Equações Algébricas #2: Equações polinomiais

Na postagem anterior vimos o que são equações, o que são soluções de uma equação e alguns tipos importantes de equações. Dentre esses tipos de equações que vimos, estão as equações polinomiais. São equações desse tipo que serão tratadas nessa postagem, veremos como encontrar as soluções dessas equações. Já estudamos os polinômios em algumas postagens aqui do blog e vamos aproveitá-las nessa postagem, ou seja, vamos recuperar algumas postagens sobre polinômios que nos fornecem formas de encontrar as soluções de uma equação polinômial. Nessa série de postagens sobre equações, vamos tratar apenas de equações com soluções no conjunto dos números reais. Vamos lá!

Equações polinomiais

Vamos relembrar o que é uma equação polinomial.

Toda equação que pode ser escrita na forma

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 = 0$$

onde $x$ é incógnita, $a_n$, $\dots$, $a_0$ são números reais e $n$ é um número natural são chamadas equações polinomiais (elas podem ser escritas como um polinômio igual a zero).

Vejamos alguns exemplos.

1. $x^2+3x-1 = 0$

2. $x^5-\displaystyle\frac{x^3}{2}-x-1=0$

3. $\sqrt{3}x^4-x^3+2x^2+4x-8=0$

Essas três equações dos exemplos anteriores são claramente equações polinomiais, pois estão exatamente na forma da definição de equação polinomial dada acima. Porém, nem todas as equações polinômiais aparecem dessa forma, já organizada. Ás vezes, elas podem aparecer "desorganizadas" como nos exemplos a seguir.

4. $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ 

5. $-3x^2(x-1)+x=10-x$

6. $2x^2+x[1+x(x+1)]-8=x^2(x+5x^3)$

Mesmo elas estando "desorganizadas" não é difícil ver que são equações polinomiais.  Basta você olhar a incóginita, se ela não possuir potência negativa e nem fracionária, não estar dentro de uma raiz e não estar na parte debaixo de um quociente, então a equação é uma equação polinomial. Essa forma organizida do polinômio na definição de equação polinomial (na forma que estão os exemplos 1, 2 e 3) também é chamada de forma padrão do polinômio.

Se uma equação polinomial está escrita como na definição de equação polinomial (um polinômio na forma padrão igual a zero), então ela está pronta para ser resolvida. Mas se uma equação polinomial não está escrita dessa forma, ela precisa ser reescrita como na definição para ser resolvida. Por isso, antes de vermos métodos para resolver (encontrar as soluções) de equações polinomiais, vamos ver o que podemos fazer para transformar uma equação polinomial desorganizada em uma equação polinomial escrita como um polinômio na forma padrão igual a zero.

As propriedades que podemos usar para colocar uma equação polinomial na forma de um polinômio na forma padrão igual a zero são as seguintes.

Propriedades da igualdade

Sejam $a,b$ e $c$ números reais quaisquer. Então valem:

(i) Se $a=b$, então $a \pm c = b \pm c$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos somar ou subtrair o mesmo número em ambos os membros da equação, que a igualdade permenace.

(ii) Se $a = b$, então $ac=bc$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos multiplicar ambos os membros pelo mesmo número que a igualde não se altera.

(iii) Se $a = b$ e $c \neq 0$, então $\displaystyle\frac{a}{c} = \displaystyle\frac{b}{c}$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos dividir ambos os membros pelo mesmo número, se ele for diferente de zero, que a igualde não se altera.

Propriedade operacionais

Sejam $a,b$ e $c$ números reais quaisquer. Então vale: 

(i) $a+b = b+a$. Sempre podemos trocar a ordem das parcelas, que a soma não se altera (propriedade comutativa da adição).

(ii) $ab=ba$. A ordem dos fatores, não altera o produto (propriedade comutativa da multiplicação).

(iii) $a(b+c) = ab+ac$ e $(a+b)c = ac+bc$. Essa é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

Nessa última propriedade é sempre importante lembrar do jogo de sinais.

Propriedades de potenciação:

Sejam $m,n \in \mathbb{N}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

(ii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

(iii) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$

(iv) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Outra coisa importante que vamos usar para reescrever uma equação polinomial com um polinômio na forma padrão igual a zero é a soma e a subtração de termos semelhantes. Os termos semelhantes são aqueles que são formados por um número multiplicando uma mesma potência de $x$ (no nosso caso, pois estamos abordando equações com somente uma incóginta). Para somar e subtrair esses termos semelhantes, basta fazer essas operações com os números que estão multiplicando a potência da incógnita e multiplicar o resultado pela potência da incóginita (veja mais detalhes sobre termos semelhantes aqui). 

Como exemplos, vamos reescrever as equações dos exemplos 4, 5 e 6 na forma de um polinômio igual a zero.

7. Reescreva a equação polinomial $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ com o polinômio na forma padrão.

Solução: Vamos resolver esse exemplo detalhadamente. Uma das primeiras coisas que devemos fazer para reescrever equações desorganizadas desse jeito é eliminar os parênteses (ou colchetes ou chaves). Para isso, no primeiro e segundo membros da equação, temos que usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Vamos ter

\begin{eqnarray} x(x^2+1)-3x(x-2) &=& x^2-5(x+10) \\ xx^2+x 1-3xx+3x2 &=& x^2-5x+5 \cdot 10\end{eqnarray}

Na segunda linha das contas que fizemos acima, temos multiplicações de números e de potências de $x$. Para fazer essas multiplicações das potências de $x$, vamos usar a propriedade (i) da potenciação. Temos,

\begin{eqnarray} xx^2+x 1-3xx+3x2 &=& x^2-5x+5 \cdot 10 \\ x^3 + x + 6x &=& x^2-5x+50\end{eqnarray}

Para continuarmos a reescrever essa equação, vamos fazer as operações entre os termos semelhantes em cada membro da equação. Temos,

\begin{eqnarray} x^3 \underbrace{+x + 6x}_{termos \; semelhantes} &=& x^2-5x+50 \\ x^3+7x &=& x^2 - 5x + 50\end{eqnarray}

O próximo passo é fazer com que o segundo membro da equação fique igual a zero. Nessa equação, o segundo membro é  $x^2 - 5x + 50$. Para que esse membro fique igual a zero, devemos subtrair $x^2$ dos dois membros da equação, depois somar $5x$ nos dois membros da equação e, por fim, subtrair $50$ dos dois membros da equação. Conforme a propriedade (i) da igualdade, isso não altera a equação. Assim, temos

\begin{eqnarray}  x^3+7x &=& x^2 - 5x + 50 \\  x^3+7x -x^2 &=& x^2 - 5x + 50-x^2 \\ x^3+7x -x^2 &=& - 5x + 50 \\ x^3+7x -x^2+5x &=& - 5x + 50 +5x \\ x^3+7x -x^2+5x  &=&  50 \\ x^3+7x -x^2+5x - 50 &=&  50 -50 \\ x^3+7x -x^2+5x - 50 &=&  0  \end{eqnarray}

Perceba que, esse passos que demos acima foram como se fosse passar os termos do segundo membro para o primeiro membro com o sinal trocado, e é isso mesmo que podemos fazer. Por fim, vamos fazer as operações entre os termos semelhantes que ficaram no primeiro membro da equação. Temos,

\begin{eqnarray} x^3+7x -x^2+5x - 50 &=&  0  \\  x^3 -x^2+12x - 50 &=&  0 \end{eqnarray}

Portanto, a equação do enunciado do exemplo pode ser reescrita na forma $x^3 -x^2+12x - 50 =  0$.

Outras propriedades que foram usadas aqui, foram a comutatividada de adição de da multiplicação.

Vamos seguir com os outros exemplos, usando as mesmas propriedades, mas sem fazer de forma detalhada.

8.  Reescreva a equação polinomial $-3x^2(x-1)+x=10-x$ com o polinômio na forma padrão.

Solução: Essa equação é mais simples que a anterior. Vejamos, 

\begin{eqnarray} -3x^2(x-1)+x &=& 10-x \\ -3x^2x+3x^21 + x &=& 10-x \\ -3x^3+3x^2 +x &=& 10-x \\ -3x^3+3x^2+x+x-10 &=& 0 \\ -3x^3+3x^2+2x-10 &=& 0 \end{eqnarray}

Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita na forma $-3x^3+3x^2+2x-10 = 0$.

9. Reescreva a equação polinomial $2x^2+x[1+x(x+1)]-8=x^2(x+5x^3)$ com o polinômio na forma padrão.

Solução: Nesse exemplo temos parênteses dentro de conchetes e precisamos eliminar os dois. Mas não há segredos para fazer isso, é só começar sempre de dentro para fora e sempre fique atento ao jogo de sinais. Temos,

\begin{eqnarray} 2x^2+x[1+x(x+1)]-8 &=& x^2(x+5x^3) \\ 2x^2+x[1+xx+x1]-8 &=& x^2x+x^25x^3 \\ 2x^2+x[1+x^2+x]-8 &=& x^3+5x^5 \\ 2x^2+x1+xx^2+xx -8 &=& x^3+5x^5 \\ 2x^2+x+x^3+x^2-8 &=& x^3+5x^5 \\ x^3 + 3x^2 + x - 8 &=& x^3+5x^5 \\ x^3 + 3x^2+ x - 8 - x^3 - 5x^5 &=& 0 \\ -5x^5+3x^2+x-8 &=& 0  \end{eqnarray}

Portanto, a equação do enunciado pode ser reescrita na forma $-5x^5+3x^2+x-8 = 0$.

