Funções #3 - Funções reais de uma variável real

Nas duas postagens anteriores (acesse-as aqui), vimos o conceito de funções juntamente com os conceitos de domínio, contradomínio e imagem de uma função. Nessa postagem vamos passar para um caso particular de função, que são as funções reais de uma variável real. Essas funções são muito importantes na prática, pois são usadas na modelagem matemática, isto é, são usadas para descrever problemas reais e, assim, elas nos permitem encotrar soluções para esses problemas. Então, vamos entender o que são as funções reais de uma variável real. Vamos lá!

Funções reais de uma variável real

Primeiramente, vamos entender o que significa ser uma função real de uma variável real. Considere uma função qualquer $f: A \rightarrow B$. A função $f$ é chamada de função real se $B \subseteq \mathbb{R}$, ou seja, se o contradomínio de $f$ está contido ou é igual ao próprio $\mathbb{R}$. Como vimos nas postagens anteriores, dado um elemento $x \in A$, escrever $y = f(x)$ significa que $f$ leva $x \in A$ em $y \in B$. Perceba que $y$ depende de $x$, isto é, quando calculamos $f(x)$ para diferentes valores de $x$, eventualmente encontraremos resultados diferentes, ou seja, valores diferentes para $y$. Sendo assim, $x$ recebe o nome de variável independente, pois podemos simplesmente escolhe-lá em $A$, o domínio da função, e $y$ é chamado de variável dependente, pois ela depende do $x$ escolhido. Desse modo, a função $f: A \rightarrow B$ é chamada de função de uma variável real, quando $A \subseteq \mathbb{R}$, ou seja, $A$ está está contido em $\mathbb{R}$ ou é o próprio $\mathbb{R}$. Em outras palavras, $f$ é uma função de uma variável real quando na igualdade $y = f(x)$ o $x$ representa um único número real que varia dentro de um subconjunto de $\mathbb{R}$, podendo ser o próprio $\mathbb{R}$.

Resumindo, uma função $f: A \rightarrow B$ é uma função real de uma variável real quando $A$ e $B$ estão contidos em $\mathbb{R}$, podendo ser um deles ou os dois iguais a $\mathbb{R}$.

Chamamos também $f(x)$ de valor de $f$ em $x$, ou ainda, de imagem de $x$ pela $f$.

Observação: É comum na linguagem de funções usarmos $x$ para a variável independente e $y$ para a variável dependente, mas isso não é uma regra, qualquer letra pode ser usada. Por exemplo, dada uma função $g: X \rightarrow Y$, podemos escrever $g(a) = b$ onde $a$ é a variável independente e $b$ é a variável dependente.

Agora que entendemos o que é uma função real de uma variável real, vamos ver de que forma essas funções geralmente aparecem. Considere uma função real de uma variável real $f: A \rightarrow B$. De que forma $f$ associa os elementos de $A$ com os elementos de $B$? Essa associação ocorre por meio de expressões algébricas (e não algébricas, mas isso ficará para postagens que ainda virão) onde a variável independente da função ($x$) está presente ou não. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2-1$. A regra $f$ é exatamente a expressão $x^2-1$ a qual contém a variável independente de $f$, o $x$. Para cada valor real que $x$ pode assumir, teremos valores diferentes para $x^2-1$. A função $f$ leva $x$ em $x^2-1$. Também podemos representar a função $f$ (e qualquer outra função) trocando o $f(x)$ pelo $y$. Assim, teremos a função escrita na forma $y = x^2-1$.

2. Um outro exemplo de função real de uma variável real é a função $g: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g(x) = \sqrt{x}$.

3. Considere a função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x) = 1$. Observe a expressão que define essa função, ela não contém a variável independente $x$. Qualquer funçao na forma $h(x) = a$ onde $a \in \mathbb{R}$ é chamada de função constante. Isso faz sentido, como $h(x)$ não depende de $x$ ($x$ não está na expressão que define $h$), seu valor será constante para qualquer que seja $x$. 

Então, as funções reais de uma variável real que estudaremos, por enquanto, associam dois subconjuntos de números reais por meio de expressões algébricas.

Vamos ver agora exemplos de como calcular o valor de uma função dados os valores de $x$. Vejamos.

Exemplos:

4. Considere a função $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^3-3x+1$. Calcule $f(2)$ e $f(-3)$.

Solução: Antes de qualquer cálculo, vamos entender o significado da notação $f(2)$. A notação $f(2)$ é o valor da função $f$ quando $x$ é substiuído pelo $2$ e pode ser lido como "$f$ aplicada em $2$". O mesmo vale para $f(-3)$ e para qualquer número que pode ser colocado "dentro" de $f$. Para calcular $f(2)$, basta trocarmos o $x$ que aparece na expressão que define $f$ pelo $2$, ou seja, na expressão $x^3-3x+1$ e fazer as contas. Assim, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& x^3-3x+1 \\ f(2) &=& 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 \\ &=& 8 - 6 +1 \\ &=& 3   \end{eqnarray}

Logo, $f(2) = 3$, ou, em palavras, o valor de $f$ aplicada em $2$ é igual a $3$. Também podemos dizer que $3$ é a imagem de $2$ pela função $f$.

De modo análogo, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& x^3-3x+1 \\ f(-3) &=& (-3)^3 - 3 \cdot (-3) + 1 \\ &=& -27 + 9 +1 \\ &=& -17   \end{eqnarray}

Logo, $f(-3) = -17$. Observe que, quem está dentro de $f$ é o número $-3$ e não somente o $3$, assim, todo $x$ na expressão que define $f$ deve ser substituído por $-3$, usando sempre parênteses, se necessário.

5. Considere a função $q: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $q(x) = \displaystyle\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$. Calcule $q(-1)$ e $q\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$.

Solução: No exemplos anterior já vimos o significado da notação $q(-1)$ e, então, vamos direto às contas. Temos

\begin{eqnarray} q(x) &=& \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \\ q(-1) &=& \frac{(-1)^2+1}{(-1-1)^2} \\ &=& \frac{1+1}{(-2)^2} \\ &=&  \frac{2}{4} \\ &=& \frac{1}{2}   \end{eqnarray}

Logo, $f(-2) = \displaystyle\frac{1}{2}$.

Analogamente, temos:

\begin{eqnarray} q(x) &=& \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \\ q\left(\frac{1}{2}\right) &=& \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2} \\ &=& \frac{\frac{1}{4}+1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &=&  \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} \\ &=& \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{1} \\ &=& 5   \end{eqnarray}

Logo, $f \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = 5$.

