Inequações #5: Inequações racionais

Nas postagens anteriores (acesse-as aqui) focamos em resolver inequações polinomiais. Agora, vamos seguir nosso estudo sobre inequações passando para as inequações racionais. Se você não viu as duas postagens anteriores, sugiro que as estude, pois vamos precisar bastante delas. Para resolver as inequações racionais vamos precisar analisar sinais de polinômios e também resolver inequações polinomiais. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação racional, como resolver uma inequação racional e também todos os detalhes nos quais precisamos estar atentos na hora fazer a resolução. Então, vamos lá!

Inequações racionais

Primeiramente, vamos definir o que é uma equação racional.

Definição: Sejam $p(x)$ e $q(x)$ dois polinômios (sobre $\mathbb{R}$). Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas

$$\frac{p(x)}{q(x)} < 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} \leq 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} > 0 \mbox{ ou } \frac{p(x)}{q(x)} \geq 0$$

é chamada inequação racional.

De uma forma mais informal, uma inequação racional é qualquer inequação que pode ser escrita como um quociente de dois polinômios, um símbolo de desigualdade e o zero. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $\displaystyle\frac{x}{x+1} < 0$

2. $\displaystyle\frac{x^2-x-1}{2x+\sqrt{3}} \leq 0$

3. $\displaystyle\frac{x-1}{3x^2+\frac{x}{3}-4} > 0$

4. $\displaystyle\frac{x^4-2x+3}{-x^4+4x^3} \geq 0$

Uma inequação polinomial pode ser vista como um caso particular de equações racionais. Uma equação polinomial é uma equação racional onde o polinômio que está na parte de baixo do quociente é igual a $1$.

Nem sempre uma inequação racional aparece um uma das formas que estão na definição, ou seja, em uma das formas que estão nos quatro exemplos anteriores. Se uma inequação é formada por termos que são polinômios e/ou quocientes de polinômios, então ela é uma inequação racional. Vejamos alguns exemplos desses casos.

5. A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ pode ser escrita um uma das formas que estão na definição de inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2-1} &<& 1 \\   \frac{x}{x^2-1} - 1 &<& 0 \\ \frac{x - (x^2-1)}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{x - x^2+1}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{-x^2 +x+1}{x^2-1} &<& 0  \end{eqnarray}

A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ é uma inequação racional.

6. A inequação $\displaystyle\frac{x+1}{x+3} + x \geq 2$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x+1}{x+3} + x &\geq& 2 \\   \frac{x+1}{x+3} + x - 2 &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + (x+3)(x-2)}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + x^2-2x+3x-6}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x^2+2x-5}{x+3} &\geq& 0.  \end{eqnarray}

7. A inequação $\displaystyle\frac{x^2}{x+2} + \displaystyle\frac{3}{x}  \leq 0$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x^2}{x+2} + \frac{3}{x}  &\leq& 0 \\   \frac{x \cdot x^2 + 3(x+2)}{(x+2)x} &\leq& 0 \\ \frac{x^3 + 3x+6}{x^2+2x} &\leq& 0.  \end{eqnarray}

8. A inequação $\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{x}{x+1}  > \displaystyle\frac{x^2}{2x+1}$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{1}{x} - \frac{x}{x+1}  &>& \frac{x^2}{2x+1} \\   \frac{x+1 - x \cdot x}{x(x+1)}  &>& \frac{x^2}{2x+1} \\  \frac{-x^2 + x +1}{x^2+x} - \frac{x^2}{2x+1} &>& 0  \\ \frac{(2x+1)(-x^2 + x +1) - x^2(x^2+x)}{(x^2+x)(2x+1)} &>& 0 \\ \frac{-2x^3+2x^2+2x-x^2+x+1-x^4-x^3}{x^3+x^2+2x^2+x} &>& 0 \\  \frac{-x^4-3x^3+x^2+3x+1}{x^3+3x^2+x} &>& 0 \end{eqnarray}

Se você teve alguma dificuldade em entender as contas que foram feitas nos exemplos acima, veja a postagem sobre soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas.

Logo, embora as inequações dos exemplos 5 a 8, a princípio, não estejam de acordo com a definição de inequação racional, elas podem ser escritas de acordo com a definição e, portanto, são inequações racionais.

Agora que já sabemos identificar as inequações racionais, vamos aprender a resolvê-as.

Como resolver uma inequação racional

Acredito que a melhor forma de aprender a resolver inequações racionais é por meio de exemplos, mas como podemos fazer uma infinidade de exemplos diferentes, vamos separar os exemplos em casos e destacar as ideias que serão usadas em cada caso. Assim, com alguns exemplos podemos aprender estratégias para resolver inequações racionais e replicar essas estratégias para resolver todas as inequações racionais.

Antes de passarmos para os exemplos, o seguinte raciocício estará presente em todos os exemplos:

Sejam $a, b \in \mathbb{R}$ com $b \neq 0$. O quociente $\displaystyle\frac{a}{b}$ será igual a zero quando $a = 0$, será positivo quando $a > 0$ e $b > 0$ ou $a < 0$ e $b < 0$  e será negativo quando $a > 0$ e $b < 0$ ou $a < 0$ e $b > 0$. Isto é, para saber o sinal de $\displaystyle\frac{a}{b}$, basta fazer o jogo de sinais com $a$ e $b$. 

Vamos aos exemplos.

Exemplos:

Caso 1: Inequação racional em um dos formatos da definição onde os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possuem grau $1$.

9. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.

Solulção: Conforme o raciocínio exposto antes de começarmos esses exemplos, para resolver esse exemplo, basta analisarmos os sinais dos polinômios $x+1$ e $2x-1$ e, por meio de um diagrama (que faremos a seguir), determinarmos o sinal da divisão $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ usando jogo de sinais.  Lembre-se que o valor de $x$ que anula o polinômio que está em baixo no quociente não pode estar na solução, pois não existe divisão por zero. Desse modo, para $x+1$, temos

 \begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $2x-1$, temos

\begin{eqnarray} 2x-1 & > & 0 \\ 2x &>& 1 \\ x &>& \frac{1}{2}  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} 2x-1 & < & 0 \\ 2x &<& 1 \\ x &<& \frac{1}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x-1 & = & 0 \\ 2x &=& 1 \\ x &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray}

Com essas informações, podemos construir o seguinte diagrama de análise de sinal

Observe que, em baixo do número $\displaystyle\frac{1}{2}$ não marcamos o número $0$ no segmento que está em frente ao quociente  $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$, mas sim um $\times$. Fizemos isso para deixar claro que ele não pode fazer parte da solução da inequação, pois ele anula $2x-1$ e não se pode fazer divisão por zero. Portanto, solução da inequação é $S = \left(-1, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ ou, de outra forma, $S = \left\{x \in \mathbb{R}: -1 < x < \displaystyle\frac{1}{2}\right\}$. Observe também que $-1 \notin S$, pois nele o quociente $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ é igual $0$, mas queremos os valores de $x$ para os quais $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.

Caso 2: Inequação racional em um dos formatos da definição onde pelo menos um dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possui grau maior  que  $1$.

10. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$.

Solulção: Nesse exemplo, o polinômio que está em cima no quociente possui grau igual a $2$, isso significa que ele pode ser fatorado. Todas as vezes que você se deparar com uma inequação racional em uma das formas da definição onde pelos menos um dos polinômios possui grau maior que $1$, tais polinômios precisam ser fatorados. Vamos fazer isso para a inequação do enunciado. Usando soma e produto, as raízes do polinômio $x^2-x-2$ são $-1$ e $2$. Desse modo, segue que, 

$$x^2-x-2 = (x+1)(x-2).$$

Assim, podemos reescrever a inequção $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ na forma:

$$\displaystyle\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} \geq 0$$

Tendo feito esse passo, vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Para o fator $x+1$ temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-2$. Temos

\begin{eqnarray} x-2 & > & 0 \\ x &>& 2  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 & < & 0 \\ x &<& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 & = & 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para o fator $x+3$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Com essas informações, podemos construir seguinte  diagrama da análise de sinal;

De acordo com o diagrama da análise de sinal, temos que a solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ é igual a $S = (-3,-1] \cup [2, +\infty)$ ou, de outra forma, $S =\{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -1 \mbox{ ou } x \geq 2\}$. Observe que $-3 \notin S$ pois ele anula o polinômios que está em baixo no quociente.

Caso 3: Inequação racional que não está em um dos formatos da definição.

11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$.