Agora que sabemos como tranformar uma equação desorganizada em uma equação "organizada", podemos pensar em como resolver essas equações. Bom, antes de apresentarmos métodos e fórmulas para resolver uma equação polinomial, precisamos lembrar de um objeto importante relacionado aos polinômios, o grau de um polinômio. O grau de um poliômio é igual ao maior expoente da incógnita que aparece no polinômo, por exemplo, $x^3 -x^2+12x - 50 $ possui grau $3$ e $-5x^5+3x^2+x-8$ possui grau $5$. Identificar o grau de um polinômio é importante pois é ele que vai nos dizer qual método ou fórmula vamos usar para resolver a equação polinomial (veja mais detalhes sobre o grau de um polinômio aqui). Vamos ver os métodos usados para resolver cada equação polinomial dependendo do grau do polinômio que aparece na equação.

Métodos e fórmulas para resolver equações polinômiais

I. Se o polinômio da equação polinomial possui grau $1$, isto é, a equação está na forma $ax+b=0$ com $a \neq 0$, essa equação é chamada equação do 1º grau. Alguns exemplos desse tipo de equação são:

1. $x+1 = 0$

2. $-4x+ \displaystyle\frac{5}{4}=0$

3. $\sqrt{3}x+4=0$

 Para resolver equações desse tipo veja a postagem Polinômios #8 - Raiz de polinômios de grau 1 (equação do primeiro grau).

II. Se o polinômio da equação polinomial possui grau $2$, isto é, a equação está na forma $ax^2+bx+c=0$ com $a \neq 0$, essa equação é chamada equação do 2º grau. Alguns exemplos desse tipo de equação são:

1. $x^2+x+1 = 0$

2. $-5x^2-3x+ \displaystyle\frac{1}{4}=0$

3. $\displaystyle\frac{x^2}{2}+3x-\sqrt{2}=0$

 Para resolver equações desse tipo veja a postagem Polinômios #9: Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau).

III. Se o polinômio da equação polinomial possui grau maoir ou igual a $3$, dizemos que a equação é do 3º grau, 4º grau e assim sucessivamente. Alguns exemplos desses tipos de equação são:

1. $x^3+3x^2+1 = 0$ (3º grau)

2. $-5x^4-3x^3+ \displaystyle\frac{x^2}{4}-x-1=0$ (4º grau)

3. $\displaystyle\frac{x^5}{4}+3x^2-\sqrt{2}=0$ (5º grau)

Quando as equações são do 3º ou 4º graus, até existem fórmulas para resolver essas equações, porém elas são bem complicadas e não muito eficientes. Elas estão nas seguintes postagens

Polinômios #10: Uma fórmula para determinar uma raiz de um polinômio de grau 3 - Fórmula de Tartaglia

Polinômios #11: Raízes de polinômios de grau 4 - Fórmula de Ferrari

Para equações com polinômios com graus maiores ou iguais a $3$ existem outros métodos mais eficientes para determinarmos as soluções. Uma das formas muito importantes para resolver essas equações é usando o Teorema das Raízes Racionais que você pode encontrar na postagem Polinômios #13 - O Teorema das Raízes Racionais. 

Outra método muito importante usado para  resolver equações polinomiais com polinômios de grau maior ou igual a $3$ é a fatoração de polinômios. Você pode ver mais detalhes sobra a fatoração de polinômios na postagem Polinômios #15: Fatoração de polinômios.

Compreendendo bem o conteúdo dessa postagem (que é bastante coisa) você, com certeza, estará muito bem preparado para resolver equações polinomiais.

Resumo da postagem em vídeo:

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Equações Algébricas #1: o que são equações?

As equações desempenham um papel muito importante na matemática. Elas estão sempre associadas à solução de algum problema, seja ele teórico ou aplicado, e aparecem em todas as áreas da matemática. Isso ocorre por que consiguimos modelar muitos problemas reais ou teóricos usando uma equação, ou seja, podemos escrever muitos problemas usando a "linguagem" matemática na forma de uma equação para resolvê-los. Isso pode ser feito em problemas simples, como o troco em uma compra e também em um problema mais complexo, como determinar um valor máximo de uma função real com mais de uma variável em um determinado conjunto. Por esse motivo é muito importante sabermos o que é uma equação, o que são as soluções de uma equação e também como encontrar essas soluções, se elas existirem. No geral, é muito difícil encontrar soluções de uma equação e a maioria delas não possuem uma fórmula ou um método para determinar essas soluções. A partir dessa postagem vamos estudar alguns tipos de equações, começando pelas mais simples, e alguns métodos para determinar as soluções dessas equações. Vamos lá!

O que são equações?

Antes de qualquer coisa vamos aprender o que é uma equação.

Definição: Uma equação algébrica é uma afirmação de igualdade entre duas expressões algébricas (veja o que é uma expressão algébrica aqui). 

O adjetivo algébrica, significa que as operações que aparecem nessa equação são adição, subtração, multilicação, divisão, potências e raízes, não aparecem, por exemplo, funções trigonométricas, logaritmos e nem exponenciais.

Para simplificar o texto , daqui para frente, usaremos o termo equações para significar equações algébricas.

Agora que sabemos o que são equações, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $x+1=5$

2. $3(x+1)-4x = x+10$

3. $x^2-2x+1=5$

4. $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$

5. $x^{10} -4x^9-3x^7+x^2-5=0$

6. $\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 5$

7. $\displaystyle\frac{5(x^3-4)+3x^2}{x^4+x^2+1} = -\displaystyle\frac{1}{x}$

8. $\sqrt{x-1} = 10$

9. $\sqrt{x^3-x^2} = x^2-10$

10. $\sqrt[3]{x^2+1} = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x^3-4x}$

11. $\displaystyle\frac{3x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{3x-2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{4x^4+10}}{x^2}$

12. $x^{-1}+3x^{\frac{2}{3}} = (x+3)^{\frac{4}{3}}$

13. $|x+1| = 10$

14. $|x^2-1| = |x|$

15. $\left|\displaystyle\frac{3x^2+1}{\sqrt{x+1}}\right| = \displaystyle\frac{3x^2-1}{x^3+1}$

Como você pode perceber, podemos construir infinitos exemplos. As equações dos exemplos acima possuem somente uma incógnita, mas as equações podem ter mais de uma incóginita, como por exemplo, a equação:

$$x^2+xy+1 = xy^2$$

Uma equação sempre possui uma expressão do lado esquerdo do sinal de igual a outra do lado direito. Ao que está do lado esquedo do sinal de igual chamamos 1º membro da equação a ao que está do lado direito 2º membro da equação.

Nessa série de postagens sobre equações vamos tratar somente das equações que possuem um incógnita (por isso coloquei os exemplos somente com uma incógnita). Também, nos exemplos acima, todas as equações possuem como incógnita a letra $x$, mas podemos usar qualquer outra letrar para ser a incógnita da equação.

Solução de uma equação

Vamos agora definir o que é uma solução de uma equação.

Definição: Uma solução de uma equação (com um incógnita) é um número $a$ que, quando colocado no lugar, da incógnita, torna a igualdade da equação verdadeira.

Essa definição é uma definição geral, mas nessa série de postagens abordaremos somente as soluções que são números reais.

Vamor ver alguns exemplos de soluções de equações.

Exemplos:

1. O número $1$ é solução da equação $x+1=2$, pois, ou trocar $x$ por $1$, temos $1+1=2$.

2. O número $-1$ é solução da equação $x^3+2x^2-1=0$, pois

\begin{eqnarray} (-1)^3+2(-1)^2  - 1 &=& 0 \\ -1 + 2 -1 &=& 0 \\ 0 &=& 0\end{eqnarray}

3. Uma equações pode ter mais de uma solução. A equação $\sqrt{x^2+12} = 4$ possui os números $-2$ e $2$ como soluções. Temos,

\begin{eqnarray} \sqrt{(-2)^2+12} &=& 4 \\ \sqrt{4+12} &=& 4 \\ \sqrt{16} &=& 4 \\ 4 &=& 4 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} \sqrt{2^2+12} &=& 4 \\ \sqrt{4+12} &=& 4 \\ \sqrt{16} &=& 4 \\ 4 &=& 4 \end{eqnarray}

4. Uma equação pode não ter solução, por exemplo, $x^2+1=0$. Não existe um número real que possa ser colocado no lugar do $x$ de modo que a igualdade seja verdadeira.