6. Seja $f: (-\infty, 0] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x}$. Calcule $f(-8)$ e $f(-100)$.

Solução: Fazendo os cálculos, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x} \\ f(-8) &=& \sqrt{-(-8)} + \sqrt[3]{-8} \\ &=& \sqrt{8} + \sqrt[3]{-8} \\ &=&  2\sqrt{2} -2,   \end{eqnarray}

Logo, $f(-2) = 2\sqrt{2} -2$.

Analogamente,

\begin{eqnarray} f(x) &=& \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x} \\ f(-100) &=& \sqrt{-(-100)} + \sqrt[3]{-100} \\ &=& \sqrt{100} + \sqrt[3]{-100} \\ &=&  10 - \sqrt[3]{100}.   \end{eqnarray}

Logo, $f(-100) = 10 - \sqrt[3]{100}$.

Vamos fazer uns exemplos um pouco diferentes agora.

7. Considere a função $h: \mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x) = x^2-x+10$. Determine os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$.

Solução: Nesse exemplo, diferentemente dos anteriores, não é pedido que apliquemos a função $h$ em algum valor real de seu domínio, mas sim, para encontrarmos os valores reais em seu domínio tais que suas imagens sejam iguais a $12$, ou como está no enunciado, devemos calcular os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$. Para fazer isso, basta substituir $f(x)$ pela expressão que a define na igualdade $f(x) = 12$. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& 12 \\ x^2-x+10 &=& 12 \\ x^2-x-2 &=& 0.   \end{eqnarray}

Assim, basta resolver a equação do 2º grau $x^2-x-2 = 0$. Usando a fórmula de Bhaskara, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& b^2 - 4ac \\ &=& (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \\ &=& 1 + 8 \\ &=& 9   \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x &=&\frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &=& \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ &=& \frac{1 \pm 3}{2}.   \end{eqnarray}

Logo, as soluções da equação são $x_1 = 2$ e $x_2 = -1$. Portanto, os valores de $x$ tais que $f(x) =  12$ são $2$ e $-1$.

8. Considere a função $m : \mathbb{R}-\{1, -1\} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $m(x) = \displaystyle\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}$. Determine o valor de $x$ tal que $m(x) = 0$.

Solução: De modo análogo ao que fizemos no exemplo anterior, para determinar o valor de $x$ tal que $m(x) = 0$, basta resolver a equação $\displaystyle\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}} = 0$.

Observe que, um quociente é igual a zero se, e somente se, a parte de cima for igual a zero e a solução dessa equação não anule a parte de baixo do quociente. Desse modo, basta resolvermos a equação $x+2=0$. Claramente, a solução dessa equação é $x=-2$. Logo, $f(-2) = 0$.

Acima, no texto, eu afirmei que as funções reais de uma variável real aparecem dadas por meio de expressões algébricas e não algébricas . Abaixo veremos dois exemplos de funções que não são dadas por meio de expressões algébricas.

9. Seja $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $f(x)$ é o maior inteiro menor ou igual a $x$. Essa função é chamada de função maior inteiro e é denotada por $f(x) = \lfloor x \rfloor$. Por exemplo, $f(0,5)$ é o maior número inteiro menor ou igual que $0,5$, assim, $f(0,5) = 0$. Também, $f(-2) = -2$ e $f(2,3) = 2$.

10. Seja $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $g(x)$ é o menor inteiro maior ou igual a $x$. Essa função é chamada de função menor inteiro e é denotada por $g(x) = \lceil x \rceil$. Por exemplo, $f(0,5)$ é o menor número inteiro maior ou igual $0,5$, assim, $f(0,5) = 1$. Também, $f(-2) = -2$ e $f(2,3) = 3$.

Observação: Além dessas funções apresentadas acima, nos exemplos 9 e 10, as funções trigonométricas e logaritmicas são exemplos de funções que não são dadas por expressões algébricas (expressões algébricas são expressões que possuem somente somas, subtrações, potências, multiplicação, divisões e raízes). Embora as funções não algébricas sejam muito importantes, não as abordaremos agora. Por enquanto ficaremos com as funções algébricas. 

Resumo da postagem em vídeo:

Entendendo o que foi exposto aqui nessa postagem, você está apto a continuar os estudos de funções. Nos encontramos na próxima postagem.

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Funções #2 - O que é a imagem de uma função?

 E vamos dar sequência ao assunto de funções com essa segunda postagem. Na postagem anterior, definimos, de forma geral, o que é uma função. Além disso, definimos também o que é domínio e o contradomínio de uma função. Esses conjuntos são inseparáveis do conceito de função. Agora, nessa postagem, vamos falar de um outro conjunto que também é inseparável do conceito de função, vamos falar sobre a imagem de uma função. Então, sem enrolação, vamos lá!

O que é a imagem de uma função?

Bom, vamos começar com a definição (formal e matemática) do que é a imagem de uma função e depois vamos seguir com mais detalhes sobre esse conceito.

Definição: Seja $f: A \rightarrow B$ uma função. Definimos a imagem da função $f$, denotada por $Im(f)$, como segue:

$$Im(f) = \{y \in B: f(x) = y \mbox{ para algum } x \in A\}$$

Podemos ainda encontrar a imagem de uma função definida na forma

$$Im(f) = \{f(x) \in B: x \in A\}$$

Bom, essa é a definição formal, mas não vamos parar por aqui, vamos ver as informações que estão nessa definição.

Observe, primeiramente, que a imagem de uma função é formada por elementos de $B$, ou seja, por elementos do contradomínio da função. Assim, $Im(f)$ é um subconjunto do contradomínio da função, ou ainda, em símbolos, $Im(f) \subset B$.

Agora, veja que há uma condição para que os elementos do contradomímio estejam na imagem. Para que um elemento $y$ do contradomínio esteja na imagem, deve existir pelo menos um $x$ pertencente o domínio tal que $f(x) = y$, isto é, deve existir pelo menos um $x$ no domínio que esteja associado a $y$ pela $f$. Isso nos mostra que, em geral, a imagem de uma função e o contradomínio de uma função são conjuntos distintos.