Solução: Quando vemos uma inequação nesse formato, dá uma vontade muito grande de multiplicar cruzado ou, especificamente nesse caso, passar o $x+3$ multiplicando para o outro lado. Mas, você não pode fazer simplesmente isso, pois o sinal da expressão $x+3$ muda de acordo com o valor de $x$. Passar o $x+3$ multiplicando o outro lado é a mesma coisa que multiplicarmos os dois lados da inequação por $x+3$ e, sabemos que, quando mutliplicamos uma inequação por um número negativo, o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Assim, ante de fazer essa multiplicação, o sinal de $x+3$ deve ser analisado. Esse é um caminho que pode ser usado para resolver a inequação, mas acredito que ele é mais trabalhoso. Por esse motivo, vamos usar outra estratégia, vamos reescrever a inequação em uma das formas da definição de inequação racional e depois usar uma das estratégias que aprendemos nos dois casos anteriores. Desse modo, temos

\begin{eqnarray} \frac{2x+5}{x+3} &\leq& 1 \\ \frac{2x+5}{x+3} -1 &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-(x+3)}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-x-3}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{x+2}{x+3} &\leq& 0\end{eqnarray}

Logo, reescrevendo a inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$ na forma $\displaystyle\frac{x+2}{x+3} \leq 0$, caímos no caso 1 e esse caso já aprendemos como resolver. Vamos analisar o sinal de cada fator presenta na inequação. Para o fator $x+2$ temos

\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}

Para o fator $x-2$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Colocando essa informações no diagrama, temos

De acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-3,-2]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -2\}$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$.

Solução: Assim como no exemplo anterior, vamos escrever essa inequação em um dos formatos da definição de inequação racional. Temos

\begin{eqnarray} \frac{2x^2}{x^2-1} - 2 &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2(x^2-1)}{x^2-1} &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2x^2+2)}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\  \frac{2}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - (x^2-1)}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - x^2+1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ pode ser rescrita na forma $\displaystyle\frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} \leq 0$, isto é, caímos no caso 2.. Agora, vamos fatorar os polinômios que aparecem nessa inequação. Temos que $x^2+1$ é irredutível (não pode ser fatorado), pois para ele temos $\Delta = 0$. Além disso, nele temos $a=1 > 0$, logo $x^2 + 1$ é sempre positivo. O polinômio $x^2-1$ é uma diferença de quadrados, logo 

$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$

O polinômio $x^2$ aparece como um fator na inequação, mas vamos deixá-lo dessa forma, pois a análise de sinal dele é bem simples, para qualquer $x \neq 0$ temos $x^2 > 0$ e $x^2 = 0$ somente para $x = 0$. Assim, podemos reescrever a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ na forma

\begin{eqnarray} \frac{x^2 +1}{(x+1)(x-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Note que já sabemos os sinais de $x^2+1$ e de $x^2$. Agora, para o fator $x+1$ temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-1$. Temos

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no diagrama, temos:

Portanto, de acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-1, 0) \cup (0, 1)$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -1 < x < 1 \mbox{ e } x \neq 0\}$. Observe que $-1, 1, 0 \notin S$ pois anulam o polinômio que está em baixo na inequação.

Observação: Nos exemplos acima reescrevemos cada inequação de uma outra forma para resolvê-las. Isso pode ser feito sempre, mas devemos tomar alguns cuidados. Caso exista um ou mais fatores em comum nos polinômios que estão em cima e em baixo na inequação, como no exemplo a seguir

$$\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} > 0,$$

podemos simplificar o $x-1$ e reescrevermos a inequação na forma $2x+1 > 0$ para rresolver. Mas, não podemos nos esquecer que na inequação original havia $x-1$ na parte de baixo, isto é, o número $1$ não pode estar no conjunto solução da inequação, pois do contrário, vamos ter uma divisão por $0$. Então, lembre-se, você sempre pode simplificar termos comuns que aparecem na parte de cima e de baixo de um termo de uma inequação racional, mas não se esqueça de retirar da solução o(s) numero(s) que anulam esses termos. 

Exemplo em vídeo:

Com as ideias que foram apresentadas aqui, você vai conseguir resolver muitas inequações racionais.

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Leia mais

Inequações #4: Inequações polinomiais

Na postagem anterior aprendemos o que é uma inequação polinomial e também apredemos como analisar o sinal de um polinômio (saber analisar o sinal de um polinômio é muito importante). Embora tenhamos aprendido o que é uma inequação polinomial, na postagem anterior nós não resolvemos nenhuma inequação polinomial, fizemos somente análises de sinais de algum polinômios. Por esse motivo, nessa postagem vamos focar na resolução de inequações polinomiais por meio da aplicação da análise de sinal de polinômios. Vamos lá!

Inequações polinomiais

Antes de qualquer coisa, vamos lembrar o que é uma inequação polinomial.

Definição: Qualquer inequação que possa ser escrita em uma das formas

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \geq 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$

ou

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \leq 0.$$

com $n \geq 0$ inteiro e $a_i \in \mathbb{R}$ para $i=1,2 \dots, a_n$ é chamada inequação polinomial.

Vejamos alguns exemplos de inequações polinomiais.

Exemplos:

1. $x^2-1 >0$

2. $x^3-4x-2 < 0$

3. $x^5-3x^2+x+1 \leq 0$

4. $3x-\sqrt{5} \geq 0$

Em alguma situações, as inequações polinomais podem aparecer na seguinte forma

5. $x^2-4x+1 < 3x-2$

6. $2x^2+4x-1>6x$

7. $3x^3 +\displaystyle\frac{3}{4}x^2 \leq \sqrt{3}x +1$

8. $x^5-1 \geq x^4+x^2+1$

Embora as inequações dos exemplos 5 ao 8 não estejam em um dos formatos das inequações que estão na definição de inequação polinomial, elas podem facilmente serem escritas em uma das formas que estão na definição, basta passar tudo o que está ao lado direito do símbolo de desigualdade para o lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Em geral, qualquer inequação na forma $p(x) < q(x)$, $p(x) \leq q(x)$, $p(x) > q(x)$ ou $p(x) \geq q(x)$, onde $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios, é uma inequação polinomial.

Agora que relembramos e sabemos identificar inequações polinomiais, vamos, por meio de exemplos, aprender como aplicar a análise de sinal na resolução de inequações polinomiais.

Exemplos:

9. Determine a solução da inequação polinomial $x^2-2x-3 > 0$.

Solução: Para aplicar a análise de sinal de polinômios na resolução de uma inequação polinomial, é necessário, primeiramente, escrever a inequação polinomial em um dos formatos que está na definição, ou seja, ela tem que estar na forma "polinômio, símbolo de desigualdade e o zero". Nesse exemplo, a inequação já está em um dos formatos da definição, então vamos prosseguir aplicando a análise de sinal de polinômios. Utilizando Soma e Produto, temos que as raízes do polinômio $x^2-2x-3$ são $-1$ e $3$. Como esse polinômio é mônico (o termo dominante é igual a $1$), segue que o polinômio $x^2-2x-3$ pode ser fatorado como segue

$$x^2-2x-3 = (x+1)(x-3).$$

Lembre-se que o primeiro passo da análise de sinal de polinômios é fatorar o polinômio de forma completa. Agora que temos o polinômio fatorado, vamos analisar o sinal de cada fator que aparece na fatoração do polinômio. Para o fator $x+1$. Temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-3$. Temos

\begin{eqnarray} x-3 & > & 0 \\ x &>& 3, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-3 & < & 0 \\ x &<& 3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-3 & = & 0 \\ x &=& 3. \end{eqnarray}

Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:

A inequação que queremos resolver é $x^2-2x-3 > 0$, isto é, estamos procurando os valores de $x$ tais que o polinômio $x^2-2x-3$ é maior que zero. Segundo a análise sinal que fizemos, isso ocorre para valores de $x$ menores que $-1$ e maiores que $3$ (observe que no $-1$ e no $3$ o polinômio é igual a zero e, por isso, esses valores não satisfazem a inequação). Logo, o conjunto solução da inequação $x^2-2x-3 > 0$ é $S=(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ ou, de uma outra forma, $S=\{x \in \mathbb{R}: x < -1 \mbox{ ou } x > 3\}$. 

