1) \\ &=& -2x^4 + 3x^3-x^2-2x^3+ 3x^2-x - 4x^4+ 6x -2 \\ &=& -2x^4 +x^3 +2x^2+5x -2.\end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

A seguir estão algumas propriedades da multiplicação de polinômios. Elas podem ser usadas sempre que necessário.

Propriedades: Dados os polinômios $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ valem:

(i) $(f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x) = f(x) \cdot (g(x) \cdot h(x))$ (associatividade da multiplicação);

(ii) $f(x) \cdot g(x) = g(x) \cdot f(x)$ (comutatividade da multiplicação);

(iii) O polinômio $p(x) = 1$ é o elemento neutro da multiplicação de polinômios pois,

\begin{eqnarray} p(x) \cdot f(x) &=& 1 \cdot f(x) = f(x) \\ f(x) \cdot p(x) &=& f(x) \cdot 1 = f(x). \end{eqnarray}

(iv) Dado um polinômio $p(x)$ qualquer, em geral, ele não possui um inverso multiplicativo, isto é, não existe um polinômio $q(x)$ tal que $p(x) \cdot q(x) = 1$. Os polinômios que possuem inversos multiplicativos são somente os polinômios constantes não nulos, ou seja, diferente de zero. Dado um polinômio constante não nulo $p(x) = a$, este possui inverso multiplicativo $q(x) = \displaystyle\frac{1}{a}$. Por exemplo, se $p(x) = 5$, seu inverso multiplicativo é o polinômio $q(x) = \displaystyle\frac{1}{5}$.

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Polinômios #2: Soma (adição) de polinômios e suas propriedades

 Na postagem anterior vimos uma maneira de se definir os polinômios. A partir dessa postagem vamos começar a falar sobre as operações com polinômios, que são, soma (adição), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão. Dessas quatro operações, abordaremos na sequência as três primeiras e a operação de divisão de polinômios ficará mais para frente. Nessa segunda postagem vamos definir a soma de polinômios e estudaremos as suas propriedades. Vamos lá!

Soma (adição) de polinômios e suas propriedades

Considere $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios, onde

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0$$

com $n,m \in \mathbb{N}$ podendo ser, eventualmente, diferentes. Vamos considerar esse polinômios com coeficientes em $\mathbb{R}$ ou em $\mathbb{C}$ (independentemente de onde estiverem os coeficientes desses polinômios, a definição da soma será a mesma). 

Definição: Dados os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ como acima, definimos a soma (adição) de $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) + q(x)$, em três casos diferentes

• Se $n < m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + b_nx^n + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + (a_n + b_n)x^n + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0);  \end{eqnarray}

• Se $n=m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1} + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0);  \end{eqnarray}

• Se $n > m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + a_mx^m+ \cdots + a_1x + a_0 + b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} +  \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + (a_m + b_m)x^m + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0).  \end{eqnarray}

A definição acima está bem formal, mas para não ficarmos decorando ou complicando muito as coisas, para somar dois polinômios, basta somar os coeficientes que acompanham a mesma potência de $x$, ou seja, devemos somar o termo independente de $p(x)$ com o termo independente de $q(x)$, o coeficiente de $x$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x$ em $q(x)$ e multiplicar por $x$, o coeficiente de $x^2$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x^2$ de $q(x)$ e multiplicar por $x^2$ e assim por diante. Isto é, exatamente, somar os temos que são semelhantes. Caso se tenha um $a_r$, coeficiente de $x^r$, em $p(x)$ e não se tenha $x^r$ em $q(x)$, basta considerar o $x^r$ com coeficiente igual a $0$ em $q(x)$. O contrário também pode ser feito. 

Para essa definição ficar mais clara, vamos fazer alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule a soma de $p(x) = 3x^2+x-1$ e $q(x) = -2x^2+3x+5$.

Solução: Seguindo a definição acima, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^2+x-1) + (-2x^2+3x+5) \\ &=& 3x^2+x-1  -2x^2+3x+5 \\ &=& (3+(-2))x^2 + (1+3)x + (-1+5) \\  &=& x^2 + 4x + 4. \end{eqnarray}

Observe que este é o caso onde $m=n=2$. Note também que o termo $x^r$ num polinômio possui coeficiente igual a $1$.