Alguns tipos de equações

Podemos classificar as equações em alguns tipos. Essa classificação é importante, pois para cada tipo equação, métodos e fórmulas específicas podem ser usadas para encontrar as soluções.

Equação polinomial

Toda equação que pode ser escrita na forma

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 = 0$$

onde $x$ é incógnita, $a_n$, $\dots$, $a_0$ são números reais e $n$ é um número natural são chamadas equações polinomiais (elas podem ser escritas como um polinômio igual a zero).

Vejamos alguns exemplos.

1. $x^2+3x-1 = 0$

2. A equação $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ apesar de não parecer uma equação polinomial, ela é. Basta reescrevê-la. Temos

\begin{eqnarray} x(x^2+1)-3x(x-2) &=& x^2-5(x+10) \\ x^3+x-3x^2+6x &=& x^2-5x-50 \\ x^3+x-3x^2+6x - x^2+5x+50 &=& 0 \\ x^3-4x^2+12x+50 &=& 0 \end{eqnarray}

Logo, essa equação pode ser reescrita na forma $x^3-4x^2+12x+50 = 0$ e, portanto, é uma equação polinômial.

Equação racional

Sejam $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios. Uma equação na forma 

$$\frac{p(x)}{q(x)} = 0$$

é chamada equação racional (é o quociente de dois polinômios igual a $0$).

Vejamos alguns exemplos:

1. $\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{x^3-x+2} = 0$.

2. A equação $\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1} + \displaystyle\frac{1}{x} = \displaystyle\frac{1}{x^2}$ não parece ser uma equação racional, mas ela é. Podemos reescrevê-la da seguinte forma (veja como somar/subtrair expressões com quocientes de expressões algébricas aqui)

\begin{eqnarray}\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{1}{x} &=& \frac{1}{x^2} \\  \frac{x(x^2+1)+1(x+1)}{(x+1)x} &=& \frac{1}{x^2} \\ \frac{x^3+2x+1}{x^2+x} &=& \frac{1}{x^2} \\  \frac{x^3+2x+1}{x^2+x} - \frac{1}{x^2} &=& 0 \\ \frac{x^2(x^3+2x+1)-1(x^2+x)}{(x^2+x)x^2} &=& 0 \\ \frac{x^5+2x^3-x}{x^4+x^3} &=& 0 \end{eqnarray}

Logo, essa equação pode ser reescrita na forma $\displaystyle\frac{x^5+2x^3-x}{x^4+x^3} = 0$ e, portanto, é uma equação racional.

Equação irracional

Uma equação irracional é qualquer equação cuja incógnita está dentro de um radical.

Vejamos alguns exemplos:

1. $\sqrt{x}-1 = x+2$

2. $\sqrt{x^2-4} = 3\sqrt{x}+1$

Equação modular

Uma equação modular é uma equação que possui um módulo, no qual a incógnita está, no 1º membro, no 2º membro os nos dois membros da equação.

Vejamos alguns exemplos.

1. $|x+1| = 7$

2. $|x^2-x-5| = |x|+1$

Esses quatro tipos de equações são somente alguns tipos, existem equações que não podem ser classificadas em nenhum desses tipos, como por exemplo, a equação

$$\frac{x+1}{\sqrt{x-2}} = x^2$$

Exemplo em vídeo:

Nas postagens a seguir veremos como resolver esses quatro tipos de equações e algumas outras equações que não são de nenhum desses tipos. Fique ligado acompanhe e as próximas postagens.

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Expressões algébricas #7: Simplificando expressões

Nas postagens anteriores (você pode acessá-las aqui) entendemos como somar e subtrair letras, como multiplicar e dividir letras, entendemos o que significam as raízes e as potências de letras, entendemos como simplificar expressões algébricas mais simples, com somente potências e raízes de letras e, por último, vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com expressões algébricas. Isso significa que temos todo o conhecimento necessários para simplificar qualquer expressão algébrica, por mais trabalhoso que isso seja. Nessa postagem vamos fazer uso do que aprendemos nas postagens anteriores para simplicar algumas expressões algébricas. Vamos lá!

Simplificando expressões

Não é possível fazermos exemplos de simplifição de exepressões algébricas com todas as possíveis expressões algébricas que podem ser simplificadas, pois são infinitias as possibilidades. Aqui, para sermos mais eficientes e para essa postagem ser mais útil (e não tão cansativa de ser lida), vamos fazer alguns exemplos de simplicação de expresões algébricas apresentando e destacando algumas ideias que podem ser usadas na simplificação da maioria das expressões algébricas. Vamos aos exemplos.

Exemplos:

1. Simplifique a expressão algébrica $x^2(x+1)-2x^3-4x+8(x-3)$.

Solução: Nessa expressão algébrica temos somente somas, subtrações e multiplicações. Assim como numa expressão numérica, devemos fazer a multiplicação primeiro. Usando a propriedade distributiva da multiplicação, somando e subtraindo os termos semelhantes, temos,

\begin{eqnarray} x^2(x+1)-2x^3-4x+8(x-3) &=& x^2x+x^2\cdot 1-2x^3-4x+8x+8 \cdot (-3) \\ &=& x^3+x^2-2x^3-4x+8x - 24 \\ &=& -x^3+x^2+4x-24\end{eqnarray}

2. Simplifique a expressão algébrica $\sqrt[3]{x}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)$.

Solução: Aqui temos somente um termo multiplicando uma soma. Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right) &=& \sqrt[3]{x} \cdot 1+\sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x} \\ &=& \sqrt[3]{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x} \\ &=& \sqrt[3]{x}+x^{\frac{1}{3}}x^{-1} \\ &=& \sqrt[3]{x}+x^{-\frac{2}{3}} \\ &=& \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \\ &=& \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}  \end{eqnarray}

No exemplo 2, talvez a expressão do enunciado seja mais simples do que a que obtivemos após fazer a multiplicação, mas fiz as contas assim mesmo para nos lembrarmos de que podemos transformar raízes em potências com expoentes racionais (e vice-versa) e que quando uma potência de uma incógnita está em baixo ou em cima no quociente, ela pode "subir" ou "descer", trocando o sinal do expoente.

3. Simplifique a expressão algébrica $x \left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)-x(3+x)$.

Solução: Mais uma vez vamos começar efetuando as multiplicações usando a propriedade distributiva da multiplicação. Temos,

\begin{eqnarray} x \left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)-x(3+x)  &=& x\sqrt{x}-x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)-x \cdot 3 - xx \\ &=& xx^{\frac{1}{2}}-\frac{x}{x^2}-3x-x^2 \\ &=& x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{x}-3x-x^2 \\ &=& \sqrt{x^3}-\frac{1}{x}-3x-x^2\end{eqnarray}

4. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x^4+x^3+x^2+x}{x+1}$.

Solução: Esse tipo de expressão algébrica, um quociente de dois polinômios, é chamada de expressão racional. Nem todas as expressões desse tipo podem ser simplificadas, mas existe uma forma de sabermos se elas podem ser simplificadas, podemos verificar se os polinômios do quociente possuem raízes em comum. Observe que o polinômio que está em baixo no quociente possui somente uma raiz, que é o $-1$. O número $-1$ também é raiz do polinômio que está em cima no quociente, pois 

$$(-1)^4 +(-1)^3+(-1)^2+(-1) = 1-1+1-1=0$$

Desse modo, é possível escrever o polinômio que está em cima na forma

$$x^4+x^3+x^2+x = (x+1)q(x)$$

para algum polinômio $q(x)$. Sendo assim, vamos poder simplificar o polinômio $x+1$ que aparece em cima com o mesmo polinômio que aparece em baixo. Para escrever o polinômio de cima na forma $(x+1)q(x)$ podemos usar a divisão de polinômios ou simplesmente colocar alguns termos em evidência. Vamos fazer isso usando a segunda estratégia (veja mais detalhes sobre raízes de polinômios e divisão de polinômios),

\begin{eqnarray} \frac{x^4+x^3+x^2+x}{x+1} &=& \frac{x^2(x^2+x)+(x^2+x)}{x+1} \\ &=& \frac{(x^2+1)(x^2+x)}{x+1} \\ &=& \frac{(x^2+1)x(x+1)}{x+1} \\ &=& x(x^2+1) \end{eqnarray}

5. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x^2+x-2}{x^4-x^2}$.

Solução: Nesse exemplo também temos uma expressão racional, assim, vamos procedor como no exemplo anterior, vamos verificar se os polinômios do quociente possuem alguma raiz em comum. Aplicando o método da Soma e Produto no polinômio de cima, temos que $1$ e $-2$ são suas raízes. Agora, observe que $1$ também é raiz do polinômio de baixo, pois $1^4-1^2=0$. Portanto esses dois polinômios são divisíveis por $x-1$, ou , em outras palavras, esses dois polinômio são iguais ao produto de um polinômio por $x-1$. Como o polinômio que está em cima possui grau $2$ e é mônico ele pode ser escrito na forma $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ (veja mais detalhes sobre isso aqui). No polinômio de baixo, podemos colocar $x^2$ em evidência, obtendo $x^4-x^2 = x^2(x-1)$. Assim, podemos simplificar a expressão do enunciado da seguinte forma,

\begin{eqnarray} \frac{x^2+x-2}{x^4-x^2} &=& \frac{(x-1)(x+2)}{x^2(x-1)} \\ &=& \frac{x+2}{x^2}  \end{eqnarray} 

6. Simplifique a expressão algébrica $x\left[\sqrt{x} - 3(x+\sqrt{x})\right]+\displaystyle\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{x}$.