10. Determine o conjunto solução da inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$.

Solução: Essa inequação não está em nenhuma das formas que estão na definição de inequação polinomial. Por esse motivo, vamos reescrevê-la. Temos:

\begin{eqnarray} x^2+2x+1 &\leq& 7-x^3-3x^2+x \\ x^2+2x+1 - 7 +x^3+3x^2-x &\leq& 0 \\ x^3 + 4x^2 + x -6 &\leq& 0. \end{eqnarray}

Desse modo, resolver a inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$. Vamos agora aplicar a análise de sinal de polinômios à inequação  $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$, ou seja, vamos analisar o sinal do polinômio $x^3+4x^2+x-6$. Esse polinômio possui $1$ como raiz (pois a soma dos seus coeficientes é igual a zero). Desse modo, ele pode ser divido por $x-1$. Fazendo esse divisão, temos:

Desse modo $x^3+4x^2+x-6 = (x-1)(x^2+5x+6)$. Agora, aplicando Soma e Produto no polinômio $x^2+5x+6$ temos que suas raízes são $-2$ e $-3$. Logo, $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$. Portanto, a fatoração completa do polinômio $x^3+4x^2+x-6$ é igual a $(x-1)(x+2)(x+3)$. Agora, vamos analisar o sinal dos fatores que estão na fatoração. Para o fator $x-1$. Temos

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Para o fator $x+2$. Temos

\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}

Para o fator $x+3$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:

De acordo com a análise de sinal que fizemos, o polinômio $x^3+4x^2+x-6$ é menor ou igual a zero para valores de $x$ menores ou iguais a $-3$ e para valores de $x$ entre $-2$ e $1$, incluindo o $-2$ e o $1$. Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$ é $S = (-\infty, -3] \cup [-2,1]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: x \leq -3 \mbox{ ou } -2 \leq x \leq 1\}$. Como a inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$ é equivalente à inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$, o conjunto $S$ também é solução da inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$.

11. Resolva a inequação $x^4-2x^3+4x-4 \geq 0$.

Solução: A inequação polinomial já está de acordo com a definição de inequação polinomial, assim, vamos aplicar a análise de sinal de polinômios. Como sabemos, primeiramente precisamos fatorar completamente o polinômio da inequação. Existem algumas formas de fatora um polinômio, talvez a maneira mais famosa seja encontrando as raízes do polinômio. Mas, existem outras maneiras, como colocar alguns termos em evidência e até mesmo somar e subtrair alguns termos. Vamos fazer isso com o polinômio do enunciado do exemplo. Temos:

\begin{eqnarray}x^4-2x^3+4x-4 &=&  x^4-2x^3+2x^2-2x^2+4x-4 \\ &=& x^2(x^2-2x+2)-2(x^2-2x+2) \\ &=& (x^2-2)(x^2-2x+2) \\ &=& (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2-2x+2)  \end{eqnarray}

Logo  $x^4-2x^3+4x-4 = (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2-2x+2)$. Essa é uma fatoração é completa, pois os polinômios $x-\sqrt{2}$ e $x+\sqrt{2}$ possuem grau $1$ e o polinômio $x^2-2x+2$ é irredutível (veja mais sobre polinômios irredutíveis aqui), visto que, calculando seu $\Delta$, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& (-2)^2-4\cdot 1 \cdot 2 \\ &=& 4-8 = -4. \end{eqnarray}

Agora, vamos analisar o sinal dos fatores na fatoração do polinômio $x^4-2x^3+4x-4$ . Para o fator $x-\sqrt{2}$, temos

\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & > & 0 \\ x &>& \sqrt{2}, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & < & 0 \\ x &<& \sqrt{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & = & 0 \\ x &=& \sqrt{2}. \end{eqnarray}

Para o fator $x+\sqrt{2}$. Temos

\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & > & 0 \\ x &>& -\sqrt{2}, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & < & 0 \\ x &<& -\sqrt{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & = & 0 \\ x &=& -\sqrt{2}. \end{eqnarray}

Como o fator $x^2-2x+2$ possui $\Delta < 0$ e $a = 1 > 0$, segue que ele é positivo para todo $x \in \mathbb{R}$.

Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:

Desse modo, de acordo com a análise de sinal que fizemos, a solução da inequação $x^4-2x^3+4x-4 \geq 0$ é o conjunto $S = \left(-\infty,-\sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, +\infty\right)$ ou, de outra forma, $S = \left\{x \in \mathbb{R}: x \leq -\sqrt{2} \mbox{ ou } x \geq \sqrt{2}\right\}$.

12. Resolva a inequação $x(x+2) < -1$.

Solução: Essa inequação parece ser bem simples de resolver, mas nela existem alguns detalhes importantes para serem observados. Observe que, ao lado esquedo do símbolo de desigualdade, temos uma multiplicação. Se do lado direito tivéssemos o zero, era só aplicar a análise de sinal, pois o polinômio do lado esquedo já estaria fatorado. Mas, como isso não ocorre, é melhor fazer a multiplicação do lado esquerdo e passar o $-1$ para o lado esquedo, assim, vamos ter uma inequação em um dos formatos da definição de inequação polinomial. Fazendo isso, temos,

\begin{eqnarray} x(x+2) &<& -1 \\ x^2+ 2x &<& -1 \\ x^2+2x+1 < 0. \end{eqnarray}

Logo, temos a inequação do enunciado escrita na forma $x^2+2x+1 < 0$. Observe que o lado esquerdo do símbolo de desigualdade é igual a $(x+1)^2$, assim, a inequação fica na foma $(x+1)^2 < 0$. Nesse caso não a análise de sinal fica muito simples e nem precisamos usar o diagrama, pois qualquer número ao quadrado ou é zero ou é positivo. Assim, é impossível obtermos algum $x$ tal que $(x+1)^2 < 0$, isto é, essa inequação não possui solução e podemos escrever que seu conjunto solução é vazio, isto é, $S = \emptyset$. Vamos pensar em outras possibilidades para essa inequação: se o símbolo de desigualdade fosse igual a $\leq$, teríamos como solução o conjunto $S = \{-1\}$, pois para $x = -1$, vamos ter $x+1 = -1+1 = 0$. Se o símbolo de desigualdade fosse $\geq$, o conjunto solução seria $S = \mathbb{R}$, pois, como já sabemos, qualquer número ao quadrado é igual a zero ou é positivo. Por fim, se o símbolo de desigualdade fosse $>$, o conjunto solução seria $S = (-\infty,-1) \cup (-1, +\infty)$ ou $S = \{x \in \mathbb{R}: x \neq -1\}$, pois $x = -1$ é o único valor para o qual temos $x+1 = -1+1 = 0$ e, para todos os outros valores possíveis de $x$, temos $(x+1)^2 > 0$.

Observação: De um modo geral, qualquer número elevado a uma potência par será igual a zero se o número for zero e será positivo em qualquer outro caso. Qualquer número elevado a uma potência ímpar será positivo se o número for positivo, será zero se o número for zero e será negativo se o número for negativo. Lembre-se disso na hora de resolver inequações polinômiais, isso pode ser muito útil, assim como foi no exemplo anterior.

Exemplo em vídeo:

Acredito que, entendendo bem tudo o que foi feito nessa postagem, você terá conhecimento sufiente para lidar com as inequações polinômiais.

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Inequações #3: Análise de sinal de polinômios

 Na postagem anterior vimos como resolver uma inequação do primeiro grau. Essa é a base para resolver qualquer inequação. Nessa postagem eu poderia abordar as inequações do segundo grau, mas vou além disso. Vou apresentar um método que pode ser usado para resolver qualquer inequação que possa ser escrita como um polinômio de grau maior ou igual a $2$, um símbolo de desigualdade e o zero. podemos chamar esse método de "análise de sinal de polinômios". Essa postagem é importante não só para a resolução de inequações. A análise de sinal de polinômios também é usada em assuntos mais avançados de matemática, como determinar os intervalos onde uma função polinomial é crescente ou decrescente, onde seu gráfico possui concavidade para cima ou para baixo e também para determinar seus pontos de máximos e mínimos locais.  Para entender bem essa postagem é necessário que você saiba o que são raízes de polinômios, como encontrá-las e também como fatorar polinômios. Tendo recordado esses tópicos sobre polinômios, vamos lá!

Análise de sinal de polinômios

O que é fazer uma análise de sinal de um polinômio ou analisar o sinal de um polinômio? Esse processo consiste em determinar para quais valores de $x$ o polinômio é positivo, para valores de $x$ ele é zero e para quais valores de $x$ ele é negativo. Matematicamente, dado um polinômio qualquer 

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$

analisar o seu sinal significa resolver as inequações

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$

e resolver a equação 

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_ 0= 0.$$

Por esse motivo, aprender a analisar o sinal de um polinômio é muito importante, esse método pode ser aplicado para resolver qualquer inequação em uma das formas

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \geq 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$

ou

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \leq 0.$$

As inequações que podem ser escritas em um dos formatos acima são chamadas de inequações polinomiais. Quando $n=1$, temos uma inequação do primeiro grau (essa nos já estudamos), quando $n=2$ temos uma inequação do segundo grau, quando $n=3$, temos uma inequação do terceiro grau e assim  por diante.