2. Calcule $p(x) + q(x)$ onde $p(x) = 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2$ e $q(x) = x^2-9x-1$.

Solução: Esse é o caso onde $n=4$ e $m=2$, ou seja, $n > m$. Assim, não temos em $q(x)$ termos com $x^4$ e $x^3$ e, sendo assim, eles podem ser considerados em $q(x)$ como possuindo coeficientes iguais a $0$.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2) + (x^2-9x-1) \\ &=& 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2 + x^2-9x-1 \\ &=& 3x^4 + x^3 + (-5+1)x^2 + (4-9)x + (-2+ (-1))  \\ &=& 3x^4+x^3 + (-4)x^2 + (-5)x + (-3) \\ &=& 3x^4+x^3-4x^2-5x-3.   \end{eqnarray}

3. Calcule a soma de $f(x) = x+1$ e $g(x)=x^3+2x^2-4x+8$.

Solução: Esse é o caso em que $n=1$ e $m=3$, ou seja, $n < m$. Note que em $f(x)$ não há termos com $x^3$ ou $x^2$, desse modo, seus coeficientes são considerados como sendo iguais a $0$. Fazendo a soma, temos

\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x+1) + (x^3+2x^2-4x+8) \\ &=& x+1 + x^3+2x^2-4x+8 \\ &=& x^3 + 2x^2 + (1+(-4))x + (1+8) \\ &=& x^3 + 2x^2 + (-3)x + 9 \\ &=& x^3 + 2x^2 -3x + 9.   \end{eqnarray}

4. Sejam $f(x) = x^5 -3x^3+x^2+5x$ e $g(x) = x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4$. Calcule $f(x) + g(x)$.

Solução: Em $f(x)$ não temos termos com $x^6$, $x^4$ e nem o termo independente, ou seja, ele é igual a $0$ e em $g(x)$ não temos termos com $x^5$, $x^2$ e $x$. Logo, nos respectivos polinômios, os coeficientes desses termos são iguais a $0$. Assim, 

\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x^5 -3x^3+x^2+5x) + (x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4) \\ &=& x^5 -3x^3+x^2+5x + x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-3+(-1))x^3 + (1+10)x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-4)x^3 + 11x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4-4x^3 + 11x^2 +5x+4.    \end{eqnarray}

5. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^4 -3x^3-4x+2$ e $q(x) = -2x^3+x^2+10x$. 

Solução: Vamos fazer esse exemplo mais rápido, vamos simplesmente somar os termos semelhantes diretamente.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^4 -3x^3-4x+2 + (-2x^3+x^2+10x) \\ &=& x^4 -3x^3-4x+2 -2x^3+x^2+10x \\ &=& x^4 -5x^3 + x^2+6x+2.  \end{eqnarray}

6. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^6 - 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5$ e $q(x) = 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1$. 

Solução: Vamos proceder como no exemplo anterior.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + (3x^4+x^3 -4x^2+10x+1) \\ &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1 \\ &=& x^6 -7x^3 - x^2+11x-4.  \end{eqnarray}

Vamos ver agora algumas propriedades da soma de polinômios.

Propriedades:

Dados $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ polinômios quaisquer, valem as seguintes propriedades:

(i) $f(x) + g(x) = g(x) + f(x)$ (a soma é comutativa);

(ii) $(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))$ (a soma é associativa);

(iii) Existe um elemento neutro para a soma de polinômios. Esse elemento é o polinômio $p(x) = 0$, ou seja, é o polinômio constante igual a $0$. Tal polinômio é chamado de polinômio nulo. Ele possui a seguinte propriedade:

$$p(x) + f(x) = f(x) \mbox{ e } f(x) + p(x) = f(x)$$

para qualquer que seja $f(x)$.