Para ficar ainda mais claro o conceito de imagem de uma função, vamos determinar a imagem de algumas funções dadas por meio de diagramas em alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f:A \rightarrow B$ dada pelo seguinte diagrama

Para determinar a imagem da função $f$, devemos olhar para o seu contradomínio, pois como acabamos de ver, a imagem de uma função está contida no seu contradomínio. Agora, dentro do contradomínio, vamos procurar pelos elementos tais que existe pelo menos um elemento no domínio ($A$) que esteja associado a ele. Para o elemento $1 \in B$ temos $f(a) = 1$, para $2 \in B$ temos $f(c) = 2$ e para $3 \in B$ temos $f(b) = 3$. Assim, para cada elemento de $B$, existe pelo menos um elemento $A$ que é levado nele por meio da função $f$. Portanto, segue que $Im(f) = \{1,2,3\}$, ou inda, $Im(f) = B$.

2. Considere a função $g:A \rightarrow C$ dada pelo seguinte diagrama

Assim como no primeiro exemplo, vamos olhar para o conjunto $C$, que é o contradomínio de $g$, e vamos procurar por aqueles elementos para os quais existe pelo menos um elemento no domínio que é levado nele. Temos $f(a) = z$, $f(b) = w$ e $f(c) = x$. Note que não há nenhum elemento em $A$ que é levado no $y$ pela função $g$, logo $y$ não está na imagem de $g$. Portanto $Im(g) = \{x,z,w\}$. Esse exemplo é um caso onde temos $Im(g)$ diferente do contradomínio de $g$.

3. Considere a função $h:A \rightarrow D$ dada pelo seguinte diagrama

Vamos aplicar aqui o mesmo raciocínio que aplicamos nos exemplos anteriores. Temos que $f(x) = a$ e $f(z) = b$ enquanto que não existem elementos em $C$ que são levados pela função $h$ nos elementos $c$ e $d$ de $D$. Portanto $Im(h) = \{a,b\}$.  Observe que também temos $f(y) = a$ e $f(z) = b$. Isso não faz diferença para determinar a imagem de $h$. Para um elemento estar na imagem, basta que exista um elemento no domínio que seja levado nele pela função. Se houver mais de um, não tem problema, pois, se tem mais de um, então tem um, e isso é o que a definição de imagem de uma função exige para que um elemento esteja na imagem.

4. Considere a função $p:A \rightarrow C$ dada pelo seguinte diagrama

Nesse caso temos $p(a) = p(b) = p(c) = w$. Logo, $Im(p) = \{w\}$.

Acredito que, com esses diagramas, o conceito de imagem de uma função ficou claro para você. E sempre lembre-se de que os conceitos de domínio, contradomímio e imagem de uma função são inseparáveis do conceito de função. As funções sempre são acompanhadas desse conjunto.

Resumo da postagem em vídeo:

Na postagem anterior, definimos funções, domínio, contradomínio e imagem usando diagramas. Isso foi somente para entendermos esses conceitos. À partir da próxima postagem, abordaremos as funções reais de uma variável real e revisitaremos esses conceitos no contexto desse tipo de função. Ainda temos muita coisa para ver. Continue seguindo as postagens.

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Funções #1 - O que é uma função?

Essa é a primeira postagem de uma nova série de postagens que estamos começando aqui no blog e o assunto da vez é Funções. Se você me perguntar o quanto eu acho importante o conceito de Função na Matemática, seria muito difícil para mim encontrar palavras para expressar isso. Não é exagero. O conceito de função está em todas as áreas da Mátemática, sem exceção. A importância desse conceito também pode ser visto em suas aplicações. As funções estão ao nosso redor o tempo todo. Elas estão presentes na previsão do tempo que você dá uma olhada antes de viajar, no avião que você vê voando, no celular ou computador no qual você está lendo essa postagem, no carro de Fórmula 1, no prédio que estão construindo perto da sua casa, etc.. Daria para escrever uma postagem só com as aplicações. Se você quer seguir os estudos na áreas de exatas com matemática, física, química, engenharias, computação ou em ciência sociais aplicadas como economia, administração e contabilidade é fundamental que você entenda bem o conceito de funções. Nessa postagem eu vou te apresentar a definição mais geral possível de função para depois, nas próximas postagens, entrarmos em detalhes mais expecíficos desse conceito. Então, sem perder mais tempo, vamos aprender (ou relembrar) o que é uma função. Vamos lá!

O que é uma função?

Para responder a pergunta do título acima, precisamos saber um pouco sobre teoria dos conjuntos, pelos menos o básico, que é o que são elementos e conjuntos e a relações de pertinência e inclusão (isto é, quando um elemento pertence ou não pertence a um conjunto e quando um conjunto está ou não contido em outro conjunto). Se você não lembra desses conceitos, como eles já foram abordados aqui no blog, vou deixar os links das postagens sobre esses assuntos:

Teoria dos Conjuntos #1: Conjuntos e Elementos 

Teoria dos Conjuntos #2: Subconjuntos

Teoria dos Conjuntos #3 - Detalhes sobre as relações de pertinência e de inclusão

Caso queira ver todas as postagens sobre teoria dos conjuntos, acesse esse link.

Agora, vamos à definição de função.

Definição: Uma função de um conjunto $A$ em um conjunto $B$ é uma regra que associa a cada elemento de $A$ um único elemento em $B$.

Em outras palavras, uma função nada mais é do que uma maneira de relacionar dois conjuntos $A$ e $B$ por meio de seus elementos, mas não de qualquer forma. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$, sem que não sobre nenhum, um único elemento em $B$. Essa definição acima é a definição mais geral possível. Os conjuntos $A$ e $B$ podem ser conjuntos de quaisquer tipos de objetos, não somente de números. Podem ser conjuntos de nomes, de letras, de matrizes, de vetores e até mesmo de outros conjuntos.

Um fato importante que devemos observar na definição de função é que não é possível definir função sem que haja dois conjuntos (eles podem ser iguais). Uma função sempre será de um conjunto a outro. Sem conjuntos, não temos funções (por isso fiz questão de falar que precisamos saber, pelo menos o básico, sobre Teoria dos Conjuntos).

Observação: Uma função também pode ser chamada de aplicação, a definiçao é exatamente a mesma. Alguns livros de matemática chamam de função as aplicações que possuem contradomínio igual ao conjunto dos números reais. Isso não é uma regra. Como estamos mais acostumados com o nome função, vamos usar somente esse nome.

