Funções #1 - O que é uma função?

Essa é a primeira postagem de uma nova série de postagens que estamos começando aqui no blog e o assunto da vez é Funções. Se você me perguntar o quanto eu acho importante o conceito de Função na Matemática, seria muito difícil para mim encontrar palavras para expressar isso. Não é exagero. O conceito de função está em todas as áreas da Mátemática, sem exceção. A importância desse conceito também pode ser visto em suas aplicações. As funções estão ao nosso redor o tempo todo. Elas estão presentes na previsão do tempo que você dá uma olhada antes de viajar, no avião que você vê voando, no celular ou computador no qual você está lendo essa postagem, no carro de Fórmula 1, no prédio que estão construindo perto da sua casa, etc.. Daria para escrever uma postagem só com as aplicações. Se você quer seguir os estudos na áreas de exatas com matemática, física, química, engenharias, computação ou em ciência sociais aplicadas como economia, administração e contabilidade é fundamental que você entenda bem o conceito de funções. Nessa postagem eu vou te apresentar a definição mais geral possível de função para depois, nas próximas postagens, entrarmos em detalhes mais expecíficos desse conceito. Então, sem perder mais tempo, vamos aprender (ou relembrar) o que é uma função. Vamos lá!

O que é uma função?

Para responder a pergunta do título acima, precisamos saber um pouco sobre teoria dos conjuntos, pelos menos o básico, que é o que são elementos e conjuntos e a relações de pertinência e inclusão (isto é, quando um elemento pertence ou não pertence a um conjunto e quando um conjunto está ou não contido em outro conjunto). Se você não lembra desses conceitos, como eles já foram abordados aqui no blog, vou deixar os links das postagens sobre esses assuntos:

Teoria dos Conjuntos #1: Conjuntos e Elementos 

Teoria dos Conjuntos #2: Subconjuntos

Teoria dos Conjuntos #3 - Detalhes sobre as relações de pertinência e de inclusão

Caso queira ver todas as postagens sobre teoria dos conjuntos, acesse esse link.

Agora, vamos à definição de função.

Definição: Uma função de um conjunto $A$ em um conjunto $B$ é uma regra que associa a cada elemento de $A$ um único elemento em $B$.

Em outras palavras, uma função nada mais é do que uma maneira de relacionar dois conjuntos $A$ e $B$ por meio de seus elementos, mas não de qualquer forma. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$, sem que não sobre nenhum, um único elemento em $B$. Essa definição acima é a definição mais geral possível. Os conjuntos $A$ e $B$ podem ser conjuntos de quaisquer tipos de objetos, não somente de números. Podem ser conjuntos de nomes, de letras, de matrizes, de vetores e até mesmo de outros conjuntos.

Um fato importante que devemos observar na definição de função é que não é possível definir função sem que haja dois conjuntos (eles podem ser iguais). Uma função sempre será de um conjunto a outro. Sem conjuntos, não temos funções (por isso fiz questão de falar que precisamos saber, pelo menos o básico, sobre Teoria dos Conjuntos).

Observação: Uma função também pode ser chamada de aplicação, a definiçao é exatamente a mesma. Alguns livros de matemática chamam de função as aplicações que possuem contradomínio igual ao conjunto dos números reais. Isso não é uma regra. Como estamos mais acostumados com o nome função, vamos usar somente esse nome.

Em matemática é comum usarmos letras para dar nome à funções. Isso mesmo, damos nomes às regras que criamos para relacionar dois conjuntos. Em geral usamos letras mínusculas, como $f$, $g$, $h$, $\dots$. Mas, em alguns textos matemáticos podemos encontrar funções nomeadas com letras maiúsculas e até com letras gregas. Em símbolos, para dizer que uma função $f$ está associando os elementos do conjunto $A$ com os do conjunto $B$, escrevemos

$$f: A \rightarrow B$$

Ao considerarmos uma função $f: A \rightarrow B$, ao conjunto $A$ damos o nome de domínio da função $f$ e ao conjunto $B$ damos o nome de contradomínio da função $f$. Em outras palavras, o domínio é o conjunto onde a função está definida.

Para entendermos bem o que é uma função, a seguir vamos ver alguns diagramas onde teremos exemplos de funções.

Exemplos:

1. Considere a regra $f$ que associa os elementos do conjunto $A$ com os elementos do conjunto $B$ dada pelo diagrama.

Temos que $f$ é uma função de $A$ em $B$, pois ela satisfaz a definição de função, isto é, cada elemento de $A$ está associado a um único elemento em $B$ e em $A$ não está sobrando nenhum elemento.

2. Considere a regra $g$ que associa os elementos do conjunto $C$ com os elementos do conjunto $D$ dada pelo diagrama.

Temos que $g$ é uma função de $C$ em $D$, pois ela satisfaz a definição de função. Embora os elementos $1$ e $2$ de $C$ estejam associados ao elemento $4$ de $B$, temos que o $1$ está associado somente ao $4$, o $2$ está associado somente ao $4$ e o $3$ está associado somente ao $5$. Logo $g$ satisfaz a definição de função. 

3. Considere a regra $h$ que associa os elementos do conjunto $A$ com os elementos do conjunto $E$ dada pelo diagrama.

Temos que $h$ é uma função. Observe que cada elemento de $A$ está associado a um único elemento de $E$ sem que sobre nenhum elemento em $A$. É apenas isso que a definição de função exige. Embora não haja elemento em $A$ que esteja associado com $w \in E$, não há nenhum problema com isso, a definição de função continua sendo satisfeita. No contradomínio pode sobrar elementos, mas no domínio nunca.

4. Considere a regra $l$ que associa os elementos do conjunto $F$ coms os elementos do conjunto $C$ dada pelo diagrama.

A regra $l$ é uma função, pois ela associa cada elemento de $F$ a um único elemento de $C$.