(iv) Para cada polinômio $f(x)$ existe um polinômio $q(x)$ tal que $f(x) + q(x) = 0$ e $q(x) + f(x) = 0$, isto é, $q(x)$ somado com $f(x)$, em ambos os lados, é igual ao polinômio nulo. O polinômio $q(x)$ é chamado oposto de $f(x)$. Para obter o polinômio $q(x)$ (oposto de $f(x)$), basta fazer o seguinte: se $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0$, o seu oposto será $p(x) = -a_nx^n - a_{n-1}x^{n-1}- \cdots - a_1x-a_0$, isto é, o oposto do polinômio $f(x)$ é o polinômio formado com a somas das mesmas potências de $x$ de $f(x)$ onde seus coeficientes são os opostos dos coeficientes de $f(x)$. Como por exemplo

 o oposto de $f(x) = x^3+x+3$ é $p(x) = -x^3-x-3$;  

 o oposto de $f(x) = x^4+x^2 - 4x-10$ é $p(x) = -x^4-x^2 + 4x+10$ e

 o oposto de $f(x) = -x^2+5x -8$ é $p(x) = x^2-5x +8$.

O oposto de $f(x)$ é denotado por $-f(x)$. 

Agora que definimos o oposto de um polinômio, podemos definir a subtração (diferença) de polinômios.

Definição: Dados os polinômios

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0,$$

definimos a subtração (diferença) dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) - q(x)$, como sendo

$$p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)),$$

isto é, a subtração (diferença) de $p(x)$ e $q(x)$ é a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$.

Vamos ver alguns exemplos de subtração de polinômios.

Exemplos:

7. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^2+2x-1$ e $q(x) = 2x^2-4x-10$.

Solução: Para fazer esse cálculo, basta usar a definição de subtração de polinômios e ficar atento com os sinais, pois é necessário fazer jogo de sinais para efetuar a subtração.

\begin{eqnarray} p(x) - q(x) &=& x^2+2x-1 - (2x^2-4x-10)  \\ &=& x^2+2x-1 -2x^2+4x+10 \\ &=& (1-2)x^2 + (2+4)x + (-1+10) \\ &=& -x^2 + 6x + 9.    \end{eqnarray}

Veja que, para passar da primeira linha para a segunda linha, no cálculo acima foi feito jogo de sinal com cada termo do polinômio $q(x)$ e, na segunda linha, temos exatamente a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$, que é a definição de subtração de polinômios. Na prática, é assim que as coisas funcionam. Da terceira linha em diante segue a soma de polinômios como definimos anteriormente.

8. Calcule a diferença entre os polinômios $f(x) = 5x^4 + x^3-3x-4$ e $g(x) = 3x^3+2x^2-x-1$.

Solução: Basta proceder como no exemplo anterior.

\begin{eqnarray} f(x) - g(x) &=& 5x^4 + x^3-3x-4 - (3x^3+2x^2-x-1)  \\ &=& 5x^4 + x^3-3x-4  -3x^3-2x^2+x+1 \\ &=& 5x^4 + (1-3)x^3 -2x^2 + (-3+1)x + (-4 +1) \\ &=& 5x^4 + (-2)x^3 -2x^2 + (-2)x + (-3)  \\ &=& 5x^4 -2x^3 -2x^2 -2x -3.    \end{eqnarray}

9. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^3-5x+10$ e $q(x) = 3x^6 - x^2+x+10$.

Solução: Podemos fazer as contas aqui um pouco mais rápido também, assim como nos exemplos 5 e 6, somando os termos semelhantes. 

\begin{eqnarray} p(x)  -  q(x) &=& x^3-5x+10 - (3x^6 - x^2+x+10)  \\ &=& x^3-5x+10 -3x^6 + x^2-x-10  \\ &=& -3x^6 + x^3+x^2 -6x + 0.   \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #1: O que são polinômios?

Chegamos ao assunto de polinômios. Que beleza! Os polinômios são muito importantes. Eles aparecem em muitas áreas da Matemática, aparecem no Cálculo, na Álgebra Linear, nas Equações Diferenciais, em Geometria, etc.. Por esse motivo é muito importante saber o que é um polinômio, suas características, fazer contas com polinômios, saber como fatorar um polinômio e calcular suas raízes. Nessa primeira postagem sobre polinômios vamos ver uma forma de defini-los (há mais de uma forma) usando a definição de função. 

