Nas duas postagens anteriores (acesse-as aqui), vimos o conceito de funções juntamente com os conceitos de domínio, contradomínio e imagem de uma função. Nessa postagem vamos passar para um caso particular de função, que são as funções reais de uma variável real. Essas funções são muito importantes na prática, pois são usadas na modelagem matemática, isto é, são usadas para descrever problemas reais e, assim, elas nos permitem encotrar soluções para esses problemas. Então, vamos entender o que são as funções reais de uma variável real. Vamos lá!
Funções reais de uma variável real
Primeiramente, vamos entender o que significa ser uma função real de uma variável real. Considere uma função qualquer $f: A \rightarrow B$. A função $f$ é chamada de função real se $B \subseteq \mathbb{R}$, ou seja, se o contradomínio de $f$ está contido ou é igual ao próprio $\mathbb{R}$. Como vimos nas postagens anteriores, dado um elemento $x \in A$, escrever $y = f(x)$ significa que $f$ leva $x \in A$ em $y \in B$. Perceba que $y$ depende de $x$, isto é, quando calculamos $f(x)$ para diferentes valores de $x$, eventualmente encontraremos resultados diferentes, ou seja, valores diferentes para $y$. Sendo assim, $x$ recebe o nome de variável independente, pois podemos simplesmente escolhe-lá em $A$, o domínio da função, e $y$ é chamado de variável dependente, pois ela depende do $x$ escolhido. Desse modo, a função $f: A \rightarrow B$ é chamada de função de uma variável real, quando $A \subseteq \mathbb{R}$, ou seja, $A$ está está contido em $\mathbb{R}$ ou é o próprio $\mathbb{R}$. Em outras palavras, $f$ é uma função de uma variável real quando na igualdade $y = f(x)$ o $x$ representa um único número real que varia dentro de um subconjunto de $\mathbb{R}$, podendo ser o próprio $\mathbb{R}$.
Resumindo, uma função $f: A \rightarrow B$ é uma função real de uma variável real quando $A$ e $B$ estão contidos em $\mathbb{R}$, podendo ser um deles ou os dois iguais a $\mathbb{R}$.
Chamamos também $f(x)$ de valor de $f$ em $x$, ou ainda, de imagem de $x$ pela $f$.
Observação: É comum na linguagem de funções usarmos $x$ para a variável independente e $y$ para a variável dependente, mas isso não é uma regra, qualquer letra pode ser usada. Por exemplo, dada uma função $g: X \rightarrow Y$, podemos escrever $g(a) = b$ onde $a$ é a variável independente e $b$ é a variável dependente.
Agora que entendemos o que é uma função real de uma variável real, vamos ver de que forma essas funções geralmente aparecem. Considere uma função real de uma variável real $f: A \rightarrow B$. De que forma $f$ associa os elementos de $A$ com os elementos de $B$? Essa associação ocorre por meio de expressões algébricas (e não algébricas, mas isso ficará para postagens que ainda virão) onde a variável independente da função ($x$) está presente ou não. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
1. Considere a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2-1$. A regra $f$ é exatamente a expressão $x^2-1$ a qual contém a variável independente de $f$, o $x$. Para cada valor real que $x$ pode assumir, teremos valores diferentes para $x^2-1$. A função $f$ leva $x$ em $x^2-1$. Também podemos representar a função $f$ (e qualquer outra função) trocando o $f(x)$ pelo $y$. Assim, teremos a função escrita na forma $y = x^2-1$.
2. Um outro exemplo de função real de uma variável real é a função $g: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g(x) = \sqrt{x}$.
3. Considere a função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x) = 1$. Observe a expressão que define essa função, ela não contém a variável independente $x$. Qualquer funçao na forma $h(x) = a$ onde $a \in \mathbb{R}$ é chamada de função constante. Isso faz sentido, como $h(x)$ não depende de $x$ ($x$ não está na expressão que define $h$), seu valor será constante para qualquer que seja $x$.
Então, as funções reais de uma variável real que estudaremos, por enquanto, associam dois subconjuntos de números reais por meio de expressões algébricas.
Vamos ver agora exemplos de como calcular o valor de uma função dados os valores de $x$. Vejamos.
Exemplos:
4. Considere a função $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^3-3x+1$. Calcule $f(2)$ e $f(-3)$.
Solução: Antes de qualquer cálculo, vamos entender o significado da notação $f(2)$. A notação $f(2)$ é o valor da função $f$ quando $x$ é substiuído pelo $2$ e pode ser lido como "$f$ aplicada em $2$". O mesmo vale para $f(-3)$ e para qualquer número que pode ser colocado "dentro" de $f$. Para calcular $f(2)$, basta trocarmos o $x$ que aparece na expressão que define $f$ pelo $2$, ou seja, na expressão $x^3-3x+1$ e fazer as contas. Assim, temos:
\begin{eqnarray} f(x) &=& x^3-3x+1 \\ f(2) &=& 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 \\ &=& 8 - 6 +1 \\ &=& 3 \end{eqnarray}
Logo, $f(2) = 3$, ou, em palavras, o valor de $f$ aplicada em $2$ é igual a $3$. Também podemos dizer que $3$ é a imagem de $2$ pela função $f$.
De modo análogo, temos:
\begin{eqnarray} f(x) &=& x^3-3x+1 \\ f(-3) &=& (-3)^3 - 3 \cdot (-3) + 1 \\ &=& -27 + 9 +1 \\ &=& -17 \end{eqnarray}
Logo, $f(-3) = -17$. Observe que, quem está dentro de $f$ é o número $-3$ e não somente o $3$, assim, todo $x$ na expressão que define $f$ deve ser substituído por $-3$, usando sempre parênteses, se necessário.