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer e uma função $f : A \rightarrow B$ qualquer. Para dizer que o elemento $x \in A$ está associado ao elemento $y \in B$ escrevemos $f(x) = y$ e lemos "$f$ de $x$ igual a $y$".

No exemplo 2 temos uma função $g: C \rightarrow D$. Essa função associa o $1 \in C$ ao $4 \in D$ , assim, podemos escrever $g(1) = 4$. No exemplo 3  temos a função $h : A \rightarrow E$ que associa $a \in A$ com $x \in E$, desse modo, podemos escrever $h(a) = x$.

Vamos ver agora exemplos de regras que associam elementos de dois conjuntos que não são funções.

Exemplos:

5. Considere a regra $q$ que associa os elementos dos conjuntos $C$ e  $G$ dada pelo diagrama

Observe que o elemento $3 \in C$ não está associado a nenhum elemento em $G$, isto é, a condição de que cada elemento de $C$ deve estar associado a um único elemento de $G$ não é satisfeita pela regra $q$. Logo, $q$ não é uma função.

6. Considere a regra $t$ que associa os elementos dos conjuntos $H$ e  $C$ dada pelo diagrama

A regra $t$ está associando o elemento $y \in H$ a dois elementos distintos em $C$, ao $2$ e ao $3$. Assim, $t$ não está associando a cada elemento de $H$ um único elemento em $C$. Logo, $t$ não é uma função.

Resumo da postagem em vídeo:

Nessa postagem você aprendeu o que é uma função e que, junto com uma função, sempre temos dois conjuntos, um chamado domínio e o outro contradomínio. É só isso que precisamos saber sobre funções? Com certeza, não... Continuaremos com mais detalhes sobre as funções nas próximas postagens.

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Inequações #9: Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Nessa postagem vamos retomar as inequações modulares. Podemos encontrar algumas inequações nas quais aparecem expressões com mais de um termo com módulo ou ainda, com termos com módulos e  outros sem módulos (termos onde a incógnita está). O caminho usado para resolver esses tipos de inequações é um pouco diferente do que vimos até agora, para resolvê-las, vamos precisar reescrever expressões com módulos sem usar os módulos. Esse assunto foi tradado na postagem anterior, então, se você caiu por aqui sem ter visto a postagem anterior, sugiro que dê uma olhada por lá. Ainda, antes de qualquer cálculo, têm mais algumas coisas que precisamos ter em mente. Vamos precisar saber o que é um intervalo (intervalos limitados e ilimitados) e também como fazer a união e a interseção de intervalos (esses assuntos estão todos disponíveis nos links anteriores). Agora sim, estando preparados, vamos lá!

Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Para deixar bem claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem, vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x-4|x-3| \leq 2$

Essa inequação possui dois termos na expressão que está ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, o $x$ e o $4|x-3|$, ou seja, um sem módulo e outro com módulo. Assim, essa é uma inequação modular com um termo que não possuem (termo com a incógnita sem módulo).

2. $|x+1|-|x-2| < 1$

Essa é uma inequação que possui uma expressão ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade com dois termos, os dois com módulos, ou seja, ela é uma inequação modular com mais de um módulo. Nesse caso não há termos com a incógnita sem módulo.

3. $|2x|+3|x+2| < -x + 6$

Essa é uma inequação modular com mais de um módulo e com um termo  sem módulo.

4. $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$

Essa é uma inequação com mais de um módulo.

Observe que, em todos os exemplos, dentro dos módulos a incógnita $x$ possui apenas expoente $1$. Qualquer inequação em algum desses tipos apresentados acima pode ser resolvida com o que será apresentado aqui nessa postagem. Então, vamos seguir com exemplos, vamos apresentar uma forma, usando o que foi feito na postagem anterior, de resolver as quatro inequações acima.

Exemplos:

5. Determine o conjunto solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$.

Solução: Nessa inequação, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos uma expressão com dois termos, um com módulo e outro sem. Para resolver esse tipo de inequação,  vamos primeiramente reescrever a expressão $x-4|x-3|$ sem usar o módulo, usando o que aprendemos na postagem anterior. Temos que:

$$x - 4|x-3| = \left\{ \begin{array}{ccc} 5x-12 & \mbox{se} & x < 3 \\ -3x+12 & \mbox{se} & x \geq 3. \end{array} \right.$$

A expressão $x-4|x-3|$, reescrita, ficou dividida em duas partes, para $x < 3$ ela é igual a $5x -12$ e para $x \geq 3$ ela é igual a $-3x+12$. Desse modo, vamos separar a resoluçao da inequação em duas partes. Na primeira parte vamos considerar somente $x < -3$ e na segunda somente $x \geq -3$. Temos,

Para $x < 3$: Note que,  $x < 3$ é o mesmo que $x \in (-\infty, 3)$.  Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ 5x-12 & \leq & 2 \\ 5x & \leq& 14 \\ x & \leq & \frac{14}{5} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x < 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_1$, será a interseção $(-\infty, 3) \cap \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Desse modo, $S_1 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$.

Para $x \geq 3$: Note que, $x \geq 3$ é o mesmo que $x \in [3, +\infty)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ -3x+12 & \leq & 2 \\ -3x & \leq& -10 \\ x & \geq & \frac{10}{3} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x \geq 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_2$, será a interseção $[3, +\infty) \cap \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Desse modo, $S_2 = \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Ainda não acabamos, mas estamos quase no fim. A solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$ é a união das soluções encontradas em casa uma das partes em que a resolução foi separada. Logo, a solução da inequação do enunciado, a qual chamaremos de $S$, é $S = S_1 \cup S_2$. Portanto, $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Observação: Nessa postagem não serão feitos os diagramas para o cálculo da união e a interseção de intervalos. Se você precisar relembrar de como esses cálculos são feitos, leia as postagens onde esses assuntos foram tratados. Escolhi fazer dessa forma para essa postagem não ficar tão grande.