O que são polinômios?

Podemos definir um polinômio usando a definição de função, e é o que vamos fazer aqui nessa postagem. Por isso, vamos lembrar a definição de função.

Definição (de função): Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$ um único elemento de $B$.

Exemplos

1. Considere $A$ o conjunto de todas pessoas do mundo e $B$ o conjunto de todos os nomes possíveis. Podemos associar cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$ da seguinte forma: cada pessoa está associada a um único primeiro nome. Isso é uma função de $A$ en $B$, ou seja, do conjunto das pessoas no conjunto dos nomes.

2. Considere $A$ conjunto de todos os carros do Brasil e $B$ o conjunto de todas as sequencias finitas de números e letras. Cada carro possui um único número de chassi, assim, associar os carros a seus números de chassi é uma função de $A$ em $B$.

Os exemplos acima são casos bem gerais de funções. Na matemática as funções são muito usadas para associar dois conjuntos numéricos.

3. Considere $A = B = \mathbb{R}$.  Para cada número $x \in A$ vamos associar o número $y=x+1$. Dessa forma temos que $2$ está associado a $2+1 = 3$, $-8$ está associado a $-8+1 = -7$, etc. Esta é uma função entre $A$ e $B$, ou ainda, entre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}$.

Na matemática usamos as letras para dar nomes às funções, por exemplo, função $f$, função $g$, função $T$. Para dizer que uma função $f$ associa os elementos de $A$ aos elementos de $B$, escrevemos

$$f: A \rightarrow B.$$

O conjunto $A$ é chamado domínio da função $f$ e o conjunto $B$ é chamado contradomínio da função $f$. Escrevemos $f(x)$, que se lê "$f$ de $x$", para designar o número em $B$ que está associado ao número $x$ de $A$. Ou ainda, para dizer que um número $x \in A$ está associado a um número $y \in B$, escrevemos $f(x) = y$, que se lê "f de $x$ igual a $y$". Podemos ainda dizer que $f$ leva $x$ em $y$. Também chamamos $f(x)$ de imagem de $x$ pela função $f$.

Como já visto no exemplo 3, as funções entre conjuntos numéricos são, na maioria das vezes, dadas por expressões algébricas, ou seja, cada $x \in A$ é levado em um $f(x)$ que é igual à uma expressão algébrica que contém $x$. Nesse caso, chamamos $x$ de variável independente e $y = f(x)$ de variável dependente (o valor de $f(x)$ depende de $y$).

4. Considere $f: \mathbb{Z} \rightarrow B$ definida por $f(x) = 2x$. Essa função associa a cada $x \in \mathbb{Z}$ ao número $2x \in \mathbb{Z}$. Vamos calcular $f$ aplicada em alguns valores específicos de $x$, ou seja, vamos substituir o $x$ por alguns números inteiros para saber a quais números estes estão associados. Vejamos

$f(1) = 2 \cdot 1 = 2;$

$f(3) = 2 \cdot 3 = 6;$

$f(-10) = 2 \cdot (-10) = -20$.

Quando trocamos $x$ por algum número e calculamos o valor da função neste número estamos aplicando $f$ em neste número.

5. Seja $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 2^x$. Temos, para alguns valores de $x$,

$g(0) = 2^0 = 1;$

$g(2) = 2^2 = 4;$

$g(-3) = 2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{8}$.

Agora, com a definição de função, conseguimos definir o que é um polinômio.

Definição (de polinômio): Um polinômio é uma função $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que possui a forma

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$

onde $n$ é um número natural e $a_n,  a_{n-1},  \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}$ são chamados coeficientes do polinômio $p$. Em particular, o termo $a_0$ (que não multiplica nenhuma potência de x) é chamado termo independente do polinômio $p(x)$.

Observação: A definição acima é a definição do que chamamos de polinômio real ou polinômio sobre $\mathbb{R}$ pois é uma função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ e seus coeficientes estão em $\mathbb{R}$. Na definição acima podemos substituir $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$ e teremos, respectivamente, as definição de polinômios sobre $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$.

A seguir estão alguns exemplos de polinômios.