Já sabemos da importância que é saber analisar o sinal de um polinômio, mas como isso é feito? Esse processo é feito usando a fatoração completa de polinômios. Mas como a fatoração completa de polinômios é aplicada na análise de sinal de um polinômio? Para entender isso, considere primeiramente um produto $ab$ de dois números reais $a$ e $b$. É fácil saber qual é o sinal do produto $ab$. O produto $ab$ vai ser maior que zero quando $a > 0$ e $b > 0$ ou quando $a < 0$ e $b < 0$, o produto $ab$ será igual a zero quando $a=0$ ou $b=0$ e o produto $ab$ será negativo quando $a < 0$ e $b > 0 $ ou quando $a > 0$ e $b <0$. A mesma coisa acontece com o produto de polinômios, dado um polinômio $p(x)$, fatorando-o de forma completa, vamos ter

$$p(x) = q_1(x)q_2(x) \cdots q_n(x),$$

onde os $q_i(x)$ são polinômios de grau $1$ ou grau $2$ irredutíveis, com $i = 1,2, \dots, n$. Desse modo,  para saber qual é o sinal de $p(x)$ para cada $x$, basta saber os sinais de cada $p_i(x)$, isto é, fazer a análise de sinal desses fatores, e fazer o jogo de sinal entre esses polinômios, o que é um trabalho mais fácil.

Agora, vamos o que está descrto acima nos exemplos, começando pelos mais fáceis e depois complicando um pouco.

Exemplos:

1. Analise o sinal do polinômio $x^2+x-2$.

Solução: A primeira coisa a se fazer ao analisar o sinal de um polinômio é fatorá-lo. Nesse exemplo temos um polinômio de grau $2$, o que facilita um pouco a nossa vida, pois, para encontrar suas raízes basta aplicarmos a fórmula de Bhaskara ou Soma e Produto (pode ser que ele não possua raízes, veremos esse caso adiante). Aplicando Soma e Produto ao polinômio $x^2+x-2$ segue que suas raízes são $x = 1$ e $x = -2$. Desse modo, como esse polinômio é mônico (coeficiente dominante é igual a $1$), temos que $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$. Agora, para analisar o sinal de $x^2+x-2$, vamos analisar o sinal dos fatores presentes na sua fatoração, isto é, vamos determinar para quais valores de $x$ os polinômios $x-1$ e $x+2$ são maiores que zero, zero e menores que zero. Isto é, vamos resolver as inequações

$$x-1 > 0, \; x-1 < 0,$$

$$x+2 > 0, \; x+2 < 0 $$

e as equações

$$x - 1 = 0 \mbox{ e } x+2 = 0.$$

Vamos começar analisando o sinal do fator $x-1$. Temos

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Guarde esses resultados. Vamos agora analisar o sinal do fator $x+2$. Temos

\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& - 2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}

Novamente, guarde esses resultados.

Agora que analisamos os sinal de cada fator, vamos usar um diagrama para auxiliar a análise de sinal do polinômio $x^2+x-2$. Primeiramente, escreva os dois fatores, um em baixo do outro e, em baixo deles coloque o produto deles. Após fazer isso, trace um segmento na frente dos fatores e do produto deles, confome o exemplo:

Agora, vamos colocar no diagrama os resultados da análise de sinal que fizemos no polinômio $x-1$. Vamos lembrar, nós obtivemos que $x-1 > 0$ para $x > 1$, que $x-1 < 0$ para $x < 1$ e que $x-1=0$ para $x=1$. No segmento que está na frente do fator $x-1$, marque o número $1$ acima do segmento e abaixo dele, coloque o número $0$. Isso é para dizer que $x-1$ é igual a $0$ quando $x=1$. Agora, à esquerda do $0$ coloque sinais de menos e à direita do zero, coloque sinais de mais, isso porque $x-1$ é menor que $0$ quando $x < 1$ e $x-1$ é maior que $0$ quando $x > 1$. Faça isso conforme o exemplo:

 

Vamos colocar no diagrama os resultados da análise de sinal que fizemos no polinômio $x+2$. Vamos lembrar, nós obtivemos que $x+2 > 0$ para $x > -2$, que $x+2 < 0$ para $x < -2$ e que $x+2=0$ para $x=-2$. No segmento que está na frente do fator $x+2$, marque o número $-2$ acima do segmento e , abaixo dele, coloque o número $0$. Isso é para dizer que $x+2$ é igual a $0$ quando $x=-2$. Observemos que $-2 < 1$ e, por esse motivo, devemos marcar o $-2$ à esquerda do $1$ que foi marcado no segmento acima, isso é fundamental, devemos obedecer a ordem na reta numérica. Agora, à esquerda do $0$ coloque sinais de menos e à direita do zero, coloque sinais de mais, isso porque $x+2$ é menor que $0$ quando $x < -2$ e $x+2$ é maior que $0$ quando $x > -2$. Faça isso conforme o exemplo:

Depois de representar a análise de sinal de todos os fatores no diagrama, trace segmentos perpendiculares aos segmentos que estão na frente dos fatores passando pelos números que foram marcados, conforme o exemplo:

Agora vamos fazer marcações no segmento que está à frente do produto dos fatores. Marque o número $-2$ onde a perpendicular que passa pelo $-2$ cruza o segmento que está à frente do produto dos fatores e, em baixo do $-2$ coloque o $0$. Faça a mesma coisa com o número $1$.

Perceba que o último segmento está dividido em três partes. Nessas partes vamos colacar o resultado do jogo de sinal com os sinais que estão acima. Assim, vamos ter 

Estamos chagando ao final. Basta interpretarmos o que está na última linha do diagrama. À esquerda do $-2$ temos sinais de mais, isto é, para valores de $x$ menores que $-2$, temos que $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é maior que $0$. Em outras palavras, temos que $x^2+x-2>0$ no intervalo $(-\infty, -2)$. Entre os números $-2$ e $1$ temos sinais de menos, isto é, para valores de $x$ maiores que $-2$ e menores que $1$, temos que $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é menor que $0$. Em outras palavras, temos que $x^2+x-2<0$ no intervalo $(-2, 1)$. À direita do $1$ temos sinais de mais, isto é, para valores de $x$ maiores que $1$, temos que $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é maior que $0$. Em outras palavras, temos que $x^2+x-2>0$ no intervalo $(1, \infty)$. Em baixo dos números $-2$ e $1$ está o número $0$, assim, $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ é igual a $0$ para $x=-2$ e $x=1$. Assim, está feita a análise de sinal do polinômio $x^2+x-2$. Resumindo, temos:

O plonômio $x^2+x-2$ é positivo em $(-\infty, -2)$ e $(1, \infty)$, é negativo em $(-2, 1)$ e é zero em $-2$ e $-1$.

Viu como não é difícil? Pode ser trabalhoso, mas não é difícil. Antes de continuarmos com os exemplos, vamos ver uma obervação.

Observação: Se um polinômio de grau $2$,  $ax^2+bx+c$, não tiver raiz, a sua análise de sinal é fácil de fazer. Nesse caso ele será somente positivo ou somente negativo. Para saber se ele será negativo ou positivo, basta olhar o sinal de $a$. Se $a$ for negativo, vamos ter $ax^2+bx+c < 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ e se $a$ for positivo, vamos ter $ax^2+bx+c > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. No final da postagem eu coloquei um vídeo justificando o motivo do polinômio não mudar de sinal se as condições dessa observação forem verificadas.

Vamos fazer mais dois exemplos e, para essa postagem não ficar muito longa, os próximos exemplos não serão feitos passo a passa como o primeiro, mas o raciocínio usado neles será exatamente o mesmo.