Nos próximos exemplos usaremos a mesma estratégia de resolução de inequações apresentada no exemplo acima, isto é, vamos reescrever uma expressão com termos com e sem módulos, separando-a em partes, para resolver a inequação nessas respectivas partes.

6. Determine o conjunto solução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$.

Solução: Nesse exemplo, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, a expressão possui dois termos com módulo. Então, para resolver essa inequação, vamos reescrever a expressão $|x+1|-|x-2|$ sem usar os módulos. Temos

$$|x+1|-|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -3 & \mbox{se} & x < -1 \\ 2x-1 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 3 &\mbox{se} & x \geq 2. \end{array} \right.$$

Ao reescrevermos a expressão $|x+1|-|x-2| $, a separamos em três partes, ela é igual a $-3$ se $x < -1$, é igual a $2x-1$ se $-1 \leq x < 2$ e é igual a $3$ se $x \geq 2$. Por esse motivo, a resolução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$, será feita separadamente em cada uma dessas partes. Temos

Para $x < -1$: Observe que $x < -1$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -1)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ -3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $-3 < 1 $ é sempre verdadeiro, segue que o conjunto solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Mas,  como estamos no caso $x < -1$, a solução  $S_1$ que estamos procurando é $S_1 = (-\infty, -1) \cap \mathbb{R}$. Logo, $S_1 = (-\infty, -1)$.

Para $-1 \leq x < 2$: Observe que $-1 \leq 2$ é o mesmo que $x \in [-1,2)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 2x-1 &<& 1 \\ 2x &<&2 \\ x &<& 1.  \end{eqnarray}

Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-1,2) \cap (-\infty, 1)$, ou seja, $S_2 = [-1,1)$. Lembre-se, em cada caso (ou parte), deve ser feita a interseção do conjunto solução da inequação com o conjunto onde estamos considerando $x$. Não podemos exquecer disso.

Para $x \geq 2$: Observe que $x \geq 2$ é o mesmo que $x \in [2, +\infty)$. Nese caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $3 < 1$ nunca ocorre, o conjunto solução da inequação acima é $\emptyset$. Assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [2, +\infty) \cap \emptyset$, isto é, $S_3 = \emptyset$.

Portanto, a solução da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$, ou seja, $S = (-\infty,1)$.

7. Determine o conjunto solução da inequação $|2x|+3|x+2| < -x + 6$.

Solução: Nessa inequação, diferentemente dos exemplos anteriores, do lado direito do símbolo de desigualdade há uma expressão que contém a incógnita $x$. Embora isso ocorra, podemos resolvê-la da mesma forma que fizemos nos exemplos anteriores, isto é, vamos reescrever a expressão que está do lado esquerdo do símbolo de desigualdade e depois determinar o conjunto solução dessa inequação em partes. Assim, reescrevendo a expressão $|2x|+3|x+2|$, temos

$$|2x|+3|x+2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -5x-6 & \mbox{se} & x < -2 \\x+6 & \mbox{se} & -2 \leq x < 0 \\ 5x+6 &\mbox{se} & x \geq 0. \end{array} \right.$$

Vamos prosseguir resolvendo a inequação separando a resolução nos casos $x < -2$, $ -2 \leq x < 0$ e $x \geq 0$. Temos,

Para $x < -2$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ -5x-6 &<& -x+6 \\ -4x &<& 12 \\ x &<& \frac{12}{-4} \\ x &>& -3.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_1$ desse caso é $S_1 = (-\infty, -2) \cap (-3, +\infty)$, ou seja, $S_1 = (-3,-2)$.

Para $-2 \leq x < 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ x+6 &<& -x+6 \\ 2x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-2,0) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_2 = (-2,0)$.

Para $x \geq 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ 5x+6 &<& -x+6 \\ 6x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [0,+\infty) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_3 = \emptyset$.

Desse modo, a soluçaõ da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$. Portanto, $S = (-3,0)$.

Vamos para o último exemplo.

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$.

Solução: Nesse exemplo, do lado direito do símbolo de desigualdade, temos um termo com módulo. Para usar o método que estamos usando para resolver essas inequações, devemos deixar os termos com módulos, todos eles, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Desse modo, a inequação do enunciado ficará na forma

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$$

Agora, vamos resolver a inequação nesse formato, reescrevendo a expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$. Fazendo isso, obtemos

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2 & \mbox{se} & x < 1 \\ -2x & \mbox{se} & 1 \leq x < \frac{3}{2} \\ 2x-6 &\mbox{se} & \frac{3}{2} \leq x < 4 \\ 2 & \mbox{se} & x \geq 4. \end{array} \right.$$

A expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$ ficou separa em quatro partes. Isso ocorreu por que ela possui três termos com módulo. Como ela está dividida em quatro partes, a resolução dela será feita em quatro casos, são eles, $x < 1$, $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$, $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$ e $x < 4$. Assim, temos

Para $x < 1$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $-2  \geq 0$ nunca é verdade, a solução da inequação acima é o conjunto $\emptyset$. Desse modo, a solução desse caso é $S_1 = (-\infty,1) \cap \emptyset = \emptyset$.

Para $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2x &\geq & 0 \\ x \leq 0.  \end{eqnarray}

 Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = \left[1,\displaystyle\frac{3}{2}\right) \cap (-\infty, 0]$, isto é, $S_2 = \emptyset$.

Para $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2x - 6 &\geq & 0 \\ 2x &\geq& 6 \\ x &\geq& 3.  \end{eqnarray}

Logo, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap [3, +\infty)$, isto é, $S_3 = [3,4)$.

Para $x \geq 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $2 \geq 0$ é verdade, segue que a solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Logo, a solução $S_4$ desse caso é $S_4 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap \mathbb{R}$, isto é, $S_4 = [4,+\infty)$.

Por fim, a solução $S$ da inequação $|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$, que é equivalente à inequação do enunciado, é a união da solução dos qutro casos anteriores. Portanto $S = [3, +\infty]$.