Exemplos

1. $p(x) = 2x+1$ (coeficientes: $2$ e $1$);

2. $q(x) = x^3 - x + 10$  (coeficientes: $1$, $0$, $-1$ e $10$);

3. $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$  (coeficientes: $1$, $0$, $-20$, $1$, $0$, $2$ e $0$);

4. $f(x) = x^8-1$ (coeficientes: $1$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, e $-1$);

5. $g(x) = x^6+2x^5+3x^4-\frac{1}{2}x^3 - \pi x^2 + \sqrt{3}x-1$ (coeficientes: $1$, $2$, $3$, $-\frac{1}{2}$. $-\pi$, $\sqrt{3}$ e $-1$);

6. $l(x)= (2-i)x^3 - 2x + 4$ (coeficientes: $2-i$, $0$, $-2$ e $4$).

Nos exemplos de 1 a 5 temos polinômios sobre $\mathbb{R}$ (pois seus coeficientes são números reais) e no exemplo 6 temos um polinômio sobre $\mathbb{C}$ (pois seus coeficientes são complexos).

Dado um polinômio, sobre $\mathbb{R}$ por exemplo, podemos aplicá-lo a qualquer número real (o mesmo raciocínio pode ser aplicado a polinômios definidos sobre os conjuntos numéricos $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{C}$). Por exemplo, aplicando o polinômio $q$ do exemplo $2$ nos números $0$, $1$, $-2$ e $\displaystyle\frac{3}{4}$ temos

$q(0) = 0^3 - 0 +10 = 10$;

$q(1) = 1^3 - 1 + 10 = 1-1+10 = 10$;

$q(-2) = (-2)^3 - (-2) + 10 = -8+2+10 = 4$;

$q\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right) = \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^3 - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{27}{64} - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{619}{64}$.

Podemos chamar um polinômio também de função polinomial. Em alguns livros de matemática os polinômios aparecem "sem seus nomes", aparecem somente com a expressão que o define, por em exemplo, ao invés de estar escrito na forma $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$, aparece somente $10x^5 - 20x^4+x^3-2x$ .

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Expressões Numéricas #5: Expressões com potências de expoentes racionais

Esse é o quinto e último post sobre expressões numéricas que teremos aqui no blog (veja os outros aqui). Quando pensei em fazer postagens sobre expressões numéricas não achava que renderia tantos posts assim, mas no decorrer das postagens percebi quantos casos diferentes podemos ter de expressões numéricas. Para encerrarmos esse assunto de expressões numéricas falta abordar as expressões que possuem potências com expoentes racionais. Não há muito segredo nesse tipo de expressão, pois uma potência com expoente racional na verdade é uma junção de potências com expoentes inteiros e raízes, ou seja, são casos que já vimos nos posts anteriores. A seguir veremos mais detalhes e exemplos desse tipo de expressões numéricas.

Expressões com potências de expoentes racionais

Já sabemos que, na ordem das operações em uma expressão numérica, as potências e as raízes devem ser feitas primeiro (exceto quanto há parênteses, colchetes ou chaves dando preferencia a outras operações). Como as potências com expoente racional são a junção de potências com expoentes inteiros e raízes, elas também devem ser feitas primeiro (na ordem das operações). Sabendo disso não fica tão complicado lidar com uma expressão numérica que contém uma (ou mais) potências com expoentes racionais, basta lembrar da definição desse tipo de potência (veja a definição aqui). Vejamos alguns exemplos.

1. Calcule o valor da expressão $25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}})$.

Solução: Como em qualquer outra expressão, começamos sempre resolvendo de dentro para fora, isto é, nesse exemplo vamos começar pelo que está entre parênteses. Dentro dos parênteses está uma potência com expoente racional, então, é por ela que devemos começar a resolver.

\begin{eqnarray} 25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}}) &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{8^2}) \\ &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{64})  \\ &=& 25 \div (1 + 4) \\ &=& 25 \div 5 = 5.   \end{eqnarray}

2. Calcule o valor da expressão $2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}]$.

Solução: Lembre-se, sempre comece a resolver uma expressão de dentro para fora e siga a ordem das operações. 