Solução: Observe que nessa expressão algébrica temos uma operação dentro de parênteses e esses parênteses estão dentro de colchetes. A ordem de prioridade das operações que usamos nas expressões algébricas é mesma que usamos nas expressões numéricas, sempre simplificamos de dentro para fora respeitando a ordem das operações. Desse modo, temos,

\begin{eqnarray} x\left[\sqrt{x} - 3(x+\sqrt{x})\right]+\displaystyle\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{x} &=& x\left[\sqrt{x} -3x-3\sqrt{x})\right]+2x^{\frac{5}{2}}x^{-1} \\ &=& x\left[-2\sqrt{x} -3x\right]+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -2xx^{\frac{1}{2}} -3xx+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -2x^{\frac{3}{2}} -3x^{2}+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -3x^2  \end{eqnarray}

7. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Solução: Aparentemente, parece que não é possível fazer alguma simplificação nessa expressão. Observe que ela não é uma expressão racional, pois não é o quociente de dois polinômios. Mas, podemos usar um produto notável aqui. Note que

$$x-1 = \left(\sqrt{x}\right)^2-1^2 = \left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)$$

Usamos a diferença de quadrados para reescrever a expressão $x-1$. Desse modo, temos

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} &=& \frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1} \\ &=& \sqrt{x}+1 \end{eqnarray}

8. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{(x^2-y^2)\sqrt{x+y}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}}$.

Solução: Nessa expressão algébrica temos duas incónitas. Isso pode tornar a simplificação um pouco mais complicada, mas para encoontrarmos uma forma de simplificar esse tipo de expressão, devemos prestar atenção no básico, ou seja, vermos se há termos que podem ser colocados em evidência e também se há potências que pode ser simplificadas. Nessa expressão temos potências da soma $x+y$ em cima e em baixo no quociente a também uma diferença de quadrados. Temos

\begin{eqnarray} \frac{(x^2-y^2)\sqrt{x+y}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}} &=& \frac{(x^2-y^2)(x+y)^{\frac{1}{2}}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}} \\ &=& \frac{x^2-y^2}{x+y} \\ &=& \frac{(x+y)(x-y)}{x+y} \\ &=& x-y \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

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Expressões algébricas #6: Soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas

Na última postagem aprendemos a simplificar expressões algébricas com somas e produtos de potências e raízes de incógnitas. Nessa postagem vamos, antes de simplificar expressões mais complicadas, apreder como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com expressões algébricas. Isso costuma assustar um pouco e causa uma certa confusão em quem precisa efetuar somas, subtrações, produtos e divisões com quocientes desse tipo. O objetivo dessa postagem é mostrar que fazer contas com quocientes não é difícil, basta entender bem como as contas com esses quocientes são feitas, lembrando de como fazemos com os números. Vamos lá!

Soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas

Antes de somarmos, subtrairmos, mutiplicarmos e dividirmos quocientes com expressões algébricas, vamos lembrar de como fazemos essas operações em quocientes com números.

Somando, subtraindo, multiplicando e dividindo quocientes

Considere os números reais $a$, $b$, $c$ e $d$ com $b,d \neq 0$. A soma e a subtração dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ é dada por:

\begin{equation} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} \end{equation}

Vejamos alguns exemplos

Exemplos:

1. $\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{4}{7} = \displaystyle\frac{3 \cdot 7 + 4 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \displaystyle\frac{21+16}{28} = \displaystyle\frac{37}{28}$

2. $\displaystyle\frac{1,5}{2}-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1,5 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1,5\sqrt{5}+6}{2\sqrt{5}}.$

A multiplicação dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ é dada por:

\begin{equation} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\end{equation}

Aqui basta multiplicar o de cima com o de cima e o debaixo com o de baixo. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

3. $\displaystyle\frac{5}{7} \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 2} = \displaystyle\frac{15}{14}$

4. $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{7}}{3} \cdot \displaystyle\frac{4}{2,1} = \displaystyle\frac{\sqrt[3]{7} \cdot 4}{3 \cdot 2,1} = \displaystyle\frac{4\sqrt[3]{7}}{6,2}$

A divisão dos quocientes $\displaystyle\frac{a}{b}$ e $\displaystyle\frac{c}{d}$ com $a$ e $b$ também diferentes de zero, é dada por:

\begin{equation} \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \end{equation}

Aqui copiamos o quociente que está em cima e multiplicamos pelo inverso de quem está em baixo. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

5. $\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{5}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{7} = \displaystyle\frac{5}{14}$

6. $\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{6,3}{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{6,3} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{18,9}$

Somando, subtraindo, multiplicando e dividindo quocientes com uma ou mais incógnitas

Agora que lembramos como fazer essas operações com quocientes de números, vamos passar a tratar dessas operações com quocientes de expressões algébricas. Precisamos sempre nos lembrar de uma coisa que escrevi bastante nas últimas postagens "as letras (incógnitas) representam números e, portanto, podem ser tratadas como números". O que eu quero dizer com isso é que as regras acima, que usamos para números, também usamos para incógnitas, sem nenhum problema. Podemos reescrevê-las, considerando no lugar dos números $a$, $b$, $c$ e $d$, expressões algébricas.

Sejam $u$, $v$, $w$ e $t$ expressões algébricas. Definimos,

\begin{equation} \frac{u}{v} \pm \frac{w}{t} = \frac{ut \pm vw}{vt}; \end{equation}

\begin{equation} \frac{u}{v} \cdot \frac{w}{t} = \frac{uw}{vt};\end{equation}

\begin{equation} \frac{\frac{u}{v}}{\frac{w}{t}} = \frac{u}{v} \cdot \frac{t}{w} = \frac{ut}{vw} \end{equation}

Viu só? Somamos, subtraimos, multiplicamos e dividimos quocientes com expressões algébricas da mesma forma que fazemos com quocientes de números.

 

A seguir veremos alguns exemplos de como soma, multiplicar de dividir quocientes com uma ou mais incógnitas. Em cada exemplo vou destacar alguns detalhes importantes. 

Exemplos:

7. Efetue a soma $\displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{2}{x}$.

Solução: Essa é uma soma simples de se fazer. No caso desse exemplos temos $u=1$, $v=3$, $w=2$ e $t-x$. Assim,

\begin{eqnarray} \frac{1}{3} + \frac{2}{x} &=& \frac{1x+3 \cdot 2}{3x} \\ &=& \frac{x+6}{3x}  \end{eqnarray}

8. Efetue a subtração $\displaystyle\frac{3x}{4}-\displaystyle\frac{1}{x}$.

Solução: Esse exemplo é feito de forma análoga ao exemplo anterior, mas agora com a subtração no lugar da soma. Nesse exemplo temos $u = 3x$, $v = 4$, $w = 1$ e $t = x$. Assim,

\begin{eqnarray} \frac{3x}{4} - \frac{1}{x} &=& \frac{3x x - 1 \cdot 4}{4x} \\ &=& \frac{3x^2-4}{4x}  \end{eqnarray}

9. Efetue a soma $\displaystyle\frac{x-1}{4}+\displaystyle\frac{3}{x^2}$.

Solução: Nesse exemplo vamos usar a mesma regra do exemplo 7 com $u = x+1$, $v = 4$, $w=3$ e $t=x^2$. Temos

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{4} + \frac{3}{x^2} &=& \frac{(x-1)x^2+3 \cdot 4}{4x^2} \\ &=& \frac{(x+1)x^2+8}{4x^2} \\ &=& \frac{xx^2+1x+8}{4x^2} \\ &=& \frac{x^3+x+8}{4x^2} \end{eqnarray}

10. Efetue a subtração $\displaystyle\frac{4-3x}{x^2+2}-\displaystyle\frac{5x}{x+1}$.

Solução: Nesse exemplo, vamos usar a mesma regra do exemplo 8 com $u=4-3x$, $v = x^2+2$, $w=5x$ e $t = x+1$. Temos

\begin{eqnarray} \frac{4-3x}{x^2+2} - \frac{5x}{x+1} &=& \frac{(4-3x)(x+1) -  5x(x^2+2)}{(x^2+2)(x+1)} \\ &=& \frac{4x+4\cdot 1 - 3xx-3x1-(5xx^2+5x2)}{x^2x+x^21+2x+2 \cdot 1} \\ &=& \frac{4x+4-3x^2-3x-5x^3-10x}{x^3+x^2+2x+2} \\ &=& \frac{-5x^3-3x^2-9x+4}{x^3+x^2+2x+2} \end{eqnarray}