2. Analise o sinal do polinômio $2x^3-7x^2+9$.

Solução: Vamos começar fatorando o polinômio $2x^3-7x^2+9$. Uma das raízes desse polinômio é $x=-1$, pois $2 \cdot (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 + 9 = -2-7+9=0$ (Como eu sei disso? Toda vez que preciso calcular uma raiz de um polinômio, antes de fazer qualquer coisa, eu testo os números $-1$ e $1$). Sendo assim, o polinômio $2x^3-7x^2+9$ é divisível por $x+1$ (para saber mais sobre isso, clique aqui). Dividindo $2x^3-7x^2+9$ por $x+1$, temos: 

Assim, $2x^3-7x^2+9 = (x+1)(2x^2-9x+9)$. Agora, vamos continuar a fatoração de $2x^3-7x^2+9$ fatorando o polinômio $2x^2-9x+9$. Aplicando a fórmula de Bhaskara para determinar suas raízes, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 \\ &=& 81 - 72 \\ &=& 9 \end{eqnarray}

e assim, 

\begin{eqnarray} x &=& \frac{-(-9) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} \\ &=& \frac{9 \pm 3}{4} \end{eqnarray}

Logo, as raízes desse polinômio são $x=3$ e $x \displaystyle\frac{3}{2}$. Desse modo, podemos dividir o polinômio $2x^2-9x+9$ por $x-3$. Fazendo essa divisão, temos:

Logo, $2x^2-9x+9 = (x-3)(2x-3)$. Temos então a fatoração completa do polinômio $2x^3-7x^2+9$, isto é:

$$2x^3-7x^2+9 = (x+1)(x-3)(2x-3).$$

Agora, vamos analisar o sinal de cada fator da fatoração acima. Para o fator $x+1$, temos:

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-3$, temos:

\begin{eqnarray} x-3 & > & 0 \\ x &>& 3, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-3 & < & 0 \\ x &<& 3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-3 & = & 0 \\ x &=& 3. \end{eqnarray}

Para o fator $2x-3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x-3 & > & 0 \\ 2x &>& 3 \\ x &>& \frac{3}{2}, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} 2x-3 & < & 0 \\ 2x &<& 3 \\ x &<& \frac{3}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x-3 & = & 0 \\ 2x &=& 3 \\ x &=& \frac{3}{2}. \end{eqnarray}

Passando os resultados obtidos para o digrama, temos:

Observe que, nesse caso, em cada parte que o último segmento foi dividido, fizemos o jogo de sinal com três sinais. De acordo com o diagrama, podemos concluir que o polinômio $2x^3-7x^2+9$ é maior que $0$ em $\left(-1, \displaystyle\frac{3}{2}\right)$ e $(3, +\infty)$, é menor que $0$ em $(-\infty, -1)$ e $\left(\displaystyle\frac{3}{2}, 3\right)$ e é igual a $0$ em $-1$, $\displaystyle\frac{3}{2}$ e $3$.

Vamos ao último exemplo.

3. Analise o sinal do polinômio $x^4-x^3+x^2-x$.

Solução: Novamente, vamos começar fatorando o polinômio $x^4-x^3+x^2-x$. Esse polinômio é mais fácil de fatorar (como eu sei disso? Pela experiência. Quanto mais exercícios você faz, mais fácil ficar de identificar o melhor caminho para encontrar a solução). Podemos fazer o seguinte:

\begin{eqnarray} x^4-x^3+x^2-x &=& x(x^3-x^2+x-1) \\ &=& x(x^2(x-1) + (x-1)) \\ &=& x(x-1)(x^2+1). \end{eqnarray}

Essa é uma fatoração completa o polinômio $x^4-x^3+x^2-x$. Apesar do polinômio $x^2+1$ ter grau $2$, ele não pode ser fatorado, pois ele não possui raízes reais (possui $\Delta = -4$). Como já temos a fatoração completa do polinômio $x^4-x^3+x^2-x$, vamos analisar o sinal de seus fatores.

Para o fator $x$ temos que $x$ é negativo quando $x<0$, que $x$ é positivo quando $x > 0$ é que é zero quando $x=0$. 

Como já vimos, o fator $x^2+1$ não possui raízes, logo, o seu sinal é o mesmo para todo $x \in \mathbb{R}$. Nesse fator, temos $a = 1 > 0$, logo, $x^2+1 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Para o fator $x-1$, temos:

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

 

Passando os resultados obtidos para o digrama, temos:

Observe que no segmento que representa os sinais do fator $x^2+1$ só foram marcados sinais de mais. Isso foi feito pois ele não possui raízes e é positivo para todo $x \in \mathbb{R}$. 

De acordo com o diagrama, temos que $x^4-x^3+x^2-x$ é positivo em $(-\infty,0)$ e em $(1,+\infty)$, é negativo em $(0,1)$ e é zero em $0$ e em $1$.

Exemplo em vídeo:

Justificativa da observação:

Acredito que, com os exemplos que foram feitos aqui, você será capaz de analisar o sinal de qualquer polinômio. A parte mais difícil do processo de análise de sinal de um polinômio é fatorá-lo, então, estude também as várias formas que podemos fatorar um polinômio (você pode estudr isso clicando aqui).

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Inequações #2: Inequação do primeiro grau

Na primeira postagem dessa série sobre inequações vimos o que é uma inequação e o que devemos fazer na hora de encontrar sua solução, isto é, na hora resolvê-la. A partir dessa postagem vamos ver como resolver alguns tipos de inequações e, especificamente nessa postagem, vamos aprender a resolver as inequações do primeiro grau, que também são conhecidas como inequações lineares com uma variável. Esse tipo de inequação é o mais fácil de resolver, mas nem por isso elas são menos importantes. Saber como resolver uma inequação do primeiro grau é fundamental para resolver os outros tipo de inequaçções. Por esse motivo, entender bem o conteúdo dessa postagem é um passo muito importante para aprender a resolver as inequações. Então, vamos lá!

Inequação do primeiro grau

Antes de mais nada, vamos ver a definição de inequação do primeiro grau.

Definição: Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas

$$ax + b < 0, \mbox{ } ax+b \leq 0, \mbox{ } ax+b > 0 \mbox{ ou } ax + b \geq 0$$

com $a,b \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$ é chamada inequação do primeiro grau.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x+ 1 < 0$

2. $\displaystyle\frac{x}{2} - 4 \leq 0$

3. $-\sqrt{2}x + \displaystyle\frac{3}{4} > 0$

4. $4x  \geq 0$

Algumas vezes, talvez na maioria delas, as inequações lineares não aparecem no formato em que estão as inequações dos quatro exemplos anteriores e, para deixá-las nesse formato, é necessário fazer algumas simplificações usando as propriedades de ordem com as opearações dos números reais e as próprias operações. Vamos continuar os exemplos vendo alguns desses casos.

5. Escreva a inequação $3x - 4 < 2x +1$ no formato $ax + b < 0$.

Solução: Vamos fazer esse exemplo bem detalhadamente, apresentando em cada passo as propriedades de ordem que estamos usando. Para que a inequação $3x - 4 < 2x +1$ fique no formato desejado, devemos "transformar" ou "fabricar" um $0$ no lado direito do símbolo $<$. Vamos fazer isso usando a seguinte propriedade:

Se $a < b$, então $a + c < b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$.

Essa propriedade nos diz que podemos somar um mesmo número em ambos os lados de um símbolo de desigualdade, que o símbolo não se altera. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$. Sendo assim, devemos somar em ambos os lados da inequação $3x - 4 < 2x +1$ os termos $-1$ e $-2x$. Fazendo isso passo a passo, temos:

\begin{eqnarray} 3x - 4 &<& 2x + 1 \\ 3x - 4 + (-1) &<& 2x + 1 + (-1) \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x + 1 - 1 \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x \\ 3x - 5 &<& 2x \\ 3x - 5 + (-2x) &<& 2x + (-2x) \\ 3x - 5 - 2x &<& 2x - 2x \\ 3x - 5 - 2x &<& 0 \\ x - 5 &<& 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $3x - 4 < 2x +1$ pode ser reescrita na forma $x - 5 < 0$. 

Continuando nesse exemplo, vamos reescrever a simplificação feita cima, omitindo algumas linhas.

\begin{eqnarray} 3x - 4 &<& 2x + 1 \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x \\ 3x - 5 &<& 2x \\ 3x - 5 - 2x &<& 0 \\ x - 5 &<& 0 \end{eqnarray}

As linhas omitidas na simplificação acima foram àquelas em que somamos um mesmo termo nos dois lados do símbolo $<$ e as linhas que tinham o resultado dessas somas. Observando a simplificação com essas linha omitidas, ao aplicarmos a propriedade de ordem que citamos anteriormente,  parece que passamos o $1$ do lado direito para o lado esquerdo, com o sinal trocado, e também o $2x$ do lado direito para o lado esquerdo, com o sinal trocado. Isso nos mostra que, em qualquer inequação, assim como nas equações, podemos passar um termo que está sendo somado ou subtraído de um lado para o outro trocando o seu sinal. Esse processo nos será muito útil  na hora de resolver as inequações. Não se esqueça disso.

6. Escreva a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$ no formato $ax + b \geq 0$. 

Solução: Se uma inequação possui alguma operação a ser feita em um ou nos dois lados do símbolo de desigualdade, essas operações devem ser feitas por primeiro, a fim de simplificar as expressões que estão nos dois lados da inequação, para que esta possa ser reescrita no formato $ax + b \geq 0$. Na inequação do enunciado, no lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos a expressão $2(x-3)+1$. Desse modo, vamos começar a reescrever a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$, simplificando essa expressão. Temos:

\begin{eqnarray} 2(x-3)+1 &\geq& 5x-8 \\ 2x - 6 + 1 &\geq & 5x - 8 \\ 2x -5 &\geq& 5x-8 \\ 2x - 5 + 8 \geq 5x \\ 2x +3 &\geq& 5x \\ 2x + 3 - 5x &\geq& 0 \\ -3x + 3 & \geq & 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$ pode ser reescrita na forma $-3x+3 \geq 0$.