Em matemática é comum usarmos letras para dar nome à funções. Isso mesmo, damos nomes às regras que criamos para relacionar dois conjuntos. Em geral usamos letras mínusculas, como $f$, $g$, $h$, $\dots$. Mas, em alguns textos matemáticos podemos encontrar funções nomeadas com letras maiúsculas e até com letras gregas. Em símbolos, para dizer que uma função $f$ está associando os elementos do conjunto $A$ com os do conjunto $B$, escrevemos

$$f: A \rightarrow B$$

Ao considerarmos uma função $f: A \rightarrow B$, ao conjunto $A$ damos o nome de domínio da função $f$ e ao conjunto $B$ damos o nome de contradomínio da função $f$. Em outras palavras, o domínio é o conjunto onde a função está definida.

Para entendermos bem o que é uma função, a seguir vamos ver alguns diagramas onde teremos exemplos de funções.

Exemplos:

1. Considere a regra $f$ que associa os elementos do conjunto $A$ com os elementos do conjunto $B$ dada pelo diagrama.

Temos que $f$ é uma função de $A$ em $B$, pois ela satisfaz a definição de função, isto é, cada elemento de $A$ está associado a um único elemento em $B$ e em $A$ não está sobrando nenhum elemento.

2. Considere a regra $g$ que associa os elementos do conjunto $C$ com os elementos do conjunto $D$ dada pelo diagrama.

Temos que $g$ é uma função de $C$ em $D$, pois ela satisfaz a definição de função. Embora os elementos $1$ e $2$ de $C$ estejam associados ao elemento $4$ de $B$, temos que o $1$ está associado somente ao $4$, o $2$ está associado somente ao $4$ e o $3$ está associado somente ao $5$. Logo $g$ satisfaz a definição de função. 

3. Considere a regra $h$ que associa os elementos do conjunto $A$ com os elementos do conjunto $E$ dada pelo diagrama.

Temos que $h$ é uma função. Observe que cada elemento de $A$ está associado a um único elemento de $E$ sem que sobre nenhum elemento em $A$. É apenas isso que a definição de função exige. Embora não haja elemento em $A$ que esteja associado com $w \in E$, não há nenhum problema com isso, a definição de função continua sendo satisfeita. No contradomínio pode sobrar elementos, mas no domínio nunca.

4. Considere a regra $l$ que associa os elementos do conjunto $F$ coms os elementos do conjunto $C$ dada pelo diagrama.

A regra $l$ é uma função, pois ela associa cada elemento de $F$ a um único elemento de $C$.

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer e uma função $f : A \rightarrow B$ qualquer. Para dizer que o elemento $x \in A$ está associado ao elemento $y \in B$ escrevemos $f(x) = y$ e lemos "$f$ de $x$ igual a $y$".

No exemplo 2 temos uma função $g: C \rightarrow D$. Essa função associa o $1 \in C$ ao $4 \in D$ , assim, podemos escrever $g(1) = 4$. No exemplo 3  temos a função $h : A \rightarrow E$ que associa $a \in A$ com $x \in E$, desse modo, podemos escrever $h(a) = x$.

Vamos ver agora exemplos de regras que associam elementos de dois conjuntos que não são funções.

Exemplos:

5. Considere a regra $q$ que associa os elementos dos conjuntos $C$ e  $G$ dada pelo diagrama

Observe que o elemento $3 \in C$ não está associado a nenhum elemento em $G$, isto é, a condição de que cada elemento de $C$ deve estar associado a um único elemento de $G$ não é satisfeita pela regra $q$. Logo, $q$ não é uma função.

6. Considere a regra $t$ que associa os elementos dos conjuntos $H$ e  $C$ dada pelo diagrama

A regra $t$ está associando o elemento $y \in H$ a dois elementos distintos em $C$, ao $2$ e ao $3$. Assim, $t$ não está associando a cada elemento de $H$ um único elemento em $C$. Logo, $t$ não é uma função.

Resumo da postagem em vídeo:

Nessa postagem você aprendeu o que é uma função e que, junto com uma função, sempre temos dois conjuntos, um chamado domínio e o outro contradomínio. É só isso que precisamos saber sobre funções? Com certeza, não... Continuaremos com mais detalhes sobre as funções nas próximas postagens.

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Inequações #9: Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Nessa postagem vamos retomar as inequações modulares. Podemos encontrar algumas inequações nas quais aparecem expressões com mais de um termo com módulo ou ainda, com termos com módulos e  outros sem módulos (termos onde a incógnita está). O caminho usado para resolver esses tipos de inequações é um pouco diferente do que vimos até agora, para resolvê-las, vamos precisar reescrever expressões com módulos sem usar os módulos. Esse assunto foi tradado na postagem anterior, então, se você caiu por aqui sem ter visto a postagem anterior, sugiro que dê uma olhada por lá. Ainda, antes de qualquer cálculo, têm mais algumas coisas que precisamos ter em mente. Vamos precisar saber o que é um intervalo (intervalos limitados e ilimitados) e também como fazer a união e a interseção de intervalos (esses assuntos estão todos disponíveis nos links anteriores). Agora sim, estando preparados, vamos lá!

Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Para deixar bem claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem, vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x-4|x-3| \leq 2$

Essa inequação possui dois termos na expressão que está ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, o $x$ e o $4|x-3|$, ou seja, um sem módulo e outro com módulo. Assim, essa é uma inequação modular com um termo que não possuem (termo com a incógnita sem módulo).

2. $|x+1|-|x-2| < 1$

Essa é uma inequação que possui uma expressão ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade com dois termos, os dois com módulos, ou seja, ela é uma inequação modular com mais de um módulo. Nesse caso não há termos com a incógnita sem módulo.

3. $|2x|+3|x+2| < -x + 6$

Essa é uma inequação modular com mais de um módulo e com um termo  sem módulo.

4. $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$

Essa é uma inequação com mais de um módulo.

Observe que, em todos os exemplos, dentro dos módulos a incógnita $x$ possui apenas expoente $1$. Qualquer inequação em algum desses tipos apresentados acima pode ser resolvida com o que será apresentado aqui nessa postagem. Então, vamos seguir com exemplos, vamos apresentar uma forma, usando o que foi feito na postagem anterior, de resolver as quatro inequações acima.