5. Considere a função $q: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $q(x) = \displaystyle\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$. Calcule $q(-1)$ e $q\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$.
Solução: No exemplos anterior já vimos o significado da notação $q(-1)$ e, então, vamos direto às contas. Temos
\begin{eqnarray} q(x) &=& \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \\ q(-1) &=& \frac{(-1)^2+1}{(-1-1)^2} \\ &=& \frac{1+1}{(-2)^2} \\ &=& \frac{2}{4} \\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}
Logo, $f(-2) = \displaystyle\frac{1}{2}$.
Analogamente, temos:
\begin{eqnarray} q(x) &=& \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \\ q\left(\frac{1}{2}\right) &=& \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2} \\ &=& \frac{\frac{1}{4}+1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &=& \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} \\ &=& \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{1} \\ &=& 5 \end{eqnarray}
Logo, $f \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = 5$.
6. Seja $f: (-\infty, 0] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x}$. Calcule $f(-8)$ e $f(-100)$.
Solução: Fazendo os cálculos, temos:
\begin{eqnarray} f(x) &=& \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x} \\ f(-8) &=& \sqrt{-(-8)} + \sqrt[3]{-8} \\ &=& \sqrt{8} + \sqrt[3]{-8} \\ &=& 2\sqrt{2} -2, \end{eqnarray}
Logo, $f(-2) = 2\sqrt{2} -2$.
Analogamente,
\begin{eqnarray} f(x) &=& \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x} \\ f(-100) &=& \sqrt{-(-100)} + \sqrt[3]{-100} \\ &=& \sqrt{100} + \sqrt[3]{-100} \\ &=& 10 - \sqrt[3]{100}. \end{eqnarray}
Logo, $f(-100) = 10 - \sqrt[3]{100}$.
Vamos fazer uns exemplos um pouco diferentes agora.
7. Considere a função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x) = x^2-x+10$. Determine os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$.
Solução: Nesse exemplo, diferentemente dos anteriores, não é pedido que apliquemos a função $h$ em algum valor real de seu domínio, mas sim, para encontrarmos os valores reais em seu domínio tais que suas imagens sejam iguais a $12$, ou como está no enunciado, devemos calcular os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$. Para fazer isso, basta substituir $f(x)$ pela expressão que a define na igualdade $f(x) = 12$. Desse modo, temos:
\begin{eqnarray} f(x) &=& 12 \\ x^2-x+10 &=& 12 \\ x^2-x-2 &=& 0. \end{eqnarray}
Assim, basta resolver a equação do 2º grau $x^2-x-2 = 0$. Usando a fórmula de Bhaskara, temos:
\begin{eqnarray} \Delta &=& b^2 - 4ac \\ &=& (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \\ &=& 1 + 8 \\ &=& 9 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x &=&\frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &=& \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ &=& \frac{1 \pm 3}{2}. \end{eqnarray}
Logo, as soluções da equação são $x_1 = 2$ e $x_2 = -1$. Portanto, os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$ são $2$ e $-1$.
8. Considere a função $m : \mathbb{R}-\{1, -1\} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $m(x) = \displaystyle\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}$. Determine o valor de $x$ tal que $m(x) = 0$.
Solução: De modo análogo ao que fizemos no exemplo anterior, para determinar o valor de $x$ tal que $m(x) = 0$, basta resolver a equação $\displaystyle\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}} = 0$.
Observe que, um quociente é igual a zero se, e somente se, a parte de cima for igual a zero e a solução dessa equação não anule a parte de baixo do quociente. Desse modo, basta resolvermos a equação $x+2=0$. Claramente, a solução dessa equação é $x=-2$. Logo, $f(-2) = 0$.
Acima, no texto, eu afirmei que as funções reais de uma variável real aparecem dadas por meio de expressões algébricas e não algébricas . Abaixo veremos dois exemplos de funções que não são dadas por meio de expressões algébricas.
9. Seja $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $f(x)$ é o maior inteiro menor ou igual a $x$. Essa função é chamada de função maior inteiro e é denotada por $f(x) = \lfloor x \rfloor$. Por exemplo, $f(0,5)$ é o maior número inteiro menor ou igual que $0,5$, assim, $f(0,5) = 0$. Também, $f(-2) = -2$ e $f(2,3) = 2$.
10. Seja $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $g(x)$ é o menor inteiro maior ou igual a $x$. Essa função é chamada de função menor inteiro e é denotada por $g(x) = \lceil x \rceil$. Por exemplo, $f(0,5)$ é o menor número inteiro maior ou igual $0,5$, assim, $f(0,5) = 1$. Também, $f(-2) = -2$ e $f(2,3) = 3$.
Observação: Além dessas funções apresentadas acima, nos exemplos 9 e 10, as funções trigonométricas e logaritmicas são exemplos de funções que não são dadas por expressões algébricas (expressões algébricas são expressões que possuem somente somas, subtrações, potências, multiplicação, divisões e raízes). Embora as funções não algébricas sejam muito importantes, não as abordaremos agora. Por enquanto ficaremos com as funções algébricas.
Resumo da postagem em vídeo:
Entendendo o que foi exposto aqui nessa postagem, você está apto a continuar os estudos de funções. Nos encontramos na próxima postagem.
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