\begin{eqnarray} 2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}] &=& 2 \times \sqrt[2]{5^3} - 4 \times [10 \div (25 - 17)^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times \sqrt[2]{125} - 4 \times [10 \div 8^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times 5 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div \sqrt[3]{8}]  \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div 2] \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times 5 = 10\sqrt{5}-20.   \end{eqnarray}

Por simplicidade, escrevi $10 \times \sqrt{5}$ como $10  \sqrt{5}$, omitido o símbolo de multiplicação. Deixarei o resultado da expressão como $10\sqrt{5}-20$, sem substituir o valor de $\sqrt{5}$ por um valor aproximado. Em expressões com potências com expoentes racionais é comum aparecer raízes que não tem resultados exatos, então é melhor deixar os resultados com as raízes mesmo, pois trocá-las por valores aproximados pode gerar um "acúmulo de erros". Com as raízes, o resultado fica exato. 

3. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}$.

Solução: Usando o mesmo processo usado nos exemplos anteriores, temos

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}  &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (4-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ \sqrt{16})} \\ &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (-4)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+4)} \\ &=& \displaystyle\frac{8+\sqrt[3]{-20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8+(-\sqrt[3]{20})}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8-\sqrt[3]{20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& (8-\sqrt[3]{20}) \times\displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ (8-\sqrt[3]{20})  \times 5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ 40-5\sqrt[3]{20})  }{4} = 10 - \displaystyle\frac{5\sqrt[3]{20} }{4}.       \end{eqnarray}

4. Calcule o valor da expressão $3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}}$.

Solução: Nessa expressão há um potência racional negativa e também um raiz dentro de uma potência racional. Isso parece ser muito complicado, mas na verdade não é. Basta lembrar que, por definição, quando uma potência é negativa, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente e, para lidar com a raiz dentro da potência racional, pode-se escrever a raiz como uma potência racional e depois usar propriedades de potências.

\begin{eqnarray} 3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} &=& 3 \times (2+16)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (9 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times 18^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div 6}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \left(\displaystyle\frac{1}{18}\right)^{\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{3}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \sqrt{\displaystyle\frac{1}{18}}+ \left[3^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}} =  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}}.    \end{eqnarray}

Nesse exemplo vou deixar a resposta como está mesmo, para não usar uma aproximação com um número decimal.

5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Solução: Essa expressão é enorme, mas não é difícil. Basta ir com calma e resolver sempre de dentro para fora respeitando a ordem das operações.

\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}} &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \frac{1}{4}\right]\right\}}{4 \times (64 - 60)}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+ \frac{63}{4}\right]\right\}}{4 \times 4}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{3}{9} \times16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=&  \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{1}{3} \times 16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \frac{16}{3}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \times \frac{3}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{16} \times \displaystyle\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{256} \right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\left(\displaystyle\frac{9}{16} \right)^2\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{16}\right)^3 = \displaystyle\frac{729}{4096}.     \end{eqnarray}

Esse último exemplo parece assustador, mas só parece. Não há segredos para resolver expressões numéricas, é somente necessário começar a resolver a expressão de dentro para fora, respeitar a ordem das operações e saber as definições de cada operação, o que é o mais básico da matemática.

Exemplo em vídeo:

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Expressões Numéricas #4: Expressões com expoentes negativos

Já abordamos, nos posts anteriores, três tipos diferentes de expressões numéricas, as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves, as que possuem e as que possuem quocientes, mas em nenhum desses casos aparecem potências com expoentes negativos. Expressões numéricas com potências com expoentes negativos não são tão mais difíceis de serem calculadas quanto àquelas que não possuem, basta lembrar da definição de potência com expoente negativo, que pode ser encontrada aqui. A seguir vamos ver alguns exemplos de expressões numéricas com potências com expoente negativo.

Expressões com expoentes negativos

Como sabemos, uma expressão numérica pode conter todas as operações. No caso em que aparecem potências e raízes, estas devem ser feitas primeiro (a não ser que parênteses, colchetes ou chaves deem preferência a outras operações), antes de se fazer as multiplicações, divisões, somas e subtrações. Como potências com expoentes inteiros também são potências, esse tipo de potência entra na mesma ordem de cálculo das potências e das raízes. Vejamos alguns exemplos.