Exemplos:

5. Determine o conjunto solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$.

Solução: Nessa inequação, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos uma expressão com dois termos, um com módulo e outro sem. Para resolver esse tipo de inequação,  vamos primeiramente reescrever a expressão $x-4|x-3|$ sem usar o módulo, usando o que aprendemos na postagem anterior. Temos que:

$$x - 4|x-3| = \left\{ \begin{array}{ccc} 5x-12 & \mbox{se} & x < 3 \\ -3x+12 & \mbox{se} & x \geq 3. \end{array} \right.$$

A expressão $x-4|x-3|$, reescrita, ficou dividida em duas partes, para $x < 3$ ela é igual a $5x -12$ e para $x \geq 3$ ela é igual a $-3x+12$. Desse modo, vamos separar a resoluçao da inequação em duas partes. Na primeira parte vamos considerar somente $x < -3$ e na segunda somente $x \geq -3$. Temos,

Para $x < 3$: Note que,  $x < 3$ é o mesmo que $x \in (-\infty, 3)$.  Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ 5x-12 & \leq & 2 \\ 5x & \leq& 14 \\ x & \leq & \frac{14}{5} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x < 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_1$, será a interseção $(-\infty, 3) \cap \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Desse modo, $S_1 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$.

Para $x \geq 3$: Note que, $x \geq 3$ é o mesmo que $x \in [3, +\infty)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ -3x+12 & \leq & 2 \\ -3x & \leq& -10 \\ x & \geq & \frac{10}{3} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x \geq 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_2$, será a interseção $[3, +\infty) \cap \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Desse modo, $S_2 = \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Ainda não acabamos, mas estamos quase no fim. A solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$ é a união das soluções encontradas em casa uma das partes em que a resolução foi separada. Logo, a solução da inequação do enunciado, a qual chamaremos de $S$, é $S = S_1 \cup S_2$. Portanto, $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Observação: Nessa postagem não serão feitos os diagramas para o cálculo da união e a interseção de intervalos. Se você precisar relembrar de como esses cálculos são feitos, leia as postagens onde esses assuntos foram tratados. Escolhi fazer dessa forma para essa postagem não ficar tão grande.

Nos próximos exemplos usaremos a mesma estratégia de resolução de inequações apresentada no exemplo acima, isto é, vamos reescrever uma expressão com termos com e sem módulos, separando-a em partes, para resolver a inequação nessas respectivas partes.

6. Determine o conjunto solução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$.

Solução: Nesse exemplo, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, a expressão possui dois termos com módulo. Então, para resolver essa inequação, vamos reescrever a expressão $|x+1|-|x-2|$ sem usar os módulos. Temos

$$|x+1|-|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -3 & \mbox{se} & x < -1 \\ 2x-1 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 3 &\mbox{se} & x \geq 2. \end{array} \right.$$

Ao reescrevermos a expressão $|x+1|-|x-2| $, a separamos em três partes, ela é igual a $-3$ se $x < -1$, é igual a $2x-1$ se $-1 \leq x < 2$ e é igual a $3$ se $x \geq 2$. Por esse motivo, a resolução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$, será feita separadamente em cada uma dessas partes. Temos

Para $x < -1$: Observe que $x < -1$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -1)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ -3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $-3 < 1 $ é sempre verdadeiro, segue que o conjunto solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Mas,  como estamos no caso $x < -1$, a solução  $S_1$ que estamos procurando é $S_1 = (-\infty, -1) \cap \mathbb{R}$. Logo, $S_1 = (-\infty, -1)$.

Para $-1 \leq x < 2$: Observe que $-1 \leq 2$ é o mesmo que $x \in [-1,2)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 2x-1 &<& 1 \\ 2x &<&2 \\ x &<& 1.  \end{eqnarray}

Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-1,2) \cap (-\infty, 1)$, ou seja, $S_2 = [-1,1)$. Lembre-se, em cada caso (ou parte), deve ser feita a interseção do conjunto solução da inequação com o conjunto onde estamos considerando $x$. Não podemos exquecer disso.

Para $x \geq 2$: Observe que $x \geq 2$ é o mesmo que $x \in [2, +\infty)$. Nese caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $3 < 1$ nunca ocorre, o conjunto solução da inequação acima é $\emptyset$. Assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [2, +\infty) \cap \emptyset$, isto é, $S_3 = \emptyset$.

Portanto, a solução da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$, ou seja, $S = (-\infty,1)$.

7. Determine o conjunto solução da inequação $|2x|+3|x+2| < -x + 6$.

Solução: Nessa inequação, diferentemente dos exemplos anteriores, do lado direito do símbolo de desigualdade há uma expressão que contém a incógnita $x$. Embora isso ocorra, podemos resolvê-la da mesma forma que fizemos nos exemplos anteriores, isto é, vamos reescrever a expressão que está do lado esquerdo do símbolo de desigualdade e depois determinar o conjunto solução dessa inequação em partes. Assim, reescrevendo a expressão $|2x|+3|x+2|$, temos

$$|2x|+3|x+2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -5x-6 & \mbox{se} & x < -2 \\x+6 & \mbox{se} & -2 \leq x < 0 \\ 5x+6 &\mbox{se} & x \geq 0. \end{array} \right.$$

Vamos prosseguir resolvendo a inequação separando a resolução nos casos $x < -2$, $ -2 \leq x < 0$ e $x \geq 0$. Temos,

Para $x < -2$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ -5x-6 &<& -x+6 \\ -4x &<& 12 \\ x &<& \frac{12}{-4} \\ x &>& -3.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_1$ desse caso é $S_1 = (-\infty, -2) \cap (-3, +\infty)$, ou seja, $S_1 = (-3,-2)$.

Para $-2 \leq x < 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ x+6 &<& -x+6 \\ 2x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-2,0) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_2 = (-2,0)$.

Para $x \geq 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ 5x+6 &<& -x+6 \\ 6x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [0,+\infty) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_3 = \emptyset$.

Desse modo, a soluçaõ da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$. Portanto, $S = (-3,0)$.

Vamos para o último exemplo.

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$.

Solução: Nesse exemplo, do lado direito do símbolo de desigualdade, temos um termo com módulo. Para usar o método que estamos usando para resolver essas inequações, devemos deixar os termos com módulos, todos eles, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Desse modo, a inequação do enunciado ficará na forma

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$$

Agora, vamos resolver a inequação nesse formato, reescrevendo a expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$. Fazendo isso, obtemos

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2 & \mbox{se} & x < 1 \\ -2x & \mbox{se} & 1 \leq x < \frac{3}{2} \\ 2x-6 &\mbox{se} & \frac{3}{2} \leq x < 4 \\ 2 & \mbox{se} & x \geq 4. \end{array} \right.$$

A expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$ ficou separa em quatro partes. Isso ocorreu por que ela possui três termos com módulo. Como ela está dividida em quatro partes, a resolução dela será feita em quatro casos, são eles, $x < 1$, $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$, $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$ e $x < 4$. Assim, temos

Para $x < 1$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $-2  \geq 0$ nunca é verdade, a solução da inequação acima é o conjunto $\emptyset$. Desse modo, a solução desse caso é $S_1 = (-\infty,1) \cap \emptyset = \emptyset$.