Nesses dois últimos exemplos podemos perceber que, para identificar uma inequação do primeiro grau mesmo que ela não esteja em um dos formatos da definição, basta olharmos para a incónita presente na inequação, vamos chamá-la de $x$ para facilitar. Se não houver uma potência fracionária, inteira negativa, nula, ou maior ou igual a $2$ em $x$, se $x$ não estiver dentro de uma raiz, não estiver na parte de baixo de um quociente e nem dentro de um módulo, então a inequação é do primeiro grau, pois nesses caso, ela sempre vai poder se reescrita em um dos formatos que estão na definição.

Então, não precisamos fazer como nos exemplos 5 e 6 para identificar uma inequação do primeiro grau. Mas, mesmo assim, esses exemplos são importantes, pois eles nos mostram que, se um termo está somando ou subtraindo, podemos trocá-lo de lado mudando seu sinal e que podemos simplificar as expressões que estão em cada lado do símbolo de desigualdade nas inequações. Agora, vamos ver como resolver as inequações do primeiro grau e como escrever seu conjunto solução.

Como resolver uma inequação do primeiro grau

Quando se trata de equações, para resolvê-las, o principal objetivo é isolar a incógnita. Quando se trata de inequações do primeiro grau, o principal objetivo é o mesmo, isolar a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados do símbolo de desigualdade. Vamos ver como fazer isso por meio de exemplos, começando pelos mais fáceis e depois passando para os mais complicados.

Exemplos:

7. Resolva a inequação $5x+10 < 0$.

Solução: Vamos isolar o $x$ na inequação do enunciado, deixando o $x$ sozinho do lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Já vimos anteriormente que podemos passar um termo que está somando ou subtraindo para o outro lado do símbolo de desigualdade trocando o seu sinal. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \end{eqnarray}

Agora, do lado esquerdo, temos $5x$. Para "transformá-lo" em $x$, vamos usar a seguinte propriedade:

Se $a < b$ e $c > 0$, então $ac < bc$.

Essa propriedade nos diz que podemos multiplicar os dois lados de uma inequação por um número positivo que o símbolo de desigualdade não muda. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$. Como do lado esquerdo temos $5x$, vamos multiplicar os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{5}$, o inverso do $5$, pois multiplicando um número pelo seu inverso, o resultado sempre é igual a $1$, assim, vamos conseguir isolar o $x$. Assim, temos:

\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \\ \frac{1}{5} \cdot 5x &<& \frac{1}{5} \cdot (-10) \\ x &<& \frac{-10}{5} \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

Vamos reescrever os cálculos acima omitindo a linha em que multiplicamos os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{5}$. Temos:

\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10  \\ x &<& \frac{-10}{5} \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

Perceba que, quando aplicamos a regra citada acima, o $5$ que estava multiplicando o $x$ passou para o outro lado dividindo. Assim, em qualquer inequação, se um número positivo está multiplicando o $x$, ele pode passar para o outro lado dividindo. Além disso, usando o mesmo raciocínio, o contrário também vale, isto é, se um número positivo está dividindo o $x$, ele pode passar para o outro lado multiplicando. 

Agora, vamos para o último passo da resolução da inequação, ou seja, escrever o conjunto solução. No final das contas que fizemos, chegamos a $ x < -2$. Uma das maneiras de escrever o conjunto solução é usando a notação de intervalo. Todos os $x$ que satisfazem $x < -2$ estão no intervalo $(-\infty, -2)$, isto é, dizer que $x < -2$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -2)$. Assim, podemos dizer que o conjunto solução $S$ da inequação é $S = (-\infty, -2)$. Outra  maneira de escrever o conjunto solução é usando a notação de conjunto mesmo, usando as chaves e descrevendo a propriedade do conjunto. Nesse formato, podemos escrever o conjunto solução $S$ da inequação na forma $S = \{x \in \mathbb{R}:x<-2\}$. Em algumas ocasições, o conjunto solução nem vai ter nome e vai ser simplesmente escrito como $x < -2$, mas é importante conhecer todas as maneiras de escrever o conjunto solução.

8. Resolva a inequação $-2x + 8 < 0$.

Solução: Assim como no exemplo anteior, vamos isolar o $x$ na inequação do enunciado, deixando o $x$ sozinho do lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Vamos começar a fazer isso, passando o $8$ para o outro lado da inequação. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \end{eqnarray}

Perceba que o número que está multiplicando $x$ não é positivo, assim, não podemos proceder da mesma forma que o exemplo anterior, ou seja, passar o $-2$ dividindo o outro lado. Nesse caso, a propriedade a ser usada é a seguinte:

Se $a < b$ e $c < 0$, então $ac > bc$.

Essa propriedade nos diz que podemos multiplicar os dois lados de uma inequação por um número negativo, mas ao fazermos isso,  o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$ (lembrando também de inverter o símbolo após multiplicar pelo número negativo). Como do lado esquerdo temos $-2x$, vamos multiplicar os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{-2}$, o inverso do $-2$, pois multiplicando um número pelo seu inverso, o resultado sempre é igual a $1$, assim, vamos conseguir isolar o $x$. Assim, temos:

\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \\ \frac{1}{-2} \cdot (-2x) &>& \frac{1}{-2} \cdot (-8) \\ x &>& \frac{-8}{-2} \\ x &>& 4  \end{eqnarray}

Vamos reescrever os cálculos acima omitindo a linha em que multiplicamos os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{-2}$. Temos:

\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \\ x &>& \frac{-8}{-2} \\ x &>& 4  \end{eqnarray}

Perceba que, quando aplicamos a regra citada acima, o $-2$ que estava multiplicando o $x$ passou para o outro lado dividindo e o símbolo de desigualdade foi invertido. Assim, em qualquer inequação, se um número negativo está multiplicando o $x$, ele pode passar para o outro lado dividindo, mas sempre é necessário inverter o símbolo de desigualdade. Além disso, usando o mesmo raciocínio, o contrário também vale, isto é, se um número negativo está dividindo o $x$, ele pode passar para o outro lado multiplicando, desde que o símbolo de desigualdade seja invertido.

No final das contas que fizemos, chegamos a $ x > 4$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação é $S = (4, + \infty)$ ou  $S = \{x \in \mathbb{R}:x > 4\}$, ou ainda, simplesmente $x > 4$.

Agora que sabemos quais propriedades usar, como usá-las e também por onde começar a resolver uma inequação, vamos fazer os próximos exemplos de forma mais direta.

9. Determine o conjunto solução da inequação $2(3x-4)-4x \leq x+1$.

Solução: Temos:

\begin{eqnarray} 2(3x-4)-4x &\leq& x+1 \\ 6x-8-4x &\leq& x+1 \\ 2x-8 &\leq& x+1 \\ 2x-x -8 &\leq& 1 \\ x - 8 &\leq& 1 \\ x &\leq& 1+9 \\ x &\leq& 10\end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = (- \infty, 10]$. Observe que usamos o colchete no limitante direito do intervalo pois o número $10$ está no conjunto solução.

10. Resolva a inequação $\displaystyle\frac{2x}{3} - 2(x+1) \geq 3x - \displaystyle\frac{1}{2}$

Solução: Efetuando os cálculos, temos:

\begin{eqnarray} \frac{2x}{3} - 2(x+1) &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ \frac{2x}{3} - 2x-2 &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ -\frac{4x}{3} - 2 &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ -\frac{4x}{3} &\geq& 3x - \frac{1}{2} + 2 \\ -\frac{4x}{3} &\geq& 3x + \frac{3}{2}  \\ -\frac{4x}{3} - 3x &\geq& \frac{3}{2} \\ -\frac{13x}{3}  &\geq& \frac{3}{2} \\ -13x  &\geq&  3 \cdot \frac{3}{2} \\ -13x  &\geq&  \frac{9}{2} \\ x  &\leq&  \frac{\frac{9}{2}}{-13} \\ x  &\leq&  \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{-13} \\ x  &\leq&  \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{-13} \\  x  &\leq& - \frac{9}{26} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{9}{26}\right]$.

11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+2}{3} < x+ 2(x -2) + 4$.