1. Calcule o valor da expressão $3 \times (10-8) + 2^{-3}$.

Solução: Nesse exemplo devemos começar pelos parênteses e, depois disso, é só seguir a ordem das operações (potências ou raízes, multiplicação ou divisão, somas ou subtrações).

\begin{eqnarray} 3 \times (10-8) + 2^{-3} &=& 3 \times 2 + 2^{-3} \\ &=& 3 \times 2 + \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 \\  &=& 3 \times 2 + \displaystyle\frac{1}{8} \\ &=& 6 + \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{49}{8}. \end{eqnarray} 

2. Calcule o valor da expressão $4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}]$.

Solução: No exemplo anterior, tínhamos somente um par de parênteses. Nesse exemplo agora temos parênteses dentro de colchetes. Nesse caso usamos a mesma "receita" de sempre, começamos resolvendo a expressão de dentro para fora, respeitando a ordem das operações e, para resolver mais rápido, podemos fazer as operações que podem ser feitas simultaneamente.

\begin{eqnarray} 4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}] &=& 4 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2} + 21 \div \left[9 \times \displaystyle\frac{1}{3}\right] \\ &=& 4 \times \displaystyle\frac{1}{25} + 21 \div 3 \\  &=& \displaystyle\frac{4}{25} + 7 =  \displaystyle\frac{179}{25}.\end{eqnarray}

3. Resolva a expressão $(-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}]$.

Solução: Lembre-se, sempre resolva de dentro para fora, respeitando a ordem das operações.

\begin{eqnarray} (-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}] &=&  9 \times \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{2} - [2 \times (9 - 4)^{-3}] \\ &=& 9 \times \displaystyle\frac{16}{9} - [2 \times 5^{-3}] \\ &=& 16 - \left[2 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^3\right] \\ &=& 16 - \left[2 \times \displaystyle\frac{1}{125}\right] \\ &=& 16 - \displaystyle\frac{2}{125} = \displaystyle\frac{1998}{125}.    \end{eqnarray}

4. Resolva a expressão $6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10}$.

Solução: Nesse exemplo, lembre-se que raízes funcionam como parênteses, chaves ou colchetes. Elas são consideradas na estratégia de resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} 6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10} &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div (9-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div 4}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{1}{16}+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{2}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{10} \\ &=& 6 \times \left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& 6 \times \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& \displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160}.      \end{eqnarray}

Vou deixar o resultado dessa expressão dessa forma mesmo. Não é necessário racionalizar ou fazer essas divisões para se obter um número com vírgula aproximado. Desse modo a resposta fica exata.

5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[3]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4}$.

Solução: 

\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4} &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [(16-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 1}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [9 \div 6]}{\sqrt[4]{80 + 1}}\right)^{-4}  \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times \frac{3}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{3}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{6}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4} = \displaystyle\frac{16}{81}.        \end{eqnarray}

Por meio desses exemplos podemos ver que, quando existem potências com expoentes negativos,  o cálculo do valor da expressão não fica muito mais complicado. Basta colocar esse tipo de potência mesma ordem de cálculo de potências com expoentes naturais e usar a definição de potência com expoente negativo de forma correta. Não há segredos.

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Expressões Numéricas #3: Quocientes de expressões

Nas duas postagens anteriores (acesse-as aqui) tratamos de vários tipos de expressões numéricas. Na primeira postagem aprendemos como se calcula expressões sem parênteses, colchetes e chaves e, na segunda postagem, vimos como se calcula expressões que possuem parênteses, colchetes e chaves. Apesar de termos abordado esses casos e feito vários exemplos, não abordamos expressões que possuem quocientes de expressões. O que é um quociente de expressões? É uma expressão divida por outra. Nessa postagem veremos como se resolve expressões que possuem quocientes de expressões. Vamos lá!

Expressões que possuem quocientes de expressões

Vamos ver alguns exemplos de expressões que possuem quocientes de expressões.