Exemplo em vídeo:

Acredtito que, com os exemplos feitos aqui, você estará apto para resolver qualquer inequação como as que vimos nesses exemplos, ou seja, com termos com e sem módulo, sempre com a incógnita com expoente igual a $1$.

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Inequações #8: Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Até aqui, aprendemos a resolver vários tipos de inequações, inclusive àquelas que possuem módulo. Para continuarmos o estudo das inequações com módulos, vamos precisar parar um pouco com as inequações, propriamente ditas, e pensarmos um pouco mais sobre o módulo. Nessa postagem vamos responder à seguinte pergunta: "é possível reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo?" Já antecipando a resposta, sim! Esse processo de reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo é muito útil para resolver alguns tipos complicados de inequações. E não para por aí, esse processo é muito importante também em assuntos mais avançados de matemática, como calcular derivadas e integrais de funções (derivadas e integrais são estudados em cursos superiores que possuem uma disciplina chamada Cálculo I). Então, não vamos perder mais tempo, vamos aprender como fazer isso. Vamos lá!

Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Antes de qualquer coisa, vamos relembrar a definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real.

Definição: Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Veja mais detalhes sobre o módulo de um número real e sua interpretação geométrica nessa postagem.

Observe que, na definção de módulo temos um $x$ representando um número real qualquer. Isso implica que esse $x$ pode ser substituído por qualquer outra "coisa" que seja um número real, isto é, podemos colocar no lugar do $x$ uma expressão algébrica. Já fizemos isso, pelo menos, nas duas postagens anteriores. 

A seguir vamos ver exemplos de como reescrever expressões com módulos sem usar o módulo. Vamos fazer isso separando em casos, são eles: expressões com somente um módulo, expressões com mais de um módulo e expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com somente um módulo

Exemplos:

1. Considere a expressão algébrica $x-1$ e o seu módulo, ou seja, $|x-1|$. Trocando, na definição de módulo, $x$ por $x-1$, vamos ter

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x-1 \geq 0 \\ -(x-1), & \mbox{se} & x-1 < 0. \end{array} \right.$$

Podemos melhorar o que está escrito acima. Note que $-(x-1) = -x+1$, $x-1 \geq 0$ é equivalente a $x \geq 1$ e que $x-1 < 0$ é equivalente a $x < 1$. Assim,

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x \geq 1 \\ -x+1, & \mbox{se} & x < 1. \end{array} \right.$$

Pronto! Reescremos a expressão $|x-1|$, a qual possui somente um módulo, como uma expressão que não possui módulo. A expressão reescrita fica assim mesmo, em duas partes. Você pode até pensar que não ficou tão simples ou que não há vantagem em reescrever uma expressão com módulo dessa forma, mas apesar disso, é vantajoso. Fazer contas com uma expressão sem módulo, mesmo que esteja em partes, é mais fácil.

Vamos fazer mais um exemplo. 

2. Considere a expressão com módulo $|2x+3|$. Usando o mesmo raciocínio anterior e fazendo as contas

$$-(2x+3) = -2x-3,$$

\begin{eqnarray} 2x + 3 & \geq & 0 \\ 2x &\geq& -3 \\ x &\geq& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x + 3 & < & 0 \\ 2x &<& -3 \\ x &<& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

temos que,

$$|2x+3| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+3, & \mbox{se} & x \geq -\frac{3}{2} \\ -2x-3 & \mbox{se} & x < -\frac{3}{2}. \end{array} \right.$$

Agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Vamos fazer dois exemplos com expressões com mais de um módulo.

Expressões com mais de um módulo

Exemplos:

3. Considere a expressão $|x+1| + |x-2|$. Primeiramente, reescreva, sem utilizar o módulo, os dois termos da soma, assim como fizemos nos exemplos anteriores. Desse modo, temos

$$|x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+1, & \mbox{se} & x \geq -1 \\ -x-1 & \mbox{se} & x < -1 \end{array} \right.$$

e

$$|x-2| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-2, & \mbox{se} & x \geq 2 \\ -x+2 & \mbox{se} & x < 2 \end{array} \right.$$

Note que, aos reescrevermos a expressão $|x-1|$, ela ficou dividida em duas partes pelo $-1$ e a expressão $|x-2|$ ficou dividida em duas partes pelo $2$. Desse modo, para reescrevermos a soma $|x+1|+|x-2|$ sem os módulos, devemos considerar três possibilidades para o valor de $x$, a saber, $x < -1$, $-1 \leq x < 2$ e $x \geq 2$ e analisar o que acontece com a soma dos módulos em cada um desses casos. Devemos fazer isso pois alguma das expressões dentro dos módulos sempre mudará de sinal quando mudamos o intervalo onde $x$ está. Assim, temos:

• Para $x < -1$:

Nesse caso temos $|x+1| = -x-1$ e, como, $x < -1 < 2$, também temos $|x-2| = -x+2$. Logo, para $x < -1$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = -x-1 + (-x+2) = -2x+1$$

• Para $-1 \leq x < 2$:

Nesse caso, temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = -x+2$. Logo, para $-1 \leq x < 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + (-x+2) = 3$$

• Para $x \geq 2$:

Nesse caso,  como $x \geq 2 \geq -1$ temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = x-2$. Logo, para $x \geq 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + x-2 = 2x-1.$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|x+1|+|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2x+1, & \mbox{se} & x < -1 \\ 3 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 2x-1 & \mbox{se} & x \geq 2 \end{array} \right.$$

Portanto, a expressão $|x+1|+|x-2|$ pode ser reescrita sem o módulo em três partes.

Vamos fazer mais um exemplo parecido com o anterior. 