11. Efetue a soma $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y}{y^2+x}+\displaystyle\frac{2x}{y+1}$.

Solução: Nesse exemplo temos duas incógnitas, mas não há nenhum problema nisso, basta procedermos como nos exemplos anteriores. Temos

\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x}y}{y^2+x}+\displaystyle\frac{2x}{y+1} &=& \frac{\sqrt{x}y(y+1)+2x(y^2+x)}{(y^2+x)(y+1)} \\ &=& \frac{\sqrt{x}yy+\sqrt{x}1+2xy^2+2xx}{y^2y+y^21+xy+x1} \\ &=& \frac{\sqrt{x}y^2+\sqrt{x}+2xy^2+2x^2}{y^3+y^2+xy+x} \end{eqnarray}

Uma pergunta que pode surgir agora é: "Se tivermos que fazer a soma com mais de dois quecientes desses, o que devemos fazer?" Bom, uma maneira mais cautelosa de fazer isso é somanado-os dois a dois. Uma outra forma de fazer é da seguinte forma: sejam $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$ números ou expressões algébricas, temos

\begin{equation} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} \pm \frac{e}{f} = \frac{adf \pm cbf \pm ebd}{bdf} \end{equation}

Vamos continuar com exemplos sobre multiplicação

12. Efetue o produto $\displaystyle\frac{3}{x} \cdot \frac{x+1}{4}$.

Solução: Vimos acima que o produto de dois quocientes de números ou expressões algébricas é feito multiplicando o de cima com o de cima e o de baixo com o debaixo. Desse forma, temos:

\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{3}{x} \cdot \frac{x+1}{4} &=& \frac{3(x+1)}{x4} \\ &=& \frac{3x+3}{4x} \end{eqnarray}

13. Calcule o produto $\displaystyle\frac{x^2-5}{10x} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{\sqrt{3}x-2}$.

Solução: Como vimos no exemplos anterior, não há segredos na multiplicação de quocientes, basta multiplicar o de cima com o de cima e o de baixo com o de baixo. Assim, 

\begin{eqnarray} \frac{x^2-5}{10x} \cdot \frac{x^3}{\sqrt{3}x-2} &=& \frac{(x^2-5)x^3}{10x(\sqrt{3}x-2)} \\ &=& \frac{x^2x^3-5x^3}{10x\sqrt{3}x-10x2} \\ &=& \frac{x^5-5x^3}{10\sqrt{3}x^2-20x}  \end{eqnarray}

14. Calcule o produto $\displaystyle\frac{2x^2 + \sqrt{y}}{y+1} \cdot \displaystyle\frac{4y}{x+y}$.

Solução: Nesse exemplos temos duas incógnitas, mas o produto é feito da mesma forma. Temos

\begin{eqnarray} \frac{2x^2 + \sqrt{y}}{y+1} \cdot \frac{4y}{x+y} &=& \frac{(2x^2 + \sqrt{y})4y}{(y+1)(x+y)} \\ &=& \frac{2x^2y+\sqrt{y}4y}{yx+yy+1x+1y} \\ &=& \frac{2x^2y+4y^{\frac{1}{2}}}{xy+y^2+x+y} \\ &=& \frac{2x^2+4y^{\frac{3}{2}}}{xy+y^2+x+y}\end{eqnarray}

Vamos agora fazer alguns exemplos com a divisão.

15. Efetue a divisão $\displaystyle\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x+5}{3}}$.

Solução: Aqui a regra é, como visto acima, copia o quociente que está em cima e multiplica pelo quociente que está em baixo. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x+5}{3}} &=& \frac{1}{x^2} \cdot \frac{3}{x+5} \\ &=& \frac{3}{x^2(x+5)} \\ &=& \frac{3}{x^2x+x^25} \\ &=& \frac{3}{x^3+5x^2}   \end{eqnarray}

16. Efetue a divisão $\displaystyle\frac{\frac{x^3+x-1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}}$.

Solução: Usando a mesma regra usada no exemplo acima, temos

\begin{eqnarray} \frac{\frac{x^3+x-1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}} &=& \frac{x^3+x-1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} \\ &=& \frac{(x^3+x-1)x^2}{x(x+1)} \\ &=& \frac{x^3x^2+xx^2-1x^2}{xx+x} \\ &=& \frac{x^5+x^3-x^2}{x^2+x}\end{eqnarray}

17. Calcule a divisão $\displaystyle\frac{\frac{xy+\sqrt{x}}{x^2}}{\frac{\sqrt{y}+3x^2}{xy}}$.

Solução: Nesse exemplo temos duas incógnitas, mas o modo de calcular a divisão é o mesmo, como fizemos no exemplo anterior. Temos,

\begin{eqnarray} \frac{\frac{xy+\sqrt{x}}{x^2}}{\frac{\sqrt{y}+3x^2}{xy}} &=& \frac{xy+\sqrt{x}}{x^2} \cdot \frac{xy}{\sqrt{y}+3x^2} \\ &=& \frac{(xy+\sqrt{x})xy}{x^2(\sqrt{y}+3x^2)} \\ &=&   \frac{xyxy+\sqrt{x}xy}{x^2\sqrt{y}+x^23x^2} \\ &=& \frac{x^2y^2+xy\sqrt{x}}{x^2\sqrt{y}+3x^4} \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

Errata: Nesse vídeo eu acabei falando que 2 vezes 4 é igual a 4, mas, na verdade, a conta que fiz foi 2 vezes 2 igual a 4. Falei errado, mas a conta está certa... hehe

Com esses exemplos temos boas ideias de como de fazer somas, subtrações, multiplicações e divisões de quocientes com expressões algébricas. Não há segredos, basta fazer as operações usando as suas definições, tomar cuidado com o jogo de sinais e usar a propriedades de potenciação e radiciação.

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Expressões Algébricas #5: Simplificando expressões algébricas com potências e raízes

Que ótimo que estamos avançando no nosso estudo de expressões algébricas. Nas postagens anteriores vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir incógnitas e também vimos como simplificar potências e raízes de incógnitas. As postagens anteriores servem de base para as postagens que virão, elas apresentam o que é básico dentro do contexto de expressões algébricas. Agora, vamos, aos poucos, misturar tudo o que vimos e um pouco mais (hehe...). Nessa postagem  vamos ver maneiras de simplificar expressões algébricas envolvendo somas, subtrações e multiplicações de potências e raízes de incógnitas.

Simplificando expressões algébricas com potências e raízes

Nesse ponto em que estamos, acredito que a melhor forma de entendermos como simplificar expressões algébricas é por meio de exemplos, vendo alguns detalhes importantes em cada exemplo e ideias que podem ser usadas para simplificar outras expressões algébricas. É importante lembrar que a ordem das operações numa expressão algébrica é a mesma de uma expressão numérica, pois as letras representam números. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos:

1. Simplifique a expressão algébrica $x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$.

Solução: Nessa expressão temos a soma e a subtração de potências da incógnita $x$ e de números também. Para simplificar essa expressão temos que fazer as operações que estão nela entre os termos que são semelhantes. Já falei um pouco sobre termos semelhantes em uma das postagens anteriores, mas vou dar mais detalhes aqui. O termos semelhantes são a mesma incógnita e os múltiplos das potências de mesmo expoente dessa incónita. A expressão desse exemplo é:

$$x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$$

Os termos dessa expressão, na ordem em que aparecem, são:

$$x, \; -x^2, \; 4x, \; x^3, \; -3x^3, \; 1$$

Vamos separar esses termos em grupos de termos semelhantes:

Grupo 1: $1$

Grupo 2: $x$, $4x$

Grupo 3: $-x^2$

Grupo 4: $-x^3$, $3x^3$

Esses são os termos semelhantes que temos nessa expressão. Para simplificar uma expressão algébrica não é necessário escrever essa separação em grupos que fiz nesse exemplo, fiz essa separação somente para deixar claro quais são os termos semelhantes. Podemos fazer isso simplesmente olhando para a expressão algébrica. Agora, vamos fazer as operações que aparecem em cada grupo de termos semelhantes, fazendo a aperação entre os números que estão multiplicando as potências de $x$ em cada termo. Temos,

\begin{eqnarray} x - x^2 + 4x + x^3 - 3x^3 + 1 &=& \underbrace{x +4x}_{\; Grupo \; 2 \;}  \underbrace{-x^2}_{\; Grupo \; 3 \;}  \underbrace{+x^3 - 3x^3}_{\; Grupo \; 4 \;}  \underbrace{+1}_{\; Grupo \; 1 \;} \\ &=& 5x - x^2 -2x^3 + 1 \end{eqnarray}

Observe que $x+4x = (1+4)x = 5x$ e $x^3-3x^3 = (1-3)x^3 = -2x^3$, ou seja, fizemos as operações que apareceram nos grupos dos termos semelhantes. Observe também que não existem termos semelhantes a $1$ e $x^2$, por isso ficaram como estão. Outra coisa importante para ser observada é que na passagem da primeira igualdade eu comutei (troquei de ordem) os termos da expressão para deixar os termos semelhantes juntos. Isso pode ajudar na simplificação, mas não é necessário. Mas, lembre-se, as operações de soma e subtração só podem ser feitas entre os termos semelhantes. Vamos usar essa ideia em todos os outros exemplos.