Solução: Efetuando os cálculos, temos:

\begin{eqnarray}\frac{x+2}{3} &<& x+ 2(x -2) + 4 \\ \frac{x+2}{3} &<& x+ 2x -4 + 4 \\ \frac{x+2}{3} &<& 3x \\ x+2 &<& 3 \cdot 3x \\ x+2 &<& 9x  \\ x -9x+2 &<& 0 \\ -8x+2 &<& 0 \\ -8x &<& -2 \\ x &>& \frac{-2}{-8} \\ x &>& \frac{1}{4} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left(\displaystyle\frac{1}{4}, +\infty \right)$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3(x-1) \geq 5+ 2(x -2) + \displaystyle\frac{2}{5}$.

Solução: Efetuando os cálculos, temos:

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3(x-1) &\geq& 5+ 2(x -2) + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3x-3 &\geq& 5+ 2x -4 + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 &\geq&  2x +1 + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 &\geq&  2x  + \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 -2x &\geq&  \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}-3 &\geq&  \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4} &\geq&  \displaystyle\frac{7}{5}+3 \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4} &\geq&  \displaystyle\frac{22}{5} \\ 3x+2 &\geq&  4 \cdot \displaystyle\frac{22}{5} \\ 3x+2 &\geq&  \frac{88}{5} \\ 3x &\geq&  \frac{88}{5} - 2 \\ 3x &\geq&  \frac{78}{5} \\ x &\geq& \frac{\frac{78}{5}}{3} \\ x &\geq& \frac{78}{5}\cdot \frac{1}{3} \\ x &\geq& \frac{78}{15} \\ x &\geq& \frac{26}{5} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left[\displaystyle\frac{26}{5}, +\infty \right)$.

Exemplos em vídeo:

Observação importante: Alguma vezes pode acontecer que, ao simplicar uma inequação para resolvê-la, a inequação se torne sempre verdadeira ou sempre falsa. Por exemplo, simplificando a inequação $3x+1 > 3x$ vamos obter a inequação $1 > 0$, que é sempre verdade. Logo, essa inequação é verdadeira para todo $x \in \mathbb{R}$ e, o seu conjunto solução é $\mathbb{R}$ ou $(-\infty, +\infty)$. Agora, considere inequação $2x - 2 > 1 + 2x$. Simplificando essa inequação vamos obter a inequação $-2 > 1$, que é uma afirmação falsa. Logo, essa inequação é falsa para todo $x \in \mathbb{R}$, ou seja, ela nunca é verdadeira, independentemente de quem seja o $x$, ou ainda, ela não possui solução. Portanto, o seu conjunto solução é $\emptyset$ (conjunto vazio).

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Inequações #1: O que é uma inequação?

Essa postagem abre a série de postagens sobre inequações aqui no blog. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação e, para isso, também vamos lembrar dos símbolos de desigualdades e da ordem nos números reais. O enfoque dessa postagem será no que é uma inequação, pois para vermos maneiras de resolver as inequações, precisamos separá-las em diferentes tipos e, por esse motivo, faremos isso em postagens separadas. Então, vamos entender o que é uma inequação.

Inequações

A ordem no conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.

Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b  \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b  \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline  \end{array}$$

Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.

Observação:

(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;

(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;

(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;

(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.

Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:

(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).

(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).

(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).

(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).

(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.

(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.

(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.

(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.

(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.

As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$,  $<$ ou $>$. Para ver exemplos numéricos dessas propriedades, veja a postagem sobre a ordem dos números reais.

Agora, tendo essas definições propriedades, podemos passar para as inequações propriamente ditas.

Inequações

Apesar de estarmos usando o termo inequações, nessa série de postagens, vamos estudar inequações com somente uma incógnita. Vamos à definição:

Definição: Uma inequação na incónita $x$ (pode ser qualquer outra letra) é uma afirmação que contém ao menos um dos símbolos $<$, $>$, $\leq$ e $\geq$.

Vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $5x-4 < 1$

2. $x^2-4x+1 > 0$

3. $\displaystyle\frac{x}{x+1} \leq 1$

4. $\sqrt{x^3-x+1} > x^2$

5. $|x+1| > x+5$

6. $-3 < 4x+2 \leq 5$

Vamos parar no exemplo 6, por que podemos continuar infinitamente com os exemplos. A seguir, temos alguns conceitos importantes sobre inequações.

Resolver uma inequação em $x$ (ou em qualquer outra incógnita) significa encontrar todos os valores para os quais a inequação é verdadeira. Uma solução de uma inequação em $x$ é um número que satisfaz a inequação, ou seja, que a torna verdadeira. O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado conjunto solução.

Para entendermos melhor os conceitos de resolver uma inequação em $x$, solução e de conjunto solução, considere a inequação  $5x-4 < 1$. O número $\displaystyle\frac{4}{5}$ é uma solução dessa inequação, pois, ao colocarmos ele no lugar do $x$, a inequação se torna verdadeira. De fato, para $x = \displaystyle\frac{4}{5}$, temos:

\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot \frac{4}{5} - 4 & < & 1 \\ 4 - 4 &<& 1 \\ 0 &<& 1 \end{eqnarray}

Como $0 < 1$ é verdade, para $x = \displaystyle\frac{4}{5}$ a afirmação $5x-4 < 1$ é verdadeira. Agora, o número $2$ não é solução da inequação, pois, ao colocarmos ele no lugar do $x$, a inequação se torna falsa. De fato, para $x=2$, temos:

\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot 2 - 4 & < & 1 \\ 10 - 4 &<& 1 \\ 6 &<& 1 \end{eqnarray}

Assim, como $6 < 1$ não é verdade, $x=2$ não é solução da inequação.

Resolver uma inequação é o processo de encontrar, assim como o $\displaystyle\frac{4}{5}$, todos os números que, colocados no lugar do $x$ tornam a inequação verdadeira. Ao terminar esse processo, vamos ter então o conjunto solução, vamos saber quais são todos os números que satizfazem a inequação.

Note que $-1$ também é solução da inequação, pois:

\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot (-1) - 4 & < & 1 \\ -5 - 4 &<& 1 \\ -11 &<& 1 \end{eqnarray}

Até aqui vimos duas soluções da inequação $4x-4<1$, mas diferentemente das equações, as inequações não possuem somente uma, duas, três ou um número finito de soluções, elas possuem um conjunto infinito de soluções que são intervalos de números reais ou união de intervalos de números reais. Por isso, é muito importante que, antes de aprendermos métodos para resolver inequações, saibamos bem o que é um intervalo limitado, o que é um intervalo ilimitado, que são conjuntos e as maneiras diferentes de escrevê-los bem como fazer a união e a interseção de intervalos de números reais. Tudo o que você precisa saber intervalos e conjuntos estão nesses links.

Outra coisa importante a ser observada é que nem sempre uma inequação possui solução, por exemplo, a inequação $x^2 < 0$ não possui solução, pois nenhum número ao elevado ao quadrado é negativo, ou seja, é menor que zero. Quando isso ocorre, nós dizemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio, denotado por $\emptyset$.

Independentemente do tipo de inequação que vamos resolver, o processo de resolução de uma inequação é feito usando as propriedades da ordem dos números reais que vimos acima. Por esse motivo, elas são muito importantes, são elas que nos dizem o que podemos fazer na hora de resolver uma inequação. Por isso, é sempre bom tê-las em mente na hora de resolver uma inequação.

Exercício resolvido sobre ordem e operações com números reais:

Agora que sabemos o que é uma inequação, o que é resolver uma inequação e o que usar para rsolver inequação, chegou a hora de, de fato, resolvermos inequação. Mas, veremos isso à partir da próxima postagem. Te vejo lá.

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Equações Algébricas #5: Equações modulares

Essa é a última postagem sobre equações algébricas, mas não a menos importante. O módulo ou valor absoluto de um número real é um objeto matemático muito importante. Ele está presente em cálculos simples, como a distância entre dois ponto em uma reta, e até em cálculos mais complexos, como o erro permitido em aproximações. Por esse motivo, ele aparece, não poucas vezes, em equações. O objetivo dessa postagem é apresentar maneiras de resolver uma equação na qual a incógnita está dentro de um ou mais módulos, isto é, apresentar maneiras de resolver equações modulares. Vamos lá!

Equações modulares

Definição de módulo

Antes de definirmos as equaçoes modulares, vamos nos lembrar da definição de módulo de um número real e suas propriedades.

Definição: O módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, é definido como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Resumidamente, o que o módulo faz é o seguinte: se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo. A seguir temos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $|5| = 5$

2. $\left| -\displaystyle\frac{11}{2}\right| = \displaystyle\frac{11}{2}$

3. $|\pi| = \pi$

4. $| -\sqrt[3]{5}| = \sqrt[3]{5}$

Propriedades do módulo

Agora que lembramos o que é o módulo de um número real, vamos lembrar de algumas de suas propriedades que são importantes na hora de reolver equações com módulos.