Para $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2x &\geq & 0 \\ x \leq 0.  \end{eqnarray}

 Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = \left[1,\displaystyle\frac{3}{2}\right) \cap (-\infty, 0]$, isto é, $S_2 = \emptyset$.

Para $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2x - 6 &\geq & 0 \\ 2x &\geq& 6 \\ x &\geq& 3.  \end{eqnarray}

Logo, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap [3, +\infty)$, isto é, $S_3 = [3,4)$.

Para $x \geq 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $2 \geq 0$ é verdade, segue que a solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Logo, a solução $S_4$ desse caso é $S_4 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap \mathbb{R}$, isto é, $S_4 = [4,+\infty)$.

Por fim, a solução $S$ da inequação $|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$, que é equivalente à inequação do enunciado, é a união da solução dos qutro casos anteriores. Portanto $S = [3, +\infty]$.

Exemplo em vídeo:

Acredtito que, com os exemplos feitos aqui, você estará apto para resolver qualquer inequação como as que vimos nesses exemplos, ou seja, com termos com e sem módulo, sempre com a incógnita com expoente igual a $1$.

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Inequações #8: Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Até aqui, aprendemos a resolver vários tipos de inequações, inclusive àquelas que possuem módulo. Para continuarmos o estudo das inequações com módulos, vamos precisar parar um pouco com as inequações, propriamente ditas, e pensarmos um pouco mais sobre o módulo. Nessa postagem vamos responder à seguinte pergunta: "é possível reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo?" Já antecipando a resposta, sim! Esse processo de reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo é muito útil para resolver alguns tipos complicados de inequações. E não para por aí, esse processo é muito importante também em assuntos mais avançados de matemática, como calcular derivadas e integrais de funções (derivadas e integrais são estudados em cursos superiores que possuem uma disciplina chamada Cálculo I). Então, não vamos perder mais tempo, vamos aprender como fazer isso. Vamos lá!

Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Antes de qualquer coisa, vamos relembrar a definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real.

Definição: Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Veja mais detalhes sobre o módulo de um número real e sua interpretação geométrica nessa postagem.

Observe que, na definção de módulo temos um $x$ representando um número real qualquer. Isso implica que esse $x$ pode ser substituído por qualquer outra "coisa" que seja um número real, isto é, podemos colocar no lugar do $x$ uma expressão algébrica. Já fizemos isso, pelo menos, nas duas postagens anteriores. 

A seguir vamos ver exemplos de como reescrever expressões com módulos sem usar o módulo. Vamos fazer isso separando em casos, são eles: expressões com somente um módulo, expressões com mais de um módulo e expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com somente um módulo

Exemplos:

1. Considere a expressão algébrica $x-1$ e o seu módulo, ou seja, $|x-1|$. Trocando, na definição de módulo, $x$ por $x-1$, vamos ter

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x-1 \geq 0 \\ -(x-1), & \mbox{se} & x-1 < 0. \end{array} \right.$$

Podemos melhorar o que está escrito acima. Note que $-(x-1) = -x+1$, $x-1 \geq 0$ é equivalente a $x \geq 1$ e que $x-1 < 0$ é equivalente a $x < 1$. Assim,

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x \geq 1 \\ -x+1, & \mbox{se} & x < 1. \end{array} \right.$$

Pronto! Reescremos a expressão $|x-1|$, a qual possui somente um módulo, como uma expressão que não possui módulo. A expressão reescrita fica assim mesmo, em duas partes. Você pode até pensar que não ficou tão simples ou que não há vantagem em reescrever uma expressão com módulo dessa forma, mas apesar disso, é vantajoso. Fazer contas com uma expressão sem módulo, mesmo que esteja em partes, é mais fácil.

Vamos fazer mais um exemplo. 

2. Considere a expressão com módulo $|2x+3|$. Usando o mesmo raciocínio anterior e fazendo as contas

$$-(2x+3) = -2x-3,$$

\begin{eqnarray} 2x + 3 & \geq & 0 \\ 2x &\geq& -3 \\ x &\geq& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x + 3 & < & 0 \\ 2x &<& -3 \\ x &<& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

temos que,

$$|2x+3| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+3, & \mbox{se} & x \geq -\frac{3}{2} \\ -2x-3 & \mbox{se} & x < -\frac{3}{2}. \end{array} \right.$$

Agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Vamos fazer dois exemplos com expressões com mais de um módulo.

Expressões com mais de um módulo

Exemplos:

3. Considere a expressão $|x+1| + |x-2|$. Primeiramente, reescreva, sem utilizar o módulo, os dois termos da soma, assim como fizemos nos exemplos anteriores. Desse modo, temos

$$|x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+1, & \mbox{se} & x \geq -1 \\ -x-1 & \mbox{se} & x < -1 \end{array} \right.$$

e

$$|x-2| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-2, & \mbox{se} & x \geq 2 \\ -x+2 & \mbox{se} & x < 2 \end{array} \right.$$

Note que, aos reescrevermos a expressão $|x-1|$, ela ficou dividida em duas partes pelo $-1$ e a expressão $|x-2|$ ficou dividida em duas partes pelo $2$. Desse modo, para reescrevermos a soma $|x+1|+|x-2|$ sem os módulos, devemos considerar três possibilidades para o valor de $x$, a saber, $x < -1$, $-1 \leq x < 2$ e $x \geq 2$ e analisar o que acontece com a soma dos módulos em cada um desses casos. Devemos fazer isso pois alguma das expressões dentro dos módulos sempre mudará de sinal quando mudamos o intervalo onde $x$ está. Assim, temos:

• Para $x < -1$:

Nesse caso temos $|x+1| = -x-1$ e, como, $x < -1 < 2$, também temos $|x-2| = -x+2$. Logo, para $x < -1$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = -x-1 + (-x+2) = -2x+1$$

• Para $-1 \leq x < 2$:

Nesse caso, temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = -x+2$. Logo, para $-1 \leq x < 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + (-x+2) = 3$$

• Para $x \geq 2$:

Nesse caso,  como $x \geq 2 \geq -1$ temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = x-2$. Logo, para $x \geq 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + x-2 = 2x-1.$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|x+1|+|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2x+1, & \mbox{se} & x < -1 \\ 3 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 2x-1 & \mbox{se} & x \geq 2 \end{array} \right.$$

Portanto, a expressão $|x+1|+|x-2|$ pode ser reescrita sem o módulo em três partes.