(i) $\displaystyle\frac{1+3}{(3 \times (-3+1))^2}$

(ii) $\sqrt{81} - 2 \times \left[ \displaystyle\frac{2-4^2 \times (1-4)}{100 \div (7-2)^2} \right]$

(iii) $\displaystyle\frac{1}{2} - 2 \times \left\{ \displaystyle\frac{5-7}{\sqrt{8 \div (3-1)^2}} - 4 \times \left[ \displaystyle\frac{1- (3+2)^3}{2 \times \sqrt{(5-2)^2 + 1}- 4^2}\right]  \right\}$

Depois de termos estudado como calcular expressões nas duas postagens anteriores, não há segredos para calcular expressões como as dos exemplos acima. Para calcular esse tipo de expressão, comece calculando as que estão nos quocientes, segundo o processo que vimos na postagem anterior, de dentro para fora e, depois disso, tendo eliminado os quocientes, basta seguir calculando o que sobrou da expressão, sempre de dentro para fora. Vamos calcular o valor de algumas expressões a seguir.

1. Calcule o valor da expressão $\displaystyle\frac{4^2 - 8 \div 6}{3 \times (1-2)}$.

Solução: Essa expressão é apenas um quociente de expressões. Assim, basta resolver a expressão que está em cima e a que está em baixo. No final, se necessário, faça a divisão do número que for obtido em cima pelo número que for obtido em baixo.

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{4^2 - 8 \div 6}{3 \times (1-2)} &=& \displaystyle\frac{16 - 8 \div 6}{3 \times (-1)} \\ &=& \displaystyle\frac{16 - \frac{4}{3}}{-3} \\ &=& \displaystyle\frac{\frac{44}{3}}{-3} = -\frac{44}{9}  \end{eqnarray}

2. Resolva a expressão $2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{8^2 + 16 \div 4}{\sqrt{3 \times 27} - 5}\right]$.

Solução: Começamos calculando as expressões que estão no quociente. Depois de fazermos isso, calculamos o restante da expressão.

\begin{eqnarray} 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{8^2 + 16 \div 4}{\sqrt{3 \times 27} - 5}\right] &=& 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{64 + 16 \div 4}{\sqrt{3 \times 27} - 5}\right] \\ &=& 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{64 + 4}{\sqrt{81} - 5}\right] \\ &=& 2 \times (3+8) - \left[ \displaystyle\frac{64 + 4}{9 - 5}\right]  \\ &=& 2 \times 11 - \displaystyle\frac{68}{4} \\ &=& 22 - 17 = 5   \end{eqnarray}

3. Calcule o valor da expressão numérica $\displaystyle\frac{2^3-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+80\div10)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9}$.

Solução: Nesse exemplo temos uma expressão numérica com dois quocientes de expressões. Quando uma expressão possui dois ou mais quocientes, basta resolver primeiramente cada expressão que está nos quocientes. Depois disso é só calcular a expressão que sobrou após calcular os quocientes.

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{2^3-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+80\div10)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9}  &=& \displaystyle\frac{8-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+80\div10)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{8-3 \times (8-4)}{\sqrt{4}\times(3+1)} - \displaystyle\frac{(4+8)^2-2}{2 \times [10 + 3 \times (8-1)]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{8-3 \times 4}{\sqrt{4}\times4} - \displaystyle\frac{12^2-2}{2 \times [10 + 3 \times 7]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{8-3 \times 4}{2\times4} - \displaystyle\frac{144-2}{2 \times [10 + 3 \times 7]+9} \\ &=&  \displaystyle\frac{8-12}{8} - \displaystyle\frac{144-2}{2 \times [10 + 21]+9} \\ &=& \displaystyle\frac{-4}{8} - \displaystyle\frac{142}{2 \times 31+9} \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{142}{62+9} \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{142}{71} \\ &=& -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}     \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

Acredito que esses exemplos são suficientes para que você pegue a ideia de como resolver expressões desse tipo, comece sempre pelas expressões que estão nos quocientes, independentemente de quantos quocientes existam na expressão. Aí, tendo eliminado os quocientes, é só continuar o cálculo da expressão. Lembre-se, sempre de dentro para fora.

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