4. Considere a expressão $|2x-1|-3|x+4|$. Reescrevendo os módulos que aparecem nessa expressão, temos 

$$|2x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x-1, & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \\ -2x+1 & \mbox{se} & x < \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

e

$$|x+4| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+4, & \mbox{se} & x \geq -4 \\ -x-4 & \mbox{se} & x < -4 \end{array} \right.$$

Como o primeiro módulo foi dividido em duas partes em $\displaystyle\frac{1}{2}$ e o segundo em $-4$, para reescrever a expressão $|2x-1|-3|x+4|$ vamos considerar os casos $x < -4$, $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. Desse modo,

• Para $x < -4$:

Como $x < -4 < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que  $|2x-1| = -2x+1$. Também temos $|x+4| = -x-4$. Logo, para $x < -4$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(-x-4) = -2x+1 + 3x + 12 = x+13$$

• $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = -2x+1$ e $|x+4| = x+4$. Logo, para $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(x+4) = -2x+1 - 3x - 12 = -5x-11$$

• Para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = 2x-1$ e, como $x \geq \displaystyle\frac{1}{2} > -4$, segue que $|x+4| = x+4$. Logo, para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = 2x-1 - 3(x+4) = 2x-1 - 3x - 12 = -x-13$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|2x-1|-3|x+4| = \left\{ \begin{array}{ccc} x+13, & \mbox{se} & x < -4 \\ -5x-11 & \mbox{se} & -4 \leq x < \frac{1}{2} \\ -x-13 & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Observação: Se você precisar reescrever uma expressão que é formada por somas ou subtrações de mais de 2 módulos, você pode usar o mesmo raciocínio. Mas lembre-se, quanto mais termos com módulo houver na expressão, em um maior número de partes ela será dividida. Por exemplo, uma expressão com três módulo será divida em quatro partes, uma com 4 módulos será dividida em 5 partes e assim por diante.

Vamos passar para um outro caso. Vamos abordar expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com módulos e sem módulos

Exemplos:

5. Considere a expressão $|3-2x| + x-2$. O termo da expressão que possui um módulo precisa ser reescrito sem o módulo, enquanto os outros que não possuem módulo, podem simplesmente serem mantidos como estão. Reescrevendo $|3-2x|$ temos

$$|3-2x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 3-2x, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 2x-3 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$  

Desse modo, temos:

• Para $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 3-2x$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 3-2x+x-2 = -x+1.$$

• Para $x > \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x > \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 2x-3$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 2x-3+x-2 = 3x-5.$$

Juntando os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|3-2x|+x-2 = \left\{ \begin{array}{rcc} -x+1, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 3x-5 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$

Vamos fazer mais um exemplo.

6. Considere a expressão $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$. Vamos reescrever os módulos dessa expressão e vamos manter os termos que não possuem módulo.Temos

$$|1-x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 1-x, & \mbox{se} & x \leq 1 \\ x-1 & \mbox{se} & x > 1 \end{array} \right.$$

e

$$|2x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+1, & \mbox{se} & x \geq -\frac{1}{2} \\ -2x-1 & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Temos que escrever a soma $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$ considerando os casos $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ e $ x > 1$.

• Para $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + (-2x-1) -4x -5 = 2-2x-2x-1-4x-5=-8x-4$$

• Para $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + 2x+1 -4x -5 = 2-2x+2x+1-4x-5=-4x-2$$

• Para $x >1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(x-1) + 2x+1 -4x -5 = 2x-2+2x+1-4x-5=-6$$

Reunindo todas as informações acima numa expressão só, temos

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = \left\{ \begin{array}{rcc} -8x-4, & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \\ -4x-2 & \mbox{se} & -\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\ -6 & \mbox{se} & x >1 \end{array} \right.$$

Exemplos em vídeo:

Agora sabemos reescrever expressões com módulos sem utilizar módulos. A partir da próxima postagem, vamos voltar com as inequações.

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Inequações #7: Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Na postagem anterior, aprendemos como resolver inequações que possuem um módulo com um polinômio de grau  1 dentro dele. Esse é o primeiro passo no mundo das inequações modulares. Agora,  nessa postagem, vamos dar mais um passo no estudo das inequações modulares, vamos aprender como resolver inequações modulares que possuem um polinômio com grau maior que 1 dentro do módulo. A ideia por trás da resolução dessas inequações é a mesma usada na resolução daquelas que possuem um polinômio de grau 1 dentro do módulo, mas, quando o grau do polinômio é maior que 1, o processo de resolução é mais trabalhoso e, por isso, vamos precisar recorrer à análise de sinal de polinômios. Além da análise de sinal de polinômios, vamos precisar da união e da interseção de intervalos de números reais. Caso você não se lembre desses assuntos, estude essas postagens. Se você já domina esses assuntos, siga comigo adiante. Vamos lá!

Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Primeiramente, vamos deixar claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem. Seja $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+ a_0$ um polinômio qualquer com $n \in \mathbb{N}$, $a_i \in \mathbb{R}$ para todo $i = 1,2, \dots, n$ e $a_n \neq 0$. Qualquer inequação em uma das seguintes formas:

$$|p(x)| < c, \; |p(x)| \leq c, \; |p(x)| > c \mbox{ ou } |p(x)| \geq c$$

onde $c \in \mathbb{R}$ e $c \geq 0$ é uma inequação modular com polinômio. Na postagem anterior, já abordamos o caso em que $n = 1$, por isso, nessa postagem vamos considerar polinômios com $n \geq 2$, ou seja, vamos considerar as inequações modulares com polinômios de grau maior que $1$.

Para ficar mais claro, vejamos alguns exemplos dessas inequações.

Exemplos:

1. $|x^2+2x-1| < 1$

2. $|2x^3-x+5| \leq 4$

3. $|-x^5+1| > 2$

4. $|x^4+x^2+1| \geq 1$

Nem sempre as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 aparecem na forma dos exemplos acima. Elas podem aparecer com números multiplicando ou dividindo o módulo e também com números sendo somados ou subtraídos aos lados esquerdo e direito do símbolo de desigualdade. Vejamos alguns exemplos dessas situações.