2. Simplifique as expressão algébrica $-2 + x^2-\sqrt{x}+3 - 2\sqrt{x}+x+x^2$.

Solução: Você pode até pensar que esse exemplo ficou mais difícil por conter algumas raízes. Mas, não se preocupe, vamos usar a mesma estratégia dos termos semelhantes. Os termos que possuem raízes quadradas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes quadradas, os termos que possuem raízes cúbicas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes cúbicas e assim por diante. E aqui, quando digo somados ou subtraídos, estou me referindo aos números que multiplicam essas raízes. Vamos reescrever a expressão agrupando os termos semelhantes e simplificá-la.

\begin{eqnarray} -2 + x^2 - \sqrt{x} + 3 - 2\sqrt{x} + x + x^2 &=& \underbrace{-2 + 3}_{\; \; \;}  \underbrace{+x^2+x^2}_{\; \; \;} \underbrace{-\sqrt{x}-2\sqrt{x}}_{\; \; \;} \underbrace{+ x}_{\; \; \;} \\ &=& 1 + 2x^2 - 3\sqrt{x} + x \end{eqnarray}

3. Simplifique a expressão algébrica $x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+5x^{\frac{2}{3}}+\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{2}$.

Solução: Nessa expressão nós temos uma potência com expoente racional, mas isso não muda em nada a ideia de fazer a soma e a subtração entre os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^2-1+2x^{\frac{2}{3}} - 3\sqrt{x} + 5x^{\frac{2}{3}} + \frac{\sqrt{x}}{2} &=& x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2} \\ &=& x^2 -1 +7x^{\frac{2}{3}}-\frac{5\sqrt{x}}{2}\end{eqnarray}

4. Simplifique a expressão algébrica $x^{-2} + \sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2$.

Solução: Vamos seguir o mesmo raciocínio, somar e subtrair os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^{-2}+\sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2 = -2x^{-2} + 5\sqrt[3]{x} - x^2\end{eqnarray}

Vamos introduzir nos próximos exemplos multiplicações de potências das incógnitas.

5. Simplifique a expressão algébrica $x^3(x^2+2)+5x-2x^3$.

Solução: Nesse exemplo, um dos fatores da expressão é $x^3(x^2+2)$. Para fazer essa multiplicação temos que usar a propridade distributiva da multiplicação. Vamos lembrá-la rapidamente: para $a$, $b$ e $c$ números reais quaisquer, vale:

$$a(b+c) = ab+ ac$$

No caso da multiplicação $x^3(x^2+2)$, o $x^3$ faz o papel do $a$, o $x^2$ faz o papel do $b$ e o $2$ faz o papeol do $c$. Assim, reescrevemos a expressão

\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 = x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \end{eqnarray}

Agora, para simplificar o lado direito do sinal de igual, vamos usar a propriedade de potenciação que nos que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes e, depois disso, vamos somar os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 &=& x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \\ &=& x^5+2x^3+5x-2x^3 \\ &=& x^5+5x \end{eqnarray}

6. Simplifique a expressão algébrica $(\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}}-4$.

Solução: Novamente vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos aplicá-la passo a passo não nos esquecendo do jogo de sinais. Simplificando essa expressão algébrica, temos:

\begin{eqnarray} (\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}} - 4 &=& (\sqrt{x}+1)x^2 + (\sqrt{x}+1)(-1) + x^{\frac{5}{2}} -4 \\ &=& \sqrt{x}x^2+1x^2+\sqrt{x}(-1) + 1(-1) + x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{1}{2}}x^2+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{5}{2}}+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& 2x^{\frac{5}{2}} + x^2 -\sqrt{x} -5\end{eqnarray} 

Nesse exemplo tranformamos uma raiz em uma potência, ou seja, $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ para escrever o produto $\sqrt{x}x^2$ na forma $x^{\frac{5}{2}}$. Isso pode ser usado para "juntar" raízes com potências de uma mesma incógnita numa multiplicação. 

7. Simplifique a espressão algébrica $\sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5$.

Solução: Temos

\begin{eqnarray} \sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5 &=& \sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{x}x^{\frac{3}{2}}-xx-x2+x^5 \\ &=& \left(\sqrt{x}\right)^2 + x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}} - x^2-2x+x^5 \\ &=& x+x^{2}-x^2-2x+x^5 \\ &=& -x+x^5 \end{eqnarray}

A seguir veremos mais exemplos de simplificação de expressões algébricas com duas incógnitas.

8. Simplifique a expressão algébrica $(2x^2-4)y + y^2-x^2y+x$.

Solução: Vamos fazer a primeira multiplicação que aparece nessa expressão algébrica para vermos quais os termos que aparecem nessa expressão. Temos

\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x = 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \end{eqnarray}

Observe que, nessa expressão algébrica, temos uns termos que podemos chamar de mistos. Esses termos são aqueles que apresentam o produto de potências de duas ou mais incógnitas diferentes. Esses termos entram na mesma regra dos termos semelhantes, isto é, o termo $2x^2y$ só pode ser somado ao termo $-x^2y$. Quando temos mais de uma incógnita numa expressão algébrica, podem aparecer esses termos mistos. Só podemos somar e subtrair aqueles que possuem as mesmas incónitas multiplicadas e com os mesmos expoentes. Assim, 

\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x &=& 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \\ &=& x^2y-4y-x^2+x \end{eqnarray}

9. Simplifique a expressão algébrica $xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y)$.

Solução: Vamos seguir o mesmo raíciocínio que estamos usando, vamos multiplicar primeiro usando a propriedade distributiva, usar propriedades e definições de potências e depois somar e subtrair os termos semelhantes. Temos

\begin{eqnarray} xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y) &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}} + xyy^{-\frac{1}{2}}-xyy \\ &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy^{-\frac{1}{2}}-xy^2 \\ &=& 0 \end{eqnarray}

10. Simplifique a expressão algébrica

$$3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right].$$

Solução: Seguindo o que já estamos fazendo, temos

\begin{eqnarray} 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right] &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+yyx-yy^{-1}x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+y^2x-x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^3+y^2x + \sqrt{x+y}\right]  \\ &=& 3x + \frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{2}\sqrt{x+y}\end{eqnarray}

Observação importante: Sobre o exemplo anterior, temos um termo com $\sqrt{x+y}$. Esse termo fica assim mesmo. Não podemos "abrir" uma raiz, independentemente do seu índice, ou seja, 

$$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

para quaisquer que sejam $a$ e $b$, incógnitas ou números diferentes de zero. Essa igualdade vai ser verdadeira se, e somenete se, $a=0$ ou $b=0$.

Exemplo em vídeo:

Com esses exemplos já pegamos o jeito de simplificar esse tipo de expressão. Com as ideias apresentadas aqui, você consiguirá simplicar esse tipo de expressão sem muitas dificuldades. 

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Expressões Algébricas #4: Potências e raízes de letras

Nas últimas duas postagens (acesse-as por aqui) vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir letras em uma expressão algébrica. Mas, numa expressão algébrica há outras operações envolvendo letras além dessas, a saber, as potências e as raízes. Nessa postagem vamos ver o que fazer quando aparecem potências e raízes de letras em expressões algébricas. Para isso, vamos lembrar as definições de potências com expoentes naturais, inteiros e racionias e também a definição de raiz de índice $n$. Já vimos nas postagens anteriores que as letras são chamadas de incógnitas ou variáveis. Daqui em diante as chamaremos incógnitas.

Potências e raízes de letras

Para entender como funcionam ou o que significam as potências e as raízes de uma incógnita basta lembrar que as incógnitas representam números, assim, todas as definições e propriedades envolvendo potências e raízes de números também valem para as incógnitas, a diferença é, como a própria palavra incógnita nos diz, a incógnita é um número que não sabemos qual é. 

Definições de potências com expoentes naturais e inteiros

Considere um número real $x$ qualquer ($x$ é uma incógnita). Chamamos de potência de base $x$ e expoente natural $n$ o número $x^n$, o qual é definido como segue:

$$\left\{\begin{array}{l} x^0 = 1 \mbox{ se } x \neq 0 \\ x^n = x^{n-1} \cdot x \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$

Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:

$$\begin{eqnarray} x^0 &=& 1 \\ x^1 &=& x^0 \cdot x = x \\ x^2 &=& x^1 \cdot x = x \cdot x \\ x^3 &=& x^2 \cdot x = x \cdot x \cdot x \\ x^4 &=& x^3 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \\ x^5 &=& x^4 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\ \vdots & & \\ x^n &=& x^{n-1} \cdot x = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \; fatores}  \end{eqnarray}$$

Dado um número real $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $x$ e expoente $-n$, denotada por $x^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo

$$x^{-n} = \displaystyle\frac{1}{x^n}.$$

Pela definição acima, vemos que $x^{-n}$, com $x \neq 0$, é o inverso de $x^n$. Também podemos dizer que $x$ está elevado a $-n$.