Vamos fazer mais um exemplo parecido com o anterior. 

4. Considere a expressão $|2x-1|-3|x+4|$. Reescrevendo os módulos que aparecem nessa expressão, temos 

$$|2x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x-1, & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \\ -2x+1 & \mbox{se} & x < \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

e

$$|x+4| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+4, & \mbox{se} & x \geq -4 \\ -x-4 & \mbox{se} & x < -4 \end{array} \right.$$

Como o primeiro módulo foi dividido em duas partes em $\displaystyle\frac{1}{2}$ e o segundo em $-4$, para reescrever a expressão $|2x-1|-3|x+4|$ vamos considerar os casos $x < -4$, $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. Desse modo,

• Para $x < -4$:

Como $x < -4 < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que  $|2x-1| = -2x+1$. Também temos $|x+4| = -x-4$. Logo, para $x < -4$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(-x-4) = -2x+1 + 3x + 12 = x+13$$

• $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = -2x+1$ e $|x+4| = x+4$. Logo, para $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(x+4) = -2x+1 - 3x - 12 = -5x-11$$

• Para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = 2x-1$ e, como $x \geq \displaystyle\frac{1}{2} > -4$, segue que $|x+4| = x+4$. Logo, para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = 2x-1 - 3(x+4) = 2x-1 - 3x - 12 = -x-13$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|2x-1|-3|x+4| = \left\{ \begin{array}{ccc} x+13, & \mbox{se} & x < -4 \\ -5x-11 & \mbox{se} & -4 \leq x < \frac{1}{2} \\ -x-13 & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Observação: Se você precisar reescrever uma expressão que é formada por somas ou subtrações de mais de 2 módulos, você pode usar o mesmo raciocínio. Mas lembre-se, quanto mais termos com módulo houver na expressão, em um maior número de partes ela será dividida. Por exemplo, uma expressão com três módulo será divida em quatro partes, uma com 4 módulos será dividida em 5 partes e assim por diante.

Vamos passar para um outro caso. Vamos abordar expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com módulos e sem módulos

Exemplos:

5. Considere a expressão $|3-2x| + x-2$. O termo da expressão que possui um módulo precisa ser reescrito sem o módulo, enquanto os outros que não possuem módulo, podem simplesmente serem mantidos como estão. Reescrevendo $|3-2x|$ temos

$$|3-2x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 3-2x, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 2x-3 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$  

Desse modo, temos:

• Para $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 3-2x$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 3-2x+x-2 = -x+1.$$

• Para $x > \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x > \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 2x-3$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 2x-3+x-2 = 3x-5.$$

Juntando os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|3-2x|+x-2 = \left\{ \begin{array}{rcc} -x+1, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 3x-5 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$

Vamos fazer mais um exemplo.

6. Considere a expressão $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$. Vamos reescrever os módulos dessa expressão e vamos manter os termos que não possuem módulo.Temos

$$|1-x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 1-x, & \mbox{se} & x \leq 1 \\ x-1 & \mbox{se} & x > 1 \end{array} \right.$$

e

$$|2x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+1, & \mbox{se} & x \geq -\frac{1}{2} \\ -2x-1 & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Temos que escrever a soma $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$ considerando os casos $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ e $ x > 1$.

• Para $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + (-2x-1) -4x -5 = 2-2x-2x-1-4x-5=-8x-4$$

• Para $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + 2x+1 -4x -5 = 2-2x+2x+1-4x-5=-4x-2$$

• Para $x >1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(x-1) + 2x+1 -4x -5 = 2x-2+2x+1-4x-5=-6$$

Reunindo todas as informações acima numa expressão só, temos

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = \left\{ \begin{array}{rcc} -8x-4, & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \\ -4x-2 & \mbox{se} & -\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\ -6 & \mbox{se} & x >1 \end{array} \right.$$

Exemplos em vídeo:

Agora sabemos reescrever expressões com módulos sem utilizar módulos. A partir da próxima postagem, vamos voltar com as inequações.

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Inequações #7: Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Na postagem anterior, aprendemos como resolver inequações que possuem um módulo com um polinômio de grau  1 dentro dele. Esse é o primeiro passo no mundo das inequações modulares. Agora,  nessa postagem, vamos dar mais um passo no estudo das inequações modulares, vamos aprender como resolver inequações modulares que possuem um polinômio com grau maior que 1 dentro do módulo. A ideia por trás da resolução dessas inequações é a mesma usada na resolução daquelas que possuem um polinômio de grau 1 dentro do módulo, mas, quando o grau do polinômio é maior que 1, o processo de resolução é mais trabalhoso e, por isso, vamos precisar recorrer à análise de sinal de polinômios. Além da análise de sinal de polinômios, vamos precisar da união e da interseção de intervalos de números reais. Caso você não se lembre desses assuntos, estude essas postagens. Se você já domina esses assuntos, siga comigo adiante. Vamos lá!

Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Primeiramente, vamos deixar claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem. Seja $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+ a_0$ um polinômio qualquer com $n \in \mathbb{N}$, $a_i \in \mathbb{R}$ para todo $i = 1,2, \dots, n$ e $a_n \neq 0$. Qualquer inequação em uma das seguintes formas:

$$|p(x)| < c, \; |p(x)| \leq c, \; |p(x)| > c \mbox{ ou } |p(x)| \geq c$$

onde $c \in \mathbb{R}$ e $c \geq 0$ é uma inequação modular com polinômio. Na postagem anterior, já abordamos o caso em que $n = 1$, por isso, nessa postagem vamos considerar polinômios com $n \geq 2$, ou seja, vamos considerar as inequações modulares com polinômios de grau maior que $1$.

Para ficar mais claro, vejamos alguns exemplos dessas inequações.

Exemplos:

1. $|x^2+2x-1| < 1$

2. $|2x^3-x+5| \leq 4$

3. $|-x^5+1| > 2$

4. $|x^4+x^2+1| \geq 1$

Nem sempre as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 aparecem na forma dos exemplos acima. Elas podem aparecer com números multiplicando ou dividindo o módulo e também com números sendo somados ou subtraídos aos lados esquerdo e direito do símbolo de desigualdade. Vejamos alguns exemplos dessas situações.