5. $4|x^2-1| < 1$

6. $\displaystyle\frac{3}{2} - |x^3+2x+1| < 1$

7. $\displaystyle\frac{|x^2-x+1|}{3} \geq 2 $

As inequações dos exemlos 5 a 7 podem ser facilmente reescritas para que fiquem na forma das que estão nos exemplos de 1 a 4. Vejamos como fazer isso.

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 4|x^2-1| &<& 1 \\ |x^2-1| &<& \frac{1}{4} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{3}{2} - |x^3+2x+1| &<& 1 \\ - |x^3+2x+1| &<& 1 - \frac{3}{2} \\ - |x^3+2x+1| &<& - \frac{1}{2} \\ |x^3+2x+1| &>&  \frac{1}{2} \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} \frac{|x^2-x+1|}{3} &\geq& 2  \\ |x^2-x+1| &\geq& 2 \cdot 3 \\ |x^2-x+1| &\geq& 6 \\ \end{eqnarray}

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Para resolver essas inequações, também vamos precisar da interpretação geométrica do módulo. Isso foi abordado na postagem anterior e também pode ser visto com mais detalhes na postagem sobre módulo (valor absoluto). Vamos aprender como resolver as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 por meio de exemplos. Para a postagem não ficar muito longa, resolveremos dois exemplos cujas ideias podem ser usadas para resolver qualquer outra inequação do mesmo tipo. Esses exemplos estarão na forma das inequações dos exemplos de 1 a 4, pois caso estejam nas formas dos exemplos de 5 a 7, como vimos, elas podem ser facilmente escritas em uma das formas que estão nos exemplos de 1 a 4. Então, vamos aos exemplos:

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$.

Solução: Primeiramente, observe que nessa inequação temos o símbolo de menor ou igual ($\leq$). Desse modo, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a interseção do conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \geq -1$, ao qual chamaremos de $S_2$. Temos então duas inequação polinomiais para resolver. Vamos lá!

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \leq 1$:

Podemos pensar em em algumas formas de resolver inequação polinomais, umas mais simples e outras mais complicadas, mas para resolver essa inequação e também as outras que virão, vou usar a análise de sinal de polinômios. Essa pode até não ser a forma mais simples de resolver uma inequação polinomial, mas com certeza é muito eficiente e pode ser aplicada a inequações polinomais de qualquer grau. Para usar esse método, vamos reescrever a inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$. Temos,

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\leq& 1 \\ x^2-x-1-1 &\leq& 0 \\ x^2 - x - 2 &\leq& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^2-x-1 \leq 1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2 - x - 2 \leq 0$, por isso, vamos usar a análise de sinal na segunda inequação.  Vamos começar fatorando o polinômio $x^2 - x - 2$. Usando Soma e Produto, as raízes desse polinômio são $2$ e $-1$ e, desse modo, temos

$$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$$

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na decomposição acima. Para $x-2$, temos

\begin{eqnarray} x-2 &<& 0 \\ x &<& 2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 &>& 0 \\ x &>& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 &=& 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para $x+1$, temos,

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x - 2$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^2 - x - 2 \leq 0$) é o conjunto $S_1 = [-1,2]$.

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \geq -1$:

Vamos resolver essa inequação também usando a análise de sinal de polinômios. Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\geq& -1 \\ x^2-x-1 + 1 &\geq& 0 \\ x^2-x &\geq& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^2-x-1 \geq -1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2-x \geq 0$. O polinômio $x^2-x$ pode ser fatorado como segue:

$$x^2-x = x(x-1)$$.

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na fatoração acima. Para $x$, temos que $x$ será positivo quando $x>0$, será negativo quando $x<0$ e será zero quando $x=0$.

Para $x-1$, temos,

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1\geq -1$ (lembre-se, resovemos essa inequação na forma $x^2 - x \geq 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Ainda não terminamos, mas falta pouco. A solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é a interseção de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é $S = [-1,0] \cup [1,2]$. 

9. Resolva a inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$.

Solução: Note que, nessa inequação temos o símbolo de maior ($>$). Assim, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a união do conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$, ao qual chamaremos de $S_2$. Vamos ao trabalho, pois temos duas inequações com polinômios de grau de $3$ para resolver. 

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$:

Como havia dito antes, vamos usar a análise de sinal de polinômios para resolver essa inequação. Reescrevendo essa inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$, temos,

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &>& 2 \\ x^3-x^2+x+1 -2 &>& 0 \\ x^3-x^2+x-1 &>& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x-1 > 0$. Vamos começar fatorando o polinômio $x^3-x^2+x-1$. Observe que $1$ é uma raiz desse polinômio, pois $1^3-1^2+1-1 = 0$. Logo, o polinômio $x^3-x^2+x-1$ é divisível pelo polinômio $x-1$. Fazendo essa divisão, temos:

Assim, obtemos

$$x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$$

A fatoração obtida acima está completa, pois o polinômio $x^2+1$ é irredutível, isto é, não pode ser mais fatorado, visto que ele possui $\Delta = -4 < 0$. Além disso, como $a=1$ nesse polinômio, ele é sempre positivo para qualquer valor de $x$. Logo, a análise de sinal desse fator já está feita. Agora, para o fator $x-1$, temos 

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x-1$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x-1 > 0$) é o conjunto $S_1 = (1, +\infty)$.

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$:

Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &<& -2 \\ x^3-x^2+x+1 + 2 &<& 0 \\ x^3-x^2+x+3 &<& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x+3 < 0$. Observe que $-1$ é raiz do polinômio $x^3-x^2+x+3$, pois $(-1)^3 - (-1)^2+(-1)+3 = -1 -1 -1 +3 = 0$. Desse modo, o polinômio $x^3-x^2+x+3$ é divisível por $x+1$. Fazendo essa divisão, obtemos

Logo, 

$$x^3-x^2+x+3 = (x+1)(x^2-2x+3).$$

O fator $x^2-2x+3$ acima é irredutível, pois ele possui  $\Delta = -8 < 0$. Além disso, ele possui $a = 1 > 0$, o que faz com esse polinômio seja positivo para qualquer $x$. Logo, a fatoração do polinômio $x^3-x^2+x+3$ está completa e análise de sinal de $x^2-2x+3$ está feita. Para o fator $x+1$, temos

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x+3$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x+3 < 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, -1)$.