Dados $x,y \in \mathbb{R}$, valem as seguintes propriedades:

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

(iv) $|xy| = |x| \cdot |y|$.

(v) $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$, se $ y \neq 0$.

Para ter mais detalhes sobre o módulo de um número real, veja essa postagem que é dedicada somente a ele. Se quiser mais detalhes sobre as propriedades do módulo de um número real, veja também essa postagem.

Equações modulares

Agora vamos definir o que é uma equação modular.

Definição: Uma equação modular é uma equação que possui um módulo ou mais módulos nos quais a incógnita está, no 1º membro, no 2º membro os nos dois membros da equação.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

5. $|3x-2| = 5$

6. $|4x^2-x+8| = |x|+3$

7. $\left| \displaystyle\frac{x}{x+1}\right| = 1$

Agora vamos aos exemplos de como resolver equações modulares.

Exemplos:

8. Determine as soluções da equação $|x+2|=3$.

Solução: Em qualquer equação, o objetivo sempre é isolar a incógnita para poder encontrar o seu valor. Para fazer isso em uma equação modular, nós precisamos primeiro encontrar uma forma  de "retirar" o módulo da equação para que possamos isolar o $x$. A forma de retirar o módulo da equação é usando a própria definição de módulo. A equação do enunciado é $|x+2|=3$, isto é, precisamos determinar um valor de $x$ de modo que o módulo de $x+2$ seja igual a $3$. Pela definição de módulo, o módulo de $x+2$ será igual a $3$ se $x+2$ for igual a $3$ ou se $x+2$ for igual a $-3$, pois o módulo de $3$ e de $-3$ são ambos iguais a $3$. Logo, para determinarmos as soluções da equação $|x+2|=3$, temos que reolver duas equações, a saber, $x+2=3$ e $x+2=-3$. Resolvendo essas duas equações, temos:

\begin{eqnarray} x+2 &=& 3 \\ x &=& 3 -2 \\ x &=& 1\end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 &=& -3 \\ x &=& -3 - 2 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}

Portanto, as soluções da equação são $x=1$ e $x=-5$. Verificando se esses valores de $x$ são realmente soluções, temos:

\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |1+2| &=& 3  \\ |3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |-5+2| &=& 3  \\ |-3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}

O raciocínio usado no exemplo anterior pode sempre ser repetido para qualquer equação que tenha o mesmo formato, isto é, para resolver uma equação na forma $|u|=a$ onde $u$ é uma expressão que possui uma incógnita e $a$ é um número real maior ou igual a zero, basta resolver as equações $u=a$ e $u=-a$. Vamos ver mais um exemplo com uma equação nesse formato.

9. Determine as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$.

Solução: De acordo com o raciocínio aplicado ao exemplo anterior, temos que resolver as equações $x^2+x-1=1$ e $x^2+x-1=-1$. Resolvendo a primeira equação, temos:

\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& 1 \\ x^2+x-1-1 &=& 0 \\ x^2+x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando soma e produto nessa útima equação, obtemos como soluções os números $-2$ e $1$. Passando agora para segunda equação, temos:

\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& -1 \\ x^2+x-1+1 &=& 0 \\ x^2+x &=& 0 \\ x(x+1) &=& 0 \end{eqnarray}

Dessa última equação, temos que $x=0$ é uma solução. A outra solução dessa equação é a solução de $x+1=0$, isto é, a outra solução é igual a $-1$. 

Logo, as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$ são $-2$, $-1$, $0$ e $1$. 

10. Calcule as soluções da equação $|2x+1| = |x-4|$.

Solução: A equação desse exemplo não está no formato das equações dos dois exemplos anteriores, ela possui dois módulos, um igual ao outro. Apesar dessa equação ser diferente das anteriores, a maneira de resolver é bem parecida. Para que dois módulos sejam iguais, as expressões que estão dentro deles devem ser iguais, ou devem ter os sinais trocados, isto é, a equação será verdadeira para os valores de $x$ tais que $2x+1 = x-4$ e $2x+1 = -(x-4) = -x+4$. Resolvendo essas equações, temos:

\begin{eqnarray} 2x+1 &=& x-4 \\ 2x-x &=& -4-1 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x+1 &=& -x+4 \\ 2x+x &=& 4-1 \\ 3x &=& 3 \\ x &=& \frac{3}{3} \\ x &=& 1 \end{eqnarray}

Portanto, as soluções dessa equação são $-5$ e $1$.

O raciocínio que usamos nesse exemplo pode ser usado em qualquer equação que tenha o mesmo formato, ou seja, se a equação estiver no formato $|u| = |v|$, onde $u$ e $v$ são expressões que contém uma incógnita, para encontrar as soluções dessa equação é preciso resolver as equações $u=v$ e $u=-v$. Vamos fazer mais um exemplo com equações nesse formato.

11. Calcule as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$.

Solução: Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, para determinarmos as soluções dessa equação, devemos resolver as equações $2x^2+x = x^2+3x+3$ e $2x^2+x  = -x^2 -3x -3$. Resolvendo a primeira equação, temos:

\begin{eqnarray} 2x^2+x &=& x^2+3x+3 \\ 2x^2 +x -x^2-3x-3 &=& 0 \\ x^2 -2x -3 &=& 0  \end{eqnarray}

Aplicando soma e produto na última equação, temos que as suas soluções são $-1$ e $3$. Passando agora para a segunda equação, temos:

\begin{eqnarray} 2x^2+x  &=& -x^2 -3x -3 \\ 2x^2+x+x^2+3x+3 &=& 0 \\ 3x^2+4x+3 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando a fórmula de Bhaskara na última equação, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& 4^2-4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &=& 16 - 36 = -20 \end{eqnarray}

Como $\Delta < 0$, a última equação não possui solução. Portanto, as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$ são $-1$ e $3$. 

12. Determine as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$.

Solução: Nesse exemplo temos uma equação modular onde há um quociente dentro do módulo. Mesmo havendo um quociente na equação, ela pode ser resolvida usando a mesma estratégia usada no exemplo 8, isto é, devemos resolver as equações $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = 2$ e $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = -2$. Resolvendo a primeira equação, temos

\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& 2 \\ 3x &=& 2(x^2-1) \\ 3x &=& 2x^2-2 \\ 2x^2-3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa última equação. Temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& (-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}

Desse modo

\begin{eqnarray} x &=& \frac{3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}

Logo, segue que $x_1 = 2$ e $x_2 = -\displaystyle\frac{1}{2}$. Vamos agora para a segunda equação.

\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& -2 \\ 3x &=& -2(x^2-1) \\ 3x &=& -2x^2+2 \\ 2x^2+3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando a fórmula de Bhaskara nessa útlima equação, temos

\begin{eqnarray} \Delta &=& 3^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}

e \begin{eqnarray} x &=& \frac{-3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}

Logo, segue que $x_3 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_4 = -2$. 

Encontramos 4 possibilidades de soluções para a equação. Para garantir que cada valor de $x$ que encontramos é de fato uma solução, esses valores não podem anular o denominador que aparece na equação. Como os valores de $x$ que anulam $x^2-1$ são $-1$ e $1$, segue que as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$ são $-2$, $-\displaystyle\frac{1}{2}$, $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $2$.

Observação importante: Considere a equação $|x-2| = -2x+8$. Essa equação não pode ser resolvida determinando as soluções das equações $x-2 = -2x+8$ e $x-2 = 2x-8$. A primeira equação tem como solução $x=\displaystyle\frac{10}{3}$ e a segunda tem como solução $x=6$. O número $6$ não é solução da equação $|x-2| = -2x+8$, pois $|6-2| =|4|=4$ e $-2 \cdot 6+8 = -12+8 = -4$. Então, precisamos de uma outra estratégia para resolver essa equação. No vídeo que está no final da postagem tem um vídeo explicando como resolver esse tipo de equação modular. Então, tenha cuidado! Equações na forma $|u| = v$ onde $u$ e $v$ são expressões algébricas com uma incógnita, não podem, em geral, serem resolvidas com as equações $u=v$ e $u=-v$.

Observação: 

(a) Se uma equação modular tem a forma $|u|=0$ onde $u$ é uma expressão que contém uma incógnita, ela é equivalente à equação $u=0$, pois o módulo de um número é igual a zero se, e somente se, esse número for igual a zero. Nesses casos não temos duas equações para resolver, precisamos resolver somente a equaçao $u=0$. 

(b) Se uma equação modular tem a forma $|u|=a$ com $a$ negativo, a equação não possui solução, pois o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero.

Com esses exemplos e estratégias apresentadas aqui acredito que você conseguirá resolver várias equações modulares.

Exemplo em vídeo:

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