5. $4|x^2-1| < 1$

6. $\displaystyle\frac{3}{2} - |x^3+2x+1| < 1$

7. $\displaystyle\frac{|x^2-x+1|}{3} \geq 2 $

As inequações dos exemlos 5 a 7 podem ser facilmente reescritas para que fiquem na forma das que estão nos exemplos de 1 a 4. Vejamos como fazer isso.

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 4|x^2-1| &<& 1 \\ |x^2-1| &<& \frac{1}{4} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{3}{2} - |x^3+2x+1| &<& 1 \\ - |x^3+2x+1| &<& 1 - \frac{3}{2} \\ - |x^3+2x+1| &<& - \frac{1}{2} \\ |x^3+2x+1| &>&  \frac{1}{2} \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} \frac{|x^2-x+1|}{3} &\geq& 2  \\ |x^2-x+1| &\geq& 2 \cdot 3 \\ |x^2-x+1| &\geq& 6 \\ \end{eqnarray}

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Para resolver essas inequações, também vamos precisar da interpretação geométrica do módulo. Isso foi abordado na postagem anterior e também pode ser visto com mais detalhes na postagem sobre módulo (valor absoluto). Vamos aprender como resolver as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 por meio de exemplos. Para a postagem não ficar muito longa, resolveremos dois exemplos cujas ideias podem ser usadas para resolver qualquer outra inequação do mesmo tipo. Esses exemplos estarão na forma das inequações dos exemplos de 1 a 4, pois caso estejam nas formas dos exemplos de 5 a 7, como vimos, elas podem ser facilmente escritas em uma das formas que estão nos exemplos de 1 a 4. Então, vamos aos exemplos:

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$.

Solução: Primeiramente, observe que nessa inequação temos o símbolo de menor ou igual ($\leq$). Desse modo, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a interseção do conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \geq -1$, ao qual chamaremos de $S_2$. Temos então duas inequação polinomiais para resolver. Vamos lá!

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \leq 1$:

Podemos pensar em em algumas formas de resolver inequação polinomais, umas mais simples e outras mais complicadas, mas para resolver essa inequação e também as outras que virão, vou usar a análise de sinal de polinômios. Essa pode até não ser a forma mais simples de resolver uma inequação polinomial, mas com certeza é muito eficiente e pode ser aplicada a inequações polinomais de qualquer grau. Para usar esse método, vamos reescrever a inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$. Temos,

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\leq& 1 \\ x^2-x-1-1 &\leq& 0 \\ x^2 - x - 2 &\leq& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^2-x-1 \leq 1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2 - x - 2 \leq 0$, por isso, vamos usar a análise de sinal na segunda inequação.  Vamos começar fatorando o polinômio $x^2 - x - 2$. Usando Soma e Produto, as raízes desse polinômio são $2$ e $-1$ e, desse modo, temos

$$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$$

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na decomposição acima. Para $x-2$, temos

\begin{eqnarray} x-2 &<& 0 \\ x &<& 2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 &>& 0 \\ x &>& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 &=& 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para $x+1$, temos,

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x - 2$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^2 - x - 2 \leq 0$) é o conjunto $S_1 = [-1,2]$.

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \geq -1$:

Vamos resolver essa inequação também usando a análise de sinal de polinômios. Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\geq& -1 \\ x^2-x-1 + 1 &\geq& 0 \\ x^2-x &\geq& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^2-x-1 \geq -1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2-x \geq 0$. O polinômio $x^2-x$ pode ser fatorado como segue:

$$x^2-x = x(x-1)$$.

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na fatoração acima. Para $x$, temos que $x$ será positivo quando $x>0$, será negativo quando $x<0$ e será zero quando $x=0$.

Para $x-1$, temos,

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1\geq -1$ (lembre-se, resovemos essa inequação na forma $x^2 - x \geq 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Ainda não terminamos, mas falta pouco. A solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é a interseção de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é $S = [-1,0] \cup [1,2]$. 

9. Resolva a inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$.

Solução: Note que, nessa inequação temos o símbolo de maior ($>$). Assim, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a união do conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$, ao qual chamaremos de $S_2$. Vamos ao trabalho, pois temos duas inequações com polinômios de grau de $3$ para resolver. 

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$:

Como havia dito antes, vamos usar a análise de sinal de polinômios para resolver essa inequação. Reescrevendo essa inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$, temos,

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &>& 2 \\ x^3-x^2+x+1 -2 &>& 0 \\ x^3-x^2+x-1 &>& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x-1 > 0$. Vamos começar fatorando o polinômio $x^3-x^2+x-1$. Observe que $1$ é uma raiz desse polinômio, pois $1^3-1^2+1-1 = 0$. Logo, o polinômio $x^3-x^2+x-1$ é divisível pelo polinômio $x-1$. Fazendo essa divisão, temos:

Assim, obtemos

$$x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$$

A fatoração obtida acima está completa, pois o polinômio $x^2+1$ é irredutível, isto é, não pode ser mais fatorado, visto que ele possui $\Delta = -4 < 0$. Além disso, como $a=1$ nesse polinômio, ele é sempre positivo para qualquer valor de $x$. Logo, a análise de sinal desse fator já está feita. Agora, para o fator $x-1$, temos 

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x-1$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x-1 > 0$) é o conjunto $S_1 = (1, +\infty)$.

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$:

Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &<& -2 \\ x^3-x^2+x+1 + 2 &<& 0 \\ x^3-x^2+x+3 &<& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x+3 < 0$. Observe que $-1$ é raiz do polinômio $x^3-x^2+x+3$, pois $(-1)^3 - (-1)^2+(-1)+3 = -1 -1 -1 +3 = 0$. Desse modo, o polinômio $x^3-x^2+x+3$ é divisível por $x+1$. Fazendo essa divisão, obtemos

Logo, 

$$x^3-x^2+x+3 = (x+1)(x^2-2x+3).$$

O fator $x^2-2x+3$ acima é irredutível, pois ele possui  $\Delta = -8 < 0$. Além disso, ele possui $a = 1 > 0$, o que faz com esse polinômio seja positivo para qualquer $x$. Logo, a fatoração do polinômio $x^3-x^2+x+3$ está completa e análise de sinal de $x^2-2x+3$ está feita. Para o fator $x+1$, temos

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x+3$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x+3 < 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, -1)$.

Estamos quase acabando! A solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é a união de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é $S = (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$. 

Exemplos em vídeo:

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