Estamos quase acabando! A solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é a união de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é $S = (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$. 

Exemplos em vídeo:

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Inequações #6: Inequações modulares com polinômios de grau 1

Já estamos bem avançados no estudo das inequações e, a partir dessa postagem, vamos começar a estudar as inequações modulares, ou seja, inequações nas quais a incógnita está dentro de um módulo. Inequações modulares, em geral, são difíceis de resolver, pois para resolvê-las é necessário uma boa compreensão do que é o módulo de um número real, um bom conhecimento sobre como resolver inequações sem módulo (polinomiais e racionais) e até de teoria dos conjuntos (união e interseção de intervalos). Por esse motivo, vamos estudar as inequações modulares passo a passo, para que, mesmo sendo difíceis de resolver, você consiga entender bem o processo de resolução de cada uma delas e, quando encontrar como uma delas, saiba o que fazer. Então, nessa postagem vamos começar com as inequações modulares com polinômios de grau $1$. Para que você entenda bem o que vamos fazer nessa postagem, eu sugiro que você estude as seguintes postagens:

Definição de módulo e sua interpretação geométrica:

Números Reais #10: Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Como resolver inequações do primeiro grau:

Inequações #2: Inequação do primeiro grau

Inequações modulares com polinômios de grau 1

Já disse que nessa postagem que vamos aprender a resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas que tipo de inequação é essa? Vamos defini-las.

Definição: Uma inequação será desse tipo de estiver em algumas das seguintes formas:

$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$

onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais com $a \neq 0$ a $c \geq 0$. 

Em outras palavras, uma inequação modular com polinômio de grau $1$ é uma inequação na forma "polinômio de grau dentro do módulo, símbolo de desigualdade e uma constante". 

Vejamos alguns exemplos de inequações desse tipo.

Exemplos:

1. $|x+1| < 3$

2. $|3x-1| \leq 5$

3. $|-4x + \sqrt{2} | > \displaystyle\frac{3}{2}$

4. $\left|\displaystyle\frac{x}{2}-5\right| \geq 4$

Todas as inequações acima são inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas nem sempre elas estão nesse formato. Algumas vezes, elas podem aparecer assim:

5. $3|x+1| < 4$

6. $\displaystyle\frac{|-2x+1|}{5} \leq 1$

7. $5-6|1-x| \leq 4-1$ 

Ou seja, além do polinômio de grau $1$ dentro do módulo, essas equações modulares também podem ter um número multiplicando ou dividindo o módulo e outros números sendo somados à esquerda e à direita do símbolo de desigualdade. Mas isso não é um grande problema, essas inequações podem facilmente serem reescritas de modo que elas só tenham um módulo, o símbolo de desigualdade e outro número, após o símbolo de desigualdade. Reescrevendo os exemplos de 5 a 7, temos:

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 3|x+1| &<& 4 \\ |x+1| &<& \frac{4}{3} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{|-2x+1|}{5} &\leq& 1 \\ |-2x+1| &\leq& 5 \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} 5-6|1-x| &\leq& 4-1 \\ 5-6|1-x| &\leq& 3 \\ -6|1-x| &\leq& 3-5 \\ -6|1-x| &\leq& -2 \\ |1-x| &\geq& \frac{2}{6} \\ |1-x| &\geq& \frac{1}{3} \end{eqnarray}

Agora que sabemos como uma inequação modular com um polinômio de grau $1$ pode aparecer, vamos ver uma maneira de resolvê-las.

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau 1 

Primeiramente, se a inequação não estiver em uma das formas que estão na definição

$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$

ou seja, se estiver como nos exemplos de $5$ a $7$, vamos precisar reescrevê-la em uma das formas acima. 

Tendo feito isso, podemos classificar essas inequações modulares em dois grupos, a saber, o grupos das que possuem os símbolos de menor ou menor ou igual  e o grupo das que possuemos símbolos de maior ou maior ou igual. Os exemplos 1 e 2 fazem parte das inequações que possuem $<$ ou $\leq$ como símbolo de desigaldade e as inequações dos exemplos 3 e 4 fazem parte das inequações que possuem $>$ ou $\geq$ como símbolo de desigualdade. Separar essas inequações em dois grupos diferentes é muito importante, pois as inequações com o símbolo $<$ ou o símbolo $\leq$ possuem uma forma de resolver, enquanto que as inequações com o símbolo $>$ ou o símbolo $\geq$ possuem outra forma de resolver.

Antes do fazermos os exemplos, vamos ver como resolver as inequações em cada um desses grupos. 

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $<$ ou $\leq$.

Considere  uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| < c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u < c$ e $u > -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que dizer que $|u| \leq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \leq c$ e $u \geq -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$, incluindo o $c$ e o $-c$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| < c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b < c$ e $ax+b > -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$. Portanto, podemos concluir que:

A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b < c$ e $ax+b > c$ e a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$.

Relembre como fazer a interseção de intervalos lendo a postagem:

Números Reais #9: Interseção de intervalos

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $>$ ou $\geq$.

Considere novamente uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Mais uma vez, geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| > c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u > c$ ou $u < -c$ (todos os números fora do intervalo fechado $[c,-c]$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que $|u| \geq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \geq c$ e $u \leq -c$ (todos os números fora do intervalo aberto $(c, -c)$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| > c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b > c$ ou $ax+b < -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \geq c$ ou $ax+b \leq -c$. Portanto, podemos concluir que:

A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b > c$ e $ax+b < -c$ e a solução da inequação $|ax+b| \geq c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b \geq c$ e $ax+b \leq -c$.