Definição de raiz de índice $n$

Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $x$ um número real (uma incógnita). Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $x$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $x$, tal que $b^n = x$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $x$ por $\sqrt[n]{x}$ onde $n$ é o índice da raiz e $x$ é o radicando.

O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical. 

Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{x}$. Quando o índice é igual  a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{x}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.

Na definição de raiz de índice $n$ está explicado o que significa $\sqrt[n]{x}$. Mas quando aparece uma raiz dessa numa expressão algébrica, a intenção não é calculá-la, mas simplificá-la, se possível.

Definição de potência com expoente racional

Dados $x \in \mathbb{R}$ com $x \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $x$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}.$$

A definição de potência com expoente inteiro negativo se extende para o caso em que o expoente é um número racional negativo, isto é,

Dado um número $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número racional positivo $\displaystyle\frac{p}{q}$, com $q \neq 0$ definimos a potência de base $x$ e expoente $-\displaystyle\frac{p}{q}$, denotada por $x^{-\frac{p}{q}}$, como sendo

$$x^{-\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}.$$

Guarde bem essas definições, elas são fundamentais na simplificação de expressões algébricas.

Propriedades das potências e das raízes

Propriedades das potências: Sejam $m,n \in \mathbb{Q}$ e $x,y \in \mathbb{R}$ (incógnitas). Temos

(i) $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$;

(iii) $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)^n = \displaystyle\frac{x^n}{y^n}$ se $y \neq 0$;

(v) $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

Propriedades das raízes: Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, com $x,y \geq 0$ (incógnitas), $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{x^n} = x$;

(ii) $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{x}{y}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ se $y \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[p \cdot n]{x}$;

(vi) $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{x} = y$, temos que $x^n = y$. Assim, $(\sqrt[n]{x})^n = y^n = x$ e, portanto, $(\sqrt[n]{x})^n = x$.

Na prática, para simplificar ou reescrever expressões algébricas com potências e raízes, usamos as propriedades das potências e das raízes listadas acima. Vamos ver a seguir exemplos de como usá-las em expressõe algébricas.

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, $x$, $y$ e $z$ são incógnitas.

1. $2x^2 \cdot 5x^3= 10x^{2+3} = 10x^5$

2. $3x^5x^{-3} = 3x^{5-3} = x^2$

3. $x\sqrt{x} = 2xx^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{x^3}$. Observe que nesse exemplo reescrevemos $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ de acordo com a definição de portência  com índice racional e usamos propriedade (i) das potências.

4. $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y^2\sqrt{x}}{y} = \displaystyle\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}y^2}{y} = \displaystyle\frac{(\sqrt{x})^2y^2}{y} = xy$

Para facilitar a simplificação de produtos de radicais de uma incógnita, podemos escrever os radicais em forma de potência com expoente racional, usar as propriedades de potências e depois, se necessário, escrever o resultado (a simplificação)  na forma de radical.

5. $\sqrt{x}\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{4}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}} = x^{\frac{11}{6}} = \sqrt[6]{x^{11}}$

6. $3x^22yx^{-3} = 6x^2x^{-3}y=6x^{-1}y = 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{x} \cdot y = \displaystyle\frac{6y}{x}$

7. $x^{-4}y^43x^5\displaystyle\frac{1}{2}y = \displaystyle\frac{3}{2}x^{-4}x^{5}y^4y = \displaystyle\frac{3}{2}xy^5 = \displaystyle\frac{3xy^5}{2}$

8. $x^2yx^{-3}y^{-2} = x^{2}x^{-3}yy^{-2} = x^{-1}y^{-1} = (xy)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{xy}$

9. $\sqrt{x}y\sqrt{y^3}x^{2} = x^{\frac{1}{2}}x^{2}yy^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{5}{2}} = (xy)^{\frac{5}{2}} = \sqrt{(xy)^5}$

Antes de continuar os exemplos, vamos ver o que acontece quando temos um potência com expoente negativo (que pode ser uma fração) de uma incógnita $x$ no denominador

\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{-n}} &=& \frac{1}{\frac{1}{x^n}} \\ &=& 1 \cdot \frac{x^n}{1} = x^n \end{eqnarray}

Podemos concluir então que, se um potência negativa está no denominador, ela pode "subir" trocando o sinal do expoente.

Vamos prosseguir com os exemplos:

10. $\displaystyle\frac{3x^4x^2}{x^3} = \displaystyle\frac{3x^6}{x^3} = 3x^3$

11. $\displaystyle\frac{x^5\sqrt{x}}{4x} = \displaystyle\frac{x^4\sqrt{x}}{4} = \displaystyle\frac{x^4x^{\frac{1}{2}}}{4} = \displaystyle\frac{x^{\frac{9}{2}}}{4}$

12. $\displaystyle\frac{5x^33x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x^{3}x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x}{x^{-3}} = 15xx^3 = 15x^4$

13. $\displaystyle\frac{5xx^{\frac{6}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}x^{-2}}{yy^{\frac{1}{2}}} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{1}{5}}}{y^{\frac{3}{2}}}$

14. $\displaystyle\frac{x^{\frac{1}{3}}yz^{4}}{xy^{-2}z^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{3}}x^{-1}yy^2z^{4}z^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{2}{3}}y^3z^{\frac{7}{2}} = \displaystyle\frac{y^3z^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

15. $\displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}y^{-2}z^2}{x^{-\frac{1}{2}}y^{-3}z} = \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}}y^{-2}y^{3}z^2}{z} = xyz$

É muito importante que você saiba todas a propriedades das potências e das raízes para fazer as simplicações nas expressões algébricas. Desse modo, nenhuma delas vai ser um bicho de sete cabeças.

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Expressões Algébricas #3: Como multiplicar e dividir letras?

Na postagem anterior vimos como fazer somas e subtrações em expresões algébricas e já consiguimos fazer simplificações em algumas expressões com essas operações. Nessa postagem vamos aprender como fazer multiplicações e divisões em expressões algébricas. Vamos aprender o que fazer quando números multiplicam ou dividem múltiplos de incógnitas e vamos aprender também o que fazer quando duas incógnitas, iguais ou diferentes, são multiplicadas ou divididas, uma pela outra. Vamos lá!

Como multiplicar e dividir letras?

Vamos ver como multiplicar e dividir letras em partes.

Multiplicando um número por um múltiplo de uma incógnita

Na postagem anterior vimos que como somar e subtrair dois múltiplos de uma incógnita, isto é, vimos como fazer $3x+\displaystyle\frac{1}{2}x$ e $\sqrt{2}x-4x$. Agora, se tivermos um número multiplicando, por exemplo, $5x$? Nesse caso, basta multiplicar este número por $5$ e multiplicar por $x$. Vejamos alguns exemplos:

1. $3 \cdot 4x = 12x$

2. $8 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}x = \displaystyle\frac{16}{3}x$. Observe que $8$ pode ser visto como $\displaystyle\frac{8}{1}$ e que, na multiplicação de frações, multiplicamos o de cima (numerador) com o de cima e o de baixo (denominador) com o de baixo.

3. $-\displaystyle\frac{5}{4} \cdot 3x = -\displaystyle\frac{15}{4}x$. Não se esqueça de fazer o jogo de sinal quando aparecer números negativos.

4. $\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \left(\displaystyle\frac{4}{7}x\right) = -\displaystyle\frac{4}{21}x$.

5. $4 \cdot \displaystyle\frac{1}{8}x = \displaystyle\frac{4}{8}x = \displaystyle\frac{1}{2}x$. 

6. $\displaystyle\frac{4}{3} \cdot \displaystyle\frac{7}{2}x = \displaystyle\frac{24}{6}x = 4x$

7. $-4 \cdot (-\sqrt{3}x) = 4\sqrt{3}x$. Quando multiplicamos um número que não é uma raiz por uma raiz, não é necessário aproximar o valor da raiz para fazer a conta, pode deixar assim mesmo.

Observação: A multiplicação de um múltiplo de uma incógnita por um número pode ocorrer pela direita, como por exemplo:

$$4x \cdot 5 = 5 \cdot 4x = 4 \cdot 5x = 20x.$$

Isso ocorre pois a incógnita, independentemente de qual for, sempre representa um número e a multiplicação é comutativa.

Multiplicando dois múltiplos de uma incógnita

Como podemos multiplicar $x$ por $3x$ ou $y$ por $2x$? Vamos analisar esses casos separadamente.

Quando as letras são iguais: Precisamos sempre ter em mente que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A multiplicação $5 \cdot 5$ pode ser escrita como $5^2$, a multiplicação $4 \cdot 4 \cdot 4$ pode ser escrita como $4^3$ e assim por diante. Com as letras não é diferente, temos

\begin{eqnarray} x &=& x^1 \\ x \cdot x &=& x^2 \\ x \cdot x \cdot x &=& x^3 \\ &\vdots & \\ \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \: fatores} &=& x^n \end{eqnarray}

É importante lembrar também que, para as letras também valem todas a propriedades de potenciação (pois elas representam números). Vejas as propriedades da potenciação aqui. Vejamos alguns exemplos

Exemplos: 

8. $x \cdot 4x = x4x = 4xx = 4x^2$. A ordem dos fatores sempre pode mudar, visto que a multiplicação é comutativa.

9. $x \cdot \sqrt[3]{5}x = \sqrt[3]{5}x^2$

10. $-\displaystyle\frac{3}{4}x \cdot 5x = -\displaystyle\frac{3}{4} \cdot 5 x x = -\displaystyle\frac{15}{4}x^2$

11. $\sqrt{2}x \cdot (-4x^2) = -\sqrt{2} \cdot 4 xx^2 = -4\sqrt{2}x^3$. Aqui usamos a propriedade da potenciação que diz que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes.

12. $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2 \cdot x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^2x^3 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}x^5$

Quando as letras não são iguais: Quando multiplicamos duas letras diferentes, por exemplo $x$ por $y$, não há muito o que fazer, basta escrever como "resultado" $xy$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, indicamos a mulplicação de $x$ por $y$ por $xy$, simplesmente. Vejamos alguns exemplos:

13. $y \cdot 3x = y3x = 3xy = 3yx$. Lembre-se sempre que a multiplicação é comutativa.

14. $-5x \cdot \displaystyle\frac{2}{3}y = -5 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}xy = -\displaystyle\frac{10}{3}xy$

15. $-\sqrt{5}y^2 \cdot (-x) = -\sqrt{5}y^2x$

16. $\displaystyle\frac{1}{2}y^3 \cdot \sqrt{3}x^5 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}y^3x^5$

Podemos ainda ter os dois tipos de multiplicação abordados acima juntos.

17. $5xy \cdot 4xy^2 = 5 \cdot 4xyxy^3 = 5 \cdot 4 xxyy^3 = 20x^2y^3$

18. $-\displaystyle\frac{5}{6}x^5y^2 \cdot 12x^2y = 10x^7y^3$.

Observação: Fizemos os exemplos usando as letras $x$ e $y$, mas poderíamos ter feito esses mesmos exemplos com outras letras, $a$ e $b$ por exemplo. As letras em si não importam, o que importa é entender como as operações entre elas funcionam. Podemos estender essas ideias acima para um número finito de letras.

Dividindo um múltiplo de uma incógnita por um número

Como podemos fazer $3x$ dividido por $2$? Em uma expressão algébrica, essas divisões aparecem geralmente no formato de uma fração, ou seja, nesse caso teríamos $\displaystyle\frac{3x}{2}$. Dados dois números quaisquer $m$ e $n$ com $n$ diferente de $0$, temos

$$\displaystyle\frac{mx}{n} = \displaystyle\frac{m}{n}x.$$

Assim, $\displaystyle\frac{3x}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}x$. Isso nos diz que, se for possível, dividimos o número que multiplica o $x$ e, caso contrário, deixamos como está. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

19. Podemos deixar a expressão $\displaystyle\frac{4x}{5}$ como está, pois $4$ não é divisível por $5$.

20. $\displaystyle\frac{12x}{6} = \displaystyle\frac{12}{6}x = 2x$

21. $\displaystyle\frac{21}{24}x = \displaystyle\frac{7}{8}x$. Aqui não é possível dividir $21$ por $24$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{21}{24}$, dividindo por $3$ o numerador e o denominador, obtendo $\displaystyle\frac{7}{8}$.

22. Podemos ter uma divisão de frações também, por exemplo, $\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}}$. Nesse caso devemos lembrar como é feita a divisão de frações, copia o de cima e multiplica pelo inverso do debaixo. Assim,

$$\displaystyle\frac{2x}{\frac{2}{3}} = 2x \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = 3x$$

23. $\displaystyle\frac{\frac{3}{5}x}{-\frac{4}{3}} = -\displaystyle\frac{3}{5}x \cdot \displaystyle\frac{3}{4} = -\displaystyle\frac{9x}{20}$

24. $\displaystyle\frac{-\sqrt[3]{5}x}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt[3]{5}x\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2\sqrt[3]{5}x}{\sqrt{2}}$

Observação: Nos exemplos acima poderíamos  trocar o $x$ por qualquer potência dele ou ainda pelo multiplicação de mais letras que essas divisões seriam efetuadas da mesma forma.

Dividindo dois múltiplos de uma potência de uma incógnita

Como podemos fazer as divisões $\displaystyle\frac{3x^2}{2x}$, $\displaystyle\frac{-5x^6}{3x^7}$ e $\displaystyle\frac{4y}{\sqrt{2}x}$? Vamos analisar esses dois tipos de divisões separadamente.

Quando as incógnitas são iguais: Sempre devemos nos lembrar que as letras representam números, assim, as propriedades algébricas que as operações possuem com respeito aos números, também possuem com respeito às letras. A divisão $\displaystyle\frac{5^3}{5^2}$ é igual a  $5$ e, obtemos esse resultado usando a seguinte propriedade de potências

$$\displaystyle\frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$$

Para as letras também vale essa propriedade de potenciação (pois elas representam números). Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

25. No caso particular de dividirmos um número por um múltiplo de uma letra ou uma potência dela, não há o que fazer, o resultado será uma fração com uma letra no denominador, como por exemplo

$$\frac{1}{x}, \: \frac{-\sqrt{2}}{x^3}, \: \frac{3}{5x^2}$$

26. $\displaystyle\frac{3x^4}{x^2} = 3 \displaystyle\frac{x^4}{x^2} = 3x^2$

27. $\displaystyle\frac{\sqrt{5}x^6}{2x^3} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}x^3$

28. $\displaystyle\frac{-3x^3}{5x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{x^3}{x^7} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot x^{-4} = -\displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{x^4} = -\displaystyle\frac{3}{5x^4}$.

Esse exemplo foi feito em detalhes, mas usando a propriedade de divisão de potência de mesma base, do primeiro sinal de igual, já poderíamos ter pulado para o último. Não há problema em deixar uma letra com potência negativa, se preferir.

29. $\displaystyle\frac{3x}{2x^2} = \displaystyle\frac{3}{x}$

30. $\displaystyle\frac{3x^2}{-\sqrt[3]{9}x^7} = -\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{9}x^5}$

Quando as incógnitas não são iguais: Quando dividimos duas letras diferentes ou potências dela, por exemplo $x^3$ por $y^2$, não há  o que fazer, basta escrever como "resultado" $\displaystyle\frac{x^3}{y^2}$. Como não conhecemos quais são os números $x$ e $y$, a divisão fica dessa forma mesmo. Vejamos alguns exemplos:

31. $\displaystyle\frac{3x}{4y}$

32. $\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}$. Nesse exemplos temos podemos dividir o $6$ pelo $2$, visto que,

$$\displaystyle\frac{6x^2}{2y} = \displaystyle\frac{6}{2} \cdot \displaystyle\frac{x^2}{y} = 3\displaystyle\frac{x^2}{y} = \displaystyle\frac{3x^2}{y}.$$

33. $\displaystyle\frac{10x^3}{8y^2} = \displaystyle\frac{5x^3}{4y^2}$. Observe que $10$ não é divisível por $8$, mas podemos simplificar a fração $\displaystyle\frac{10}{8}$ dividindo do numerador e o denominador por $2$, obtendo a fração $\displaystyle\frac{5}{4}$.

Pode-se ocorrer também divisões misturando o que vimos nos exemplos anteriores, ou seja, duas ou mais incógnitas, tanto no numerador quanto no deniminador.

34. Vamos fazer esse exemplos com mais detalhes.

\begin{eqnarray} \frac{4x^4y^3}{5xy^2} &=& \frac{4}{5} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^3}{y^2} \\ &=& \frac{4}{5} x^3 \cdot y \\ &=& \frac{4x^3y}{5} \end{eqnarray}

35. Vamos fazer mais esse exemplos com mais detalhes 

\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3}x^2y}{xy^3} &=& \sqrt{2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^3} \\ &=& \sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} \\ &=& \frac{\sqrt{2}x}{y^2} \end{eqnarray}

36. $\displaystyle\frac{-5x^3y^5}{7xy^2z} = -\frac{5x^2y^3}{7z}$

37. $\displaystyle\frac{10x^2y^5z^2}{-3x^3y^6z} = -\frac{10z}{3xy}$

Viu só? Não é dificícil fazer as contas de multiplicação e divisão com letras, tudo se resume a propriedades operacionais que já conhecemos com os números. Nas próximas postagens veremos como simplificar expressões algébricas mais complicadas.

Resumo da postagem em vídeo com outros exemplos:

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