Relembre como fazer a união de intervalos lendo a postagem:

Números Reais #8: União de intervalos

 Vamos ver, por meio de exemplos, como resolver inequações nesses dois grupos diferentes. 

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$.

Solução: Essa inequação se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $<$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+1 < 3$ e $2x +1 > -3$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $2x+1 < 3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x + 1 &<& 3 \\ 2x &< & 3-1 \\ 2x &<& 2 \\ x &<& \frac{2}{2} \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty,1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $2x +1 > -3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x + 1 &>& -3 \\ 2x & > & -3-1 \\ 2x &>& -4 \\ x &>& \frac{-4}{2} \\ x &>& -2 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-2, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = (-2, 1)$. Logo, essa é a solução da inequação $|2x+1| < 3$.

9. Determine o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.

Solução: Essa inequação  também se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $\leq$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$ e $4-\displaystyle\frac{x}{3} \geq -1$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$, temos:

\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\leq& 1 \\ -\frac{x}{3} &\leq& 1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -3 \\ -x &\leq& 3 \cdot (-3) \\ -x &\leq& -9 \\ x &\geq& 9 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = [9, +\infty)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\geq& -1 \\ -\frac{x}{3} &\geq& -1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -5 \\ -x &\geq& 3 \cdot (-5) \\ -x &\geq& -15 \\ x &\leq& 15 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty, 15]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = [9,15]$. Logo, essa é a solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.

10. Resolva a inequação quação modular $-2|x+3| > -4$.

Solução: Essa inequação não está em uma das formas da definição lá do começo da postagem, por esse motivo, antes de decidirmos a qual grupo de inequações ela faz parte, precisamos reescrevê-la. Temos:

\begin{eqnarray} -2|x+3| &>& -4 \\ |x+3| &<& \frac{-4}{-2} \\ |x+3| &<& 2   \end{eqnarray}

Logo, a inequação $-2|x+3| > -4$ é equivalente à inequação $|x+3| < 2$, que possui o símbolo $<$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|x+3| < 2$ precisamos resolver as inequações $x+3 < 2$ e $x+3 > -2$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $-2|x+3| > -4$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $x+3 < 2$, temos:

\begin{eqnarray} x+3 &<& 2 \\ x &<& 2 - 3 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty, -1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $x+3 > -2$, temos:

\begin{eqnarray} x+3 &>& -2 \\ x &>& -2-3 \\ x &>& -5 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-5, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $-2|x+3| > -4$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = (-5,-1)$. Logo, essa é a solução da inequação $-2|x+3| > -4$.

11. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.

Solução: Essa inequação se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $>$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+5 > 2$ e $2x+5 < -2$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $2x+5 > 2$, temos:

\begin{eqnarray} 2x+5 &>& 2 \\ 2x &>& 2-5 \\ 2x &>& -3 \\  x &>& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 2x+5 &<& -2 \\ 2x &<& -2-5 \\ 2x &<& -7 \\  x &<& -\frac{7}{2} \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right) \cup \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.

Solução: Essa inequação também se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $\geq$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ e $4x-1 \leq -\displaystyle\frac{1}{2}$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, temos:

\begin{eqnarray} 4x-1 &\geq& \frac{1}{2} \\ 4x &\geq& \frac{1}{2}+1 \\ 4x &\geq& \frac{3}{2} \\  x &\geq& \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \\ x &\geq& \frac{3}{8} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 4x-1 &\leq& -\frac{1}{2} \\ 4x &\leq& -\frac{1}{2}+1 \\ 4x &\leq& \frac{1}{2} \\  x &\leq& \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ x &\leq& \frac{1}{8} \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.

13. Resolva a inequação modular $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.

Solução: Antes de resolver essa inequação, precisamos reescrevê-la. Observe que, nesse exemplo, a expressão que está dentro do módulo precisa ser simplificada. Temos:

\begin{eqnarray} \frac{|2(2x-3)-x+1|}{3} &\geq& 2 \\ |2(2x-3)-x+1| &\geq& 6 \\  |4x-6-x+1| &\geq& 6 \\ |3x-5| &\geq& 6 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ é equivalente à inequação $|3x-5| \geq 6$, que possui o símbolo $\geq$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|3x-5| \geq 6$ precisamos resolver as inequações $3x-5 \geq 6$ e $3x-5 \leq -6$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $3x-5 \geq 6$ temos:

\begin{eqnarray} 3x-5 &\geq& 6 \\ 3x &\geq& 6+5 \\ 3x &\geq& 11 \\ x &\geq& \frac{11}{3} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $3x-5 \leq -6$, temos:

\begin{eqnarray} 3x-5 &\leq& -6 \\ 3x &\leq& -6+5 \\ 3x &\leq& -1 \\ x &\leq& \frac{-1}{3}\end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right] \cup \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Logo, essa é a solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.

Observação importante: Há dois tipos de inequações que os seus respectivos conjuntos soluções são obtidos de forma direta. O primeiro tipo são as inequações na forma $|ax+b| < 0$ com $a \neq 0$. Como o módulo um número real é sempre maior ou igual a zero, para qualquer que seja $x$, nunca vamos obter $|ax+b| < 0$, isto é, o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio $\emptyset$. Aplicando isso a alguns casos particulares, as inequações

$$|-x+5| < 0, \; |2x+\sqrt{3}| < 0 \mbox{ e } \left|\frac{x}{5}-\pi \right| < 0$$

possuem por conjunto solução o conjunto vazio.

O outro tipo são inequações na forma $|ax+b| \geq 0$. Como já foi obervado , o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero, assim, o cojunto solução de inequações desse tipo é igual $\mathbb{R}$, ou seja, todo número real é solução dessa inequação. Outra forma de escrever o conjunto solução dessa inequação é $(\infty,+\infty)$.

Resumo da postagem com exemplo em vídeo:

Acredito que, com esses exemplos, você vai conseguir resolver qualquer inequação modular com um polinômios de grau $